1.3 等式与不等式性质
【考试要求】 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
【再现型题组】
下列命题中正确的序号是
①若a>b，则ac>bc；
②若a>b,c>d,则a+c>b+d；
③若a>b,c>d,则ac>bd；
④若a>b，则an>bn；
⑤若a>b，则;
⑥若a>b>0，m>0，则；
2.一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车现在每天行驶的路程比原来多19 km,那么现在该汽车行驶8天的路程将超过2 200 km,这一关系可用不等式表示为 .
3．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是( )
A．ac2>bc2 B．a>b C．a＋c>b＋c D.>
4.（多选）根据下列条件，能判断出M>N的选项是
A . M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3
M=+，N＝2+
a1,a2∈{x|0
已知a>b>0,且c>d>0,
5.若1【巩固型题组】
1.设实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2.若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q C．P【变式】.若a>b>1 ，P＝beb，Q＝aea，如何判断P，Q的大小关系？
3.(多选)若a>0>b>－a，cA．ad>bc B.＋<0 C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
4、（多选）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【提高型题组】
1、已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．
2．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
3.在一次调查中发现甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【反馈型题组】
1.若a，b∈R，且a＞|b|，则( )
A.a＜－b B.a＞b C.a2＜b2 D.＞
2.已知a＋b＜0，且a＞0，则( )
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
3.设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.b＞c＞a
4.(多选)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为( )
A.若a＞b，则ac＜bc
B.若ac2＞bc2，则a＞b
C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D.若a＞0＞b，则|a|＜|b|
5.(多选)下面四个选项能推出＜的有( )
A.b＞0＞a B.0＞a＞b
C.a＞0＞b D.a＞b＞0
6.把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是( )
A.如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d
B.如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd
C.如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么＝
D.如果a＝b，那么a3＝b3
7.已知非零实数a，b满足a＞b，则下列结论正确的是________(填序号).
①＜；②a3＞b3；③2a＞2b；④ln a4＞ln b4.
8.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
9.实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.
那么a，b，c，d的大小关系是________.1.3 等式与不等式性质
【考试要求】 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
【再现型题组】
下列命题中正确的序号是
①若a>b，则ac>bc；
②若a>b,c>d,则a+c>b+d；
③若a>b,c>d,则ac>bd；
④若a>b，则an>bn；
⑤若a>b，则;
⑥若a>b>0，m>0，则；
【答案】②⑥
2.一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车现在每天行驶的路程比原来多19 km,那么现在该汽车行驶8天的路程将超过2 200 km,这一关系可用不等式表示为 .
【答案】 8(x+19)>2 200
【解析】 ∵汽车原来每天行驶x km,现在每天行驶的路程比原来多19 km,
∴现在汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则现在该汽车行驶8天的路程为8(x+19)km,则8(x+19)>2 200.故答案为8(x+19)>2 200.
3．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是( )
A．ac2>bc2 B．a>b
C．a＋c>b＋c D.>
答案 D
解析 若c<0，则a因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则>，即>，故D正确．
4.（多选）根据下列条件，能判断出M>N的选项是
A . M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3
M=+，N＝2+
a1,a2∈{x|0已知a>b>0,且c>d>0,
答案 ABC
解析 选项A ∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)
＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，∴M>N；
选项B∵-=13+2-(13+4)
=2-4=2-2=2(-)>0,
∴>,∴M>N；
选项C：M-N=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1)>0,故M>N
选项D ∵a>b>0,c>d>0,∴ac>bd>0,∴>>0,
∴>.则M5.若1答案 ,
解析 由2即<<1.又-3<-b<-2,则-2【巩固型题组】
1.设实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】若，则，故A错误；
若时，，此时，故B错误；
当时，，此时，故C错误；因为，所以，所以，又，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确.故选：D.
2.若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P＝Q C．P答案 C
解析 P，Q作商可得＝＝，
令f(x)＝，则f′(x)＝ ，
当x>1时，f′(x)>0 ，所以f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，
因为a>b>1，所以<，
又>0，>0，所以＝<1，所以P【变式】.若a>b>1 ，P＝beb，Q＝aea，如何判断P，Q的大小关系？
3.(多选)若a>0>b>－a，cA．ad>bc B.＋<0 C．a－c>b－d D．a(d－c)>b(d－c)
答案 BCD
解析 因为a>0>b，c0，所以ad因为0>b>－a，所以a>－b>0，因为c所以－c>－d>0，所以a(－c)>(－b)(－d)，所以ac＋bd<0，cd>0，所以＝＋<0，故B正确；
因为c－d，因为a>b，所以a＋(－c)>b＋(－d)，即a－c>b－d，故C正确；
因为a>0>b，d－c>0，所以a(d－c)>b(d－c)，故D正确．
4、（多选）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】ABD
【解答】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确
【提高型题组】
1、已知实数a，b，c，满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么的取值范围是________．
答案 －2<<－
解析 由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，b＝－a－c，－a－c－c，>－2，
－a－c>c，－a>2c，<－，
所以－2<<－.
2．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则( )
A．a＞0＞b B．a＞b＞0
C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
【答案】A
【解答】∵9m＝10，∴m∈(1,2)，
令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，
∴f′(x)＝mxm－1－1，
∵x>1且1∴xm－1>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又9m＝10，∴9m－10＝0，
即f(9)＝0，
又a＝f(10)，b＝f(8)，
∴f(8)即b<03.在一次调查中发现甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】C
【解析】设甲、乙、丙、丁的阅读量分别为x1,x2,x3,x4,
则x1≥0,x2≥0,x3≥0,x4≥0.
由甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同,可得x1+x3=x2+x4,①
由丙、丁的阅读量之和大于甲、乙的阅读量之和,可得x1+x2由乙的阅读量大于甲、丁的阅读量之和,可得x2>x1+x4,③
②-①得x2-x3②+①得2x1+x2+x3由③得x2>x1,x2>x4,
∴x3>x2>x4>x1,即阅读量最大的是丙.
故选C.
【反馈型题组】
1.若a，b∈R，且a＞|b|，则( )
A.a＜－b B.a＞b C.a2＜b2 D.＞
答案 B
解析 由a＞|b|可知，当b≥0时，a＞b；当b＜0时，a＞－b，则a＞0＞b，综上可知，当a＞|b|时，a＞b恒成立，故选B.
2.已知a＋b＜0，且a＞0，则( )
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
答案 A
解析 法一 令a＝1，b＝－2，
则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，
从而a2＜－ab＜b2，选A.
法二 由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，
且a＜－b.
因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，
所以0＜a2＜－ab.
又因为0＜a＜－b，
所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2，选A.
3.设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.b＞c＞a
答案 B
解析 因为(＋)2－(＋)2＝9＋2－9－2＜0，
所以＋＜＋，
所以－＜－，即b＜c.
又a－c＝2－＝－＞0，故a＞c.
综上，a＞c＞b.
4.(多选)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为( )
A.若a＞b，则ac＜bc
B.若ac2＞bc2，则a＞b
C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D.若a＞0＞b，则|a|＜|b|
答案 BC
解析 当c＞0时，ac＞bc，A错误；
当a＝3，b＝－1时，|a|＞|b|，D错误；B，C正确.
5.(多选)下面四个选项能推出＜的有( )
A.b＞0＞a B.0＞a＞b
C.a＞0＞b D.a＞b＞0
答案 ABD
解析 ＜ ＜0 ab(a－b)＞0.
对于A，ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0，符合题意；
对于B，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0，符合题意；
对于C，ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不符合题意；
对于D，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0，符合题意.
6.把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是( )
A.如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d
B.如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd
C.如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么＝
D.如果a＝b，那么a3＝b3
答案 D
解析 对于A，如果a＜b，c＜d，那么a－c＜b－d不一定正确，如5＜6，4＜9，但5－4＞6－9；
对于B，如果a＜b，c＜d，那么ac＜bd不一定正确，如－2＜－1，1＜4，此时ac＞bd；
对于C，如果a＜b，c＜d，且cd≠0，那么＜不一定正确，如1＜2，1＜8，此时＞；
易知D正确.
7.已知非零实数a，b满足a＞b，则下列结论正确的是________(填序号).
①＜；②a3＞b3；③2a＞2b；④ln a4＞ln b4.
答案 ②③
解析 当a＞0，b＜0时，＞0＞，故①错误；
由函数y＝x3，y＝2x的单调性可知，②③正确；
当a＝1，b＝－1时，ln a4＝ln b4＝ln 1＝0，故④错误.
8.设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
答案 [5，10]
解析 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
9.实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.
那么a，b，c，d的大小关系是________.
答案 b＞d＞c＞a
解析 由题意知d＞c①；
②＋③得2a＋b＋d＜2c＋b＋d，
化简得a＜c④；
由②式a＋b＝c＋d及a＜c可得到b＞d⑤，综合①④⑤式得到b＞d＞c＞a
