1.5 一元二次方程、不等式
【考试要求】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
【再现型题组】
下列说法正确的是（ ）
A若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.B若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.
C若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.
D不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.
2．(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有( )
A．x2＋x－2>0 B．－x2＋x－2>0
C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
3、不等式<0的解集为( )
A． B．(2,3) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞)
不等式|x|(1－2x)>0的解集是
5、已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
【巩固型题组】
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为或
3、（1）若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．
【变式1】若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是__________．
【变式2】若函数的定义域为，则实数的取值范围是______．
【变式3】若存在实数x使得不等式成立，则实数a的取值范围是__________．
【变式4】已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
【变式5】设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则a的取值范围
【变式6】已知对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【提高型题组】
1、关于的方程的两个不等根，，都在之内，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．，，
【变式】(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
2.(多选)已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是( )
A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞)C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．
【变式】已知函数，解不等式.
【反馈型题组】
1．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2、(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有( )
A．x2＋x－2>0 B．－x2＋x－2>0 C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
3、不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2
4．（多选）已知关于的不等式解集为，则（ ）
A． B．
C． D．不等式的解集为
5．不等式>x的解集是________．
6.已知函数
(1)解关于x的不等式；
(2)若关于x的不等式的解集为，求的最小值．1.5 一元二次方程、不等式
【考试要求】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
【再现型题组】
下列说法正确的是（ ）
A若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.B若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.
C若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.
D不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.
【答案】B
2．(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有( )
A．x2＋x－2>0 B．－x2＋x－2>0
C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
答案 CD
解析 对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0的解集为R.
对于A项，不等式x2＋x－2>0可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1；
对于B项，不等式－x2＋x－2>0即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－2>0的解集为 ；
对于C项，不等式－x2＋x－2<0等价于x2－x＋2>0，满足条件；
对于D项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0的解集为R.
3、不等式<0的解集为( )
A． B．(2,3) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 <0等价于(x－3)(x－2)<0，解得2不等式|x|(1－2x)>0的解集是
答案
解析 原不等式等价于
即x<且x≠0，
5、已知对任意x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [1,3]
解析 x∈R，x2＋(a－2)x＋≥0，则Δ≤0 (a－2)2－1≤0 1≤a≤3.
【巩固型题组】
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，则，即，解得，
所以，
由，即，解得，即，
所以.
故选：D
2.（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为或
【答案】ABD
【详解】因为关于x的不等式的解集为或，
所以且方程的根为，故A正确；
则，所以，
所以，故C错误；
则不等式即为不等式，解得，
所以不等式的解集为，故B正确；
不等式即为不等式，
即为，解得或，
所以不等式的解集为或，故D正确.
故选：ABD.
3、（1）若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【详解】关于的不等式的解集为.
当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
【变式1】若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【变式2】若函数的定义域为，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】函数的定义域为，
当时，，满足；
当时，需满足，解得.
综上所述：.
故答案为：
【变式3】若存在实数x使得不等式成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【变式4】已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案
解析 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
方法一 令g(x)＝m＋m－6，x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二 因为x2－x＋1＝＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m<在x∈[1,3]上恒成立．
令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
【变式5】设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，则a的取值范围
【答案】a≤.
解析 由x2－ax＋1≥0在1≤x≤2上有解，
得≥a在1≤x≤2上有解，
则a≤max，
由于＝x＋，
而y＝x＋在[1,2]上单调递增，
故当x＝2时，x＋取得最大值，
故a≤.
【变式6】已知对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】对任意，不等式恒成立，
即对任意，恒成立，
所以对任意，恒成立，
所以对任意，，
所以，解得，
故实数x的取值范围是．
故选：D．
【提高型题组】
1、关于的方程的两个不等根，，都在之内，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．，，
【答案】D
【解析】设，则解得，，
【变式】(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 AB
解析 画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，
由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得解得4≤m<6.
2.(多选)已知a∈R，关于x的不等式>0的解集可能是( )
A．(1，a) B．(－∞，1)∪(a，＋∞)C．(－∞，a)∪(1，＋∞) D．
答案 BCD
解析 当a<0时，不等式等价于(x－1)(x－a)<0，
解得a当a＝0时，不等式的解集是 ；
当00，
解得x>1或x当a＝1时，不等式等价于(x－1)2>0，解得x≠1；
当a>1时，不等式等价于(x－1)(x－a)>0，
解得x>a或x<1.
【变式】已知函数，解不等式.
【详解】①当时，；∴.
②当时，由得或，
（i）当即时，，
（ⅱ）当即时，，
（ⅲ）当即时，，
综上，当时，所求不等式的解集为.
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为，
当时，所求不等式的解集为.
函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由可知，，
即，解得，
故的定义域为.
故选：A.
【反馈型题组】
1．(多选)与不等式x2－x＋2>0的解集相同的不等式有( )
A．x2＋x－2>0 B．－x2＋x－2>0 C．－x2＋x－2<0 D．2x2－3x＋2>0
答案 CD
解析 对于不等式x2－x＋2>0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式x2－x＋2>0的解集为R.
对于A项，不等式x2＋x－2>0可变形为(x－1)(x＋2)>0，解得x<－2或x>1；
对于B项，不等式－x2＋x－2>0即x2－x＋2<0，Δ＝1－4×2＝－7<0，故不等式－x2＋x－2>0的解集为 ；
对于C项，不等式－x2＋x－2<0等价于x2－x＋2>0，满足条件；
对于D项，对于不等式2x2－3x＋2>0，Δ＝9－4×22<0，故不等式2x2－3x＋2>0的解集为R.
2、不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a<－2或a≥2} B．{a|－2答案 C
解析 因为不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为 ，
所以不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R.
当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，符合题意；
当a－2≠0，即a≠2时，
需满足
解得－2综上，实数a的取值范围是{a|－23．（多选）已知关于的不等式解集为，则（ ）
A． B．
C． D．不等式的解集为
【答案】BCD
【详解】对于A，因为不等式解集为，所以，故A错误；
对于B，易得是方程的两个不等实根，所以，
又，所以，故B正确；
对于C，令，满足，则可化为，故C正确；
对于D，由选项AB分析可得，即，又，
所以可化为，故，解得，
即的解集为，故D正确.
故选：BCD.
4．不等式>x的解集是________．
答案 (－∞，－1)∪(1,5)
解析 不等式>x化为以下两个不等式组或
解即解得x<－1，
解即解得1所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,5)．
5.已知函数
(1)解关于x的不等式；
(2)若关于x的不等式的解集为，求的最小值．
【详解】（1）因为，
所以，即．
当时，不等式的解集为．
当时，不等式的解集为．
当时，不等式的解集为．
（2）由题意，关于的方程有两个不等的正根，
由韦达定理知解得．
则，
，
因为，，所以，
当且仅当，且，即时，等号成立，
此时，符合条件，则．
综上，当且仅当时，取得最小值36．