1.4 基本不等式
【考试要求】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．
【再现型题组】
若,则下列不等式成立的是（ ）
A a2＋b2≥2ab B ≤ C ＋≥2 D
【答案】ABC
已知x>0，y>0，则下列说法正确的是（ ）
A若xy是定值p，则x＋y有最小值2 B若x＋y是定值p，则xy有最大值
C若xy是定值p，则x＋y有最大值2 D若x＋y是定值p，则xy有最小值
【答案】AB
下列结论正确的是（ ）
A 不等式与≤等号成立的条件是相同的
B 函数y＝x＋的最小值是2
C 函数y＝sin x＋，的最小值为4.
D y＝x＋(x≥0)的最小值为1
【答案】D
4.下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若，且，则
【答案】D
【详解】对于A选项，当时，，所以A选项错误.
对于B选项，如时，，所以B选项错误.
对于C选项，由于，则，，所以C选项错误.
对于D选项，根据基本不等式成立的条件可知D选项正确.
故选：D
5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案 25
解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
其中0∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，
∴ymax＝25，
即矩形场地的最大面积是25 m2.
【巩固型题组】
1.（1）已知，则的最小值为
【答案】
【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为.
（2）已知，则的最大值是______．
【答案】
【详解】∵，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最大值是.
当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
故的最小值为3.
因为当时，不等式恒成立，
所以.
（4）已知，则函数的最小值是______．
【解答】因为，
，当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值是，故答案为:.
（5）已知x>1，则y＝的最大值为________．
答案
解析 令t＝x－1，∴x＝t＋1，
∵x>1，∴t>0，
∴y＝＝＝≤＝，
当且仅当t＝，t＝2，即x＝3时，等号成立，
∴当x＝3时，ymax＝.
2.(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是( )
A．ab有最小值
B．8＋8有最大值8
C.＋有最小值4
D．a2＋b2有最小值
答案 AD
【变式1】若正实数a，b满足a+b=ab，则的最小值为
【答案】
【变式2】已知，，且，则的最小值为 __．
【答案】．
【解答】解：因为，，且，
所以，
则
，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值．
【变式3】若，则的最小值为__________.
【答案】9
【详解】（当且仅当时等号成立）
故答案为：
【变式4】已知正实数满足，则的最小值为
【答案】3
【变式5】已知正实数满足，则的最小值为
【答案】8
【解答】因为，且为正实数，
所以，当且仅当即时等号成立.所以.
3、已知，且，则的最小值为___________.
【解答】因为，解得：，
则
当且仅当，时，“=”成立
故答案为：.
【变式1】已知a，，且，则的最大值为
【解答】解：，
则，当且仅当时，“=”成立，
又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，
所以的最大值为.
【提高型题组】
1、关于的不等式的解集为单元素集，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【详解】由已知，又，∴，，
，当且仅当时等号成立，所以的最小值是1，
不等式恒成立，则，，解得．
故选：A．
2、若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
【答案】
【详解】∵，则，
原题意等价于对任意恒成立，
由，，则，
可得，
当且仅当，即时取得等号，
∴，解得．
故正实数的取值集合为.
故答案为：．
3.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．
【答案】##
【详解】因为一位篮球运动员投篮一次得3分概率为，得2分概率为，不得分的概率为c，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，
则，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
【反馈型题组】
1、下列不等式中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当，时， D．当，时，
【答案】BCD
【详解】当时，，可得，当且仅当时取到等号；
当时，，可得，当且仅当时取到等号，故A错误；
当时，因为为增函数，所以，故B正确；
当，时，，当且仅当时取到等号，故C正确；
当，时，，即得，故D正确.
故选：BCD
2、若对于任意恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为，所以，
因为，所以（当且仅当时取等号），
则，
即的最大值为，故.
故选：
3、已知不等式≥4对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【解答】,
根据题意可知 ，解得，
的最小值是1
故选：A
4、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为
A．6 B．4 C．3 D．2
【解答】解：由，
又，所以，且，，
所以，
当且仅当，即，时，取等号，
故的最小值为6．故选：．
5、已知为正数，则的最小值为
【答案】2
6、某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)．
答案 12
解析 设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，
且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝x＋4，海报长DC＝＋8，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)＝8x＋＋1 472≥2＋1 472＝192＋1 472，
当且仅当8x＝，
即x＝12时，等号成立．
∴当直角梯形的高为12 cm时，用纸量最少．1.4 基本不等式
【考试要求】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．
【再现型题组】
若,则下列不等式成立的是（ ）
A a2＋b2≥2ab B ≤ C ＋≥2 D
已知x>0，y>0，则下列说法正确的是（ ）
A若xy是定值p，则x＋y有最小值2 B若x＋y是定值p，则xy有最大值
C若xy是定值p，则x＋y有最大值2 D若x＋y是定值p，则xy有最小值
下列结论正确的是（ ）
A 不等式与≤等号成立的条件是相同的
B 函数y＝x＋的最小值是2
C 函数y＝sin x＋，的最小值为4.
D y＝x＋(x≥0)的最小值为1
4.下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若则
D．若，且，则
5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
【巩固型题组】
1.（1）已知，则的最小值为
（2）已知，则的最大值是______．
当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
（4）已知，则函数的最小值是______．
（5）已知x>1，则y＝的最大值为________．
2.(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是( )
A．ab有最小值 B．8＋8有最大值8
C.＋有最小值4 D．a2＋b2有最小值
【变式1】若正实数a，b满足a+b=ab，则的最小值为
【变式2】已知，，且，则的最小值为 __．
【变式3】若，则的最小值为__________.
【变式4】已知正实数满足，则的最小值为
【变式5】已知正实数满足，则的最小值为
3、已知，且，则的最小值为___________.
【变式1】已知a，，且，则的最大值为
【提高型题组】
1、关于的不等式的解集为单元素集，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2、若关于的不等式对任意恒成立，则正实数的取值集合为______．
3.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．
【反馈型题组】
1、下列不等式中正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当，时， D．当，时，
2、若对于任意恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3、已知不等式≥4对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为
A．6 B．4 C．3 D．2
5、已知为正数，则的最小值为
6、某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为__________ cm时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)．
