第八章 立体几何初步
8.1基本立体图形
（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
（2）一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.
（3）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱柱记作棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形，分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱.
（4）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
（5）有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
（6）底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
（7）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.
棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱台记作棱台.由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台.
（8）以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
（9）以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.
圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥.
（10）用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
（11）半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.球通常用表示球心的字母来表示，如图中的球记作球.
(12)还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体.
下列命题不正确的是（ ）
A．正方体一定是正四棱柱
B．底面是正多边形的棱柱是正棱柱
C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．平行六面体的六个面均为平行四边形
下列命题中，正确的是（ ）
A．四棱柱是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的六面体是长方体
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．正六棱锥的侧棱和底面边长一定不相等
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
下列命题正确的是（ ）
A．所有棱长都相等的直四棱柱一定是正方体
B．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
C．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
下列说法中正确的是（ ）
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱
一个棱柱是正四棱柱的一个充要条件是
（ ）
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形的平行六面体
C．底面是正方形且两个相邻侧面是矩形
D．每个侧面都是全等的矩形
下列结论不正确的是（ ）
A．长方体是平行六面体
B．正方体是正四棱柱
C．平行六面体是四棱柱
D．直四棱柱是长方体
以下四个命题中，真命题为（ ）
A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．直四棱柱是直平行六面体
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
下列判断正确的是（ ）
A．圆锥的侧面展开图可以是一个圆面
B．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C．一个西瓜切3刀最多可切成8块
D．过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个
下列说法正确的是（ ）
A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D．圆锥的母线可能平行
下列命题：
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
下列说法中正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．上下底面全等，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．棱台的底面是两个相似的正方形
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
下如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱
C．圆锥 D．三棱柱
如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一
个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5） B．（1）（3）
C．（2）（4） D．（1）（5）
下面空间图形的截面一定是圆面的是
（ ）
A．圆台 B．球
C．圆柱 D．圆锥
平面截球
用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的______；若平面不经过球心，所得的截面称为球的______．
问题2 用平面截球，得到的截面是什么形状？______．
四棱柱集合，长方体集合，正四棱柱集
合，正方体集合之间有怎样的包含关系？请用几何语言表示．
下图的几何体是棱柱吗？为什么？
已知一个直四棱柱的底面边长为5cm的
正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题：
(1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？
(2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
长方体是______．（写出所有正确选项
的序号）
①直四棱柱；②正四棱柱；③正方体；④直棱柱．
如图的螺钉分别由哪些简单几何体构
成？______________________
画笔是由哪些简单几何体构成的？
______________．
课后练习
下列说法正确的是（ ）
A．底面是矩形的四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体
C．棱柱的各个侧面都是平行四边形
D．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
下列命题是真命题的是（ ）
A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
B．正四面体是特殊的正四棱锥
C．有一个面是多边形，其余各个面都是三角形的多面体叫做棱锥
D．正四棱柱是平行六面体
满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是（ ）
A．底面是矩形
B．有一个侧面与底面垂直
C．有一个侧面是矩形
D．相邻两个侧面是矩形
下列说法正确的是（ ）
A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线
B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
C．圆锥的轴截面是等腰三角形
D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆
给出下列命题：①用平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似；②两底面平行，各侧面都是梯形的空间图形是棱台；③棱柱的侧面展开后是一个平行四边形或矩形．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
给出下列关于棱锥的说法：①四棱锥共有四条棱；②五棱锥共有五个面；③六棱锥的顶点有六个；④任何棱锥都只有一个底面．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段
B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段
C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形
D．球不可以用表示球心的字母表示
下列说法正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心
B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
下列命题中正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是正四棱柱
D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体
(多选)下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．长方体不一定是正四棱柱
C．底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D．正四面体一定是正三棱锥
(多选)下列命题中正确的是（ ）
A．一个棱柱至少有4个面
B．平行六面体中相对的两个面是全等的矩形
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
(多选)下列命题中为假命题的是（ ）
A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D．正四棱柱是平行六面体
(多选)下列命题中不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱
C．正三棱锥就是正四面体
D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
(多选)下列命题中不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱
C．正三棱锥就是正四面体
D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
(多选)下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．长方体不一定是正四棱柱
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
(多选)下列说法不正确的是（ ）
A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B．绕直角三角形任一边旋转所得几何体为圆锥
C．用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
(多选)下列命题中正确的有（ ）
A．圆锥、圆台的底面都是圆面
B．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
C．用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台
D．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱
(多选)下列命题正确的是（ ）
A．平行六面体是四棱柱
B．不存在每个面都是直角三角形的四面体
C．棱台的侧棱延长后交于一点
D．用一个平行底面的平面去截圆锥，截下来的圆锥与原圆锥的体积比等于截下来的圆锥的高与原圆锥高的立方比
(多选)下列命题不正确的是（ ）.
A．棱台的上 下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
(多选)用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A．四棱台 B．四棱柱
C．三棱柱 D．三棱锥
给出下列四个命题：
①棱柱的侧面都是平行四边形；
②底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
③直棱柱的侧面是矩形；
④正棱柱的侧面是全等的矩形．
其中真命题的序号是______（填所有真命题的序号）．
一个棱台至少有______个面．
判断下列命题的真假：
（1）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．( )
（2）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱．( )
（3）圆柱、圆锥的底面都是圆．( )
（4）圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径．( )
判断下列结论是否正确：
（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥. ( )
（2）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥. ( )
（3）圆台的轴截面是等腰梯形 ( )
判断下列命题是否正确？
（1）有两个面互相平行的多面体是棱柱．( )
（2）各个侧面都是矩形的多面体是长方体．( )
（3）各棱长相等的四面体是正三棱锥．( )
判断下列命题是否正确：
（1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱．( )
（2）有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱．( )
（3）有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱．( )
（4）底面是正方形的棱柱是正棱柱．( )
（5）棱柱最多有两个面是矩形．( )第八章 立体几何初步
8.1基本立体图形
（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
（2）一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.
（3）有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱柱记作棱柱.棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形，分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱.
（4）侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
（5）有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.
（6）底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
（7）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.
棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱台记作棱台.由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台.
（8）以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
（9）以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.
圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥.
（10）用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
（11）半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.球通常用表示球心的字母来表示，如图中的球记作球.
(12)还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体.
下列命题不正确的是（ ）
A．正方体一定是正四棱柱
B．底面是正多边形的棱柱是正棱柱
C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．平行六面体的六个面均为平行四边形
【答案】B
【详解】对于A，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，故A正确；
对于B，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形但侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故B错误；
对于C，有两个相邻的侧面是矩形，说明公共侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，而侧棱与底面垂直的棱柱为直棱柱，所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正确；
对于D，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故D正确．
故选：B
下列命题中，正确的是（ ）
A．四棱柱是平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的六面体是长方体
D．底面是矩形的四棱柱是长方体
【答案】C
【详解】对于A，当四棱柱的底面是梯形时，则此四棱柱不是平行六面体，所以A错误，
对于B，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，底面可以是一般的平行四边形，则它不是长方体，所以B错误，
对于C，根据长方体的结构特征可知，六个面都是矩形的六面体是长方体，所以C正确，
对于D，当四棱柱的侧棱与底面不垂直时，则不是长方体，所以D错误，
故选：C
下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．正六棱锥的侧棱和底面边长一定不相等
D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
【答案】C
【详解】对A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体，A错；
对B，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；
对C，正六棱锥的底面为正六边形，其底面最长的对角线长度为底面边长的两倍，又该对角线和相交的两条侧棱要构成三角形，故侧棱一定大于底面边长，C对
对D，棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；
故选：C.
下列命题正确的是（ ）
A．所有棱长都相等的直四棱柱一定是正方体
B．长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
C．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
【答案】B
【详解】对于A，所有棱长都相等的直四棱柱的底面是菱形，不一定是正方形，故A不正确；
对于B，长方体的侧棱垂直于底面，所以长方体一定是直四棱柱，根据正四棱柱的定义可知正四棱柱一定是长方体，故B正确；
对于C，如图：由两个斜四棱柱组成的几何体满足题意，这个几何体就不是棱柱，故C不正确；
对于D，如图：由两个棱台组合而成的几何体满足题意，这个几何体就不是棱台，故D不正确；
故选：B
下列说法中正确的是（ ）
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是正四棱柱
【答案】C
【详解】直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；
直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；
C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错.
故选：C.
一个棱柱是正四棱柱的一个充要条件是
（ ）
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形的平行六面体
C．底面是正方形且两个相邻侧面是矩形
D．每个侧面都是全等的矩形
【答案】C
【详解】对于A中，若底面是正方形，有两个侧面是矩形，另外两个侧面是平行四边形，则棱柱可以为斜棱柱，所以不正确；
对于B中，底面是正方形，侧棱不垂直底面的平行六面体为斜棱柱，所以不正确；
对于C中，底面是正方形且两个相邻侧面是矩形，可得侧棱垂直于底面，此时为正四棱柱，所以是正确的；
对于D中，底面不是正方形，侧棱垂直于底面，满足每个侧面都是全等的矩形，不是正四棱柱，所以不正确．
故选C．
下列结论不正确的是（ ）
A．长方体是平行六面体
B．正方体是正四棱柱
C．平行六面体是四棱柱
D．直四棱柱是长方体
【答案】D
【详解】由定义知：长方体是特殊的平行六面体，A正确；
正方体是特殊的正四棱柱，B正确；
平行六面体是特殊的四棱柱，C正确；
底面是长方形的直四棱柱是长方体，D错误.
故选：D.
以下四个命题中，真命题为（ ）
A．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
B．底面是矩形的平行六面体是长方体
C．直四棱柱是直平行六面体
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【详解】A中， 如图，若，且，则该三棱锥不是正三棱锥，A是假命题；
B中，平行六面体中侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题；
C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故直四棱柱不一定是直平行六面体，C是假命题；
D中，根据棱台的定义，D是真命题.
故选：D
下列判断正确的是（ ）
A．圆锥的侧面展开图可以是一个圆面
B．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C．一个西瓜切3刀最多可切成8块
D．过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个
【答案】C
【详解】选项A，由圆锥的母线一定比底面半径大，可得圆锥的侧面展开图是一个圆心角不超过的扇形，A错误；
选项B，底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等，故不一定是正三棱锥，B错误；
一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图的方法切割可得最多块数，故C正确；
当两个点为球的两个极点，则过两点的大圆有无数个，故D错误.
故选：C
下列说法正确的是（ ）
A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面
B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线
C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点
D．圆锥的母线可能平行
【答案】C
【详解】对于A，当平面沿轴截圆台时，截面为等腰梯形，故A错误；
对于B，旋转的直角梯形不垂直于底的腰叫做圆台的母线，故B错误；
对于C，由于圆台可由一个平行于底面的平面截圆锥所得，故C正确；故D错误；
故选：C.
下列命题：
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，
显然不是棱柱，故①错误；
②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；
③如图3，四边形为矩形，
即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．
故选：A
下列说法中正确的是（ ）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．上下底面全等，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．棱台的底面是两个相似的正方形
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【详解】A中, 要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面间部分才叫棱台, 如果截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截面间部分只能叫多面体, 故A错误；
B中, 如图所示几何体，
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但不是棱柱，故B错误；
C中，棱台的底面不一定是两个相似的正方形，只需是相似多边形即可，故C错误；
D中, 由棱台的定义知棱台的侧棱延长后必交于一点, 故D正确.
故选：D.
下如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱
C．圆锥 D．三棱柱
【答案】B
【详解】解：将展开图还原后，可得到一个圆柱，
故选：B.
如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一
个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5） B．（1）（3）
C．（2）（4） D．（1）（5）
【答案】D
【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示；
当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状；
故选：D
下面空间图形的截面一定是圆面的是
（ ）
A．圆台 B．球
C．圆柱 D．圆锥
【答案】B
【详解】解：对于A：圆台的截面可能是等腰梯形，故A错误；
对于B：球的截面一定是圆面，故B正确；
对于C：圆柱的截面可能是矩形，故C错误；
对于D：圆锥的截面可能是等腰三角形，故D错误；
故选：B
平面截球
用一个平面去截球，若平面经过球心，所得的截面称为球的______；若平面不经过球心，所得的截面称为球的______．
问题2 用平面截球，得到的截面是什么形状？______．
【答案】 大圆 小圆 圆
【详解】略.
故答案为：大圆；小圆；圆.
四棱柱集合，长方体集合，正四棱柱集
合，正方体集合之间有怎样的包含关系？请用几何语言表示．
【答案】．
【详解】四棱柱是底面为四边形的棱柱；
长方体是底面为矩形的直棱柱；
正四棱柱是底面为正方形的长方体；
正方体是侧棱与底面边长相等的正四棱柱；
直四棱柱是侧棱垂直于底面，且底面为任意四边形的四棱柱.
所以.
下图的几何体是棱柱吗？为什么？
【答案】不是，理由见解析
【详解】不是，根据棱柱的定义，应有两个全等的互相平行的平面多边形，图中几何体没有.
已知一个直四棱柱的底面边长为5cm的
正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题：
(1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？
(2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
【答案】(1)6个面，8个顶点，12条棱
(2)是长方形，
【详解】（1）
由直四棱柱的特征可知直四棱柱一共有6个面，8个顶点，12条棱.
（2）
将直四棱柱的侧面展开是一个长方形.长方形的宽为直四棱柱的侧棱长，所以宽为8cm，长为直四棱柱的底边边长的四倍，即，所以长为20cm，所以侧面展开图面积为
长方体是______．（写出所有正确选项
的序号）
①直四棱柱；②正四棱柱；③正方体；④直棱柱．
【答案】①④
【详解】长方体是是底面为长方形的直四棱柱，所以长方体是直四棱柱，也属于直棱柱.
故答案为：①④.
如图的螺钉分别由哪些简单几何体构
成？______________________
【答案】正六棱柱和圆柱
【详解】由题意知，螺钉由正六棱柱和圆柱构成.
故答案为：正六棱柱和圆柱.
画笔是由哪些简单几何体构成的？
______________．
【答案】圆锥和圆柱
【详解】圆锥及圆柱的结构特征可知，画笔是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的.
故答案为：圆锥和圆柱.
课后练习
下列说法正确的是（ ）
A．底面是矩形的四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体
C．棱柱的各个侧面都是平行四边形
D．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
【答案】C
【详解】底面是矩形的四棱柱有可能是斜棱柱，不一定是长方体，故错误；
一般的四棱柱上下两个底面平行，其余各面都是平行四边形，但上下底面不一定是平行四边形，故四棱柱不一定是平行六面体，故B错误；
根据棱柱的性质可知C正确；
如图所示的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形，但不是棱柱，故错误.
故选：C.
下列命题是真命题的是（ ）
A．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
B．正四面体是特殊的正四棱锥
C．有一个面是多边形，其余各个面都是三角形的多面体叫做棱锥
D．正四棱柱是平行六面体
【答案】D
【详解】A．当两个侧面是矩形且相邻时，四棱柱是直四棱柱；当两个侧面是矩形且不相邻时，四棱柱不是直四棱柱；故 A不正确；
B．正四面体是三棱锥，故B错误，
C．棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故C错误，
D．正四棱柱是平行六面体，正确，
故选D．
满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是（ ）
A．底面是矩形
B．有一个侧面与底面垂直
C．有一个侧面是矩形
D．相邻两个侧面是矩形
【答案】D
【详解】如图所示是一个斜四棱柱：
因为底面是矩形，故A错误；
因为侧面与底面垂直，故B错误；
侧面是矩形，故C错误；
当相邻两个侧面是矩形时，则这两个侧面的交线与底面垂直，即得到侧棱与底面垂直，则该棱柱一定是直棱柱，故D正确.
故选：A.
下列说法正确的是（ ）
A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线
B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
C．圆锥的轴截面是等腰三角形
D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆
【答案】C
【详解】解：对于A，若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，故A错误；
对于B，当这两点是直径的两个端点时，可作无数个大圆，故B错误；
对于C，根据圆锥的定义可知圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故C正确；
对于D，用一个平面去截球，该平面需过球心的时候，所得的圆才是大圆，故D错误；
故选：C
给出下列命题：①用平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似；②两底面平行，各侧面都是梯形的空间图形是棱台；③棱柱的侧面展开后是一个平行四边形或矩形．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【详解】①，用平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，①正确；
②，符合命题的空间图形的侧棱未必交于一点，故②错误；
③，斜棱柱的侧面展开后可能是多边形的组合图形，故③错误．
故正确的有个.
故选：B
给出下列关于棱锥的说法：①四棱锥共有四条棱；②五棱锥共有五个面；③六棱锥的顶点有六个；④任何棱锥都只有一个底面．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【详解】四棱锥共有八条棱，故①错误；五棱锥共有六个面，故②错误；
六棱锥的顶点有七个，故③错误；由棱锥的定义知④正确．
所以正确的有个.
故选：B
下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段
B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段
C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形
D．球不可以用表示球心的字母表示
【答案】A
【详解】解：根据球的定义知A正确；
因为球的直径必过球心，所以B错误；
因为球的任何截面都是圆面，所以C错误；
球常用表示球心的字母表示，故D错误.
故选：A.
下列说法正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影一定是底面正多边形的中心
B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
【答案】B
【详解】对于A：底面是正多边形的棱锥的顶点在底面的射影不一定是底面正多边形的中心,比如：有一条侧棱和底面垂直的棱锥.故A错误；
对于B：当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时,各侧面构成平面图形,构不成棱锥,由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能为六棱锥,故B正确；
对于C：把两个相同的棱台底面重合在一起,就不是棱台,故C错误；
对于D：由棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,才是棱锥.故D错误.
故选：B
下列命题中正确的是（ ）
A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是正四棱柱
D．四个面都是等边三角形的四面体是正四面体
【答案】D
【详解】选项A：有一个面是多边形，其余各面是三角形，如果其余各面没有一个共同的顶点的几何体就不是棱锥.判断错误；
选项B：有两个面平行且相似，其余各面都是梯形，如果侧棱不相交于一点的多面体不是棱台.判断错误；
选项C：当长方体有一组相对面是正方形时是正四棱柱. 判断错误；
选项D：四个面都是等边三角形的四面体是正四面体.判断正确.
故选：D
(多选)下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．长方体不一定是正四棱柱
C．底面是正多边形的棱锥，是正棱锥
D．正四面体一定是正三棱锥
【答案】BD
【详解】解：四棱柱的上下底面四边形可以是任意四边形,故A不正确；
长方体不一定是正四棱柱，正确，因为长方体的三边可以不相等，所以B正确；
不仅底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，才是正棱锥，故C不正确；
正四面体一定是正三棱锥，故D正确.
故选：BD.
(多选)下列命题中正确的是（ ）
A．一个棱柱至少有4个面
B．平行六面体中相对的两个面是全等的矩形
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】CD
【详解】A，一个棱柱的底面至少有3条边，所以至少有5个面，错误.
B，由平行六面体的概念和性质，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，错误.
C，根据棱锥的定义，其底面为多边形，侧面都是有一个公共顶点的三角形，
所以有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，正确.
D，由正棱锥的定义和性质可得，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确.
故选：CD
(多选)下列命题中为假命题的是（ ）
A．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D．正四棱柱是平行六面体
【答案】ABC
【详解】对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体，A错误；
对于选项B，根据棱柱的定义，显然不成立，如图，满足要求，但不是棱柱，B错误；
对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误；
D选项，正四棱柱是平行六面体，D正确．
故选：ABC．
(多选)下列命题中不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱
C．正三棱锥就是正四面体
D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
【答案】ABC
【详解】选项A. 如图的几何体满足有两个面平行，其余各面都是四边形，但不是棱柱，故不正确.
选项B. 底面是正多边形的棱柱,当侧棱不垂直于底面时，不是正棱柱，故不正确.
选项C. 正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故不正确.
选项D. 由直棱柱的定义可知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确.
故选：ABC
(多选)下列命题中不正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱
C．正三棱锥就是正四面体
D．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱
【答案】AC
【详解】解：A.如图：
几何体满足有两个面平行，其余各面都是平行四边形但不是棱柱，
B.由正棱柱的定义知：底面是正多边形的直棱柱一定是正棱柱，故正确；
C.在正三棱锥中，当侧棱与底面正三角形的边长不相等时，不是正四面体，故错误；
D.由直棱柱的定义知：侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故正确；
故选：AC
(多选)下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．长方体不一定是正四棱柱
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【答案】BD
【详解】对于A选项，四棱柱的底面不一定是平行四边形，A选项错误；
对于B选项，长、宽、高均不相等的长方体不是正四棱柱，B选项正确；
对于C选项，底面是正多边形，但侧棱长不相等的棱锥不是正棱锥，C选项错误；
对于D选项，由棱台的性质可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，D选项正确.
故选：BD.
(多选)下列说法不正确的是（ ）
A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B．绕直角三角形任一边旋转所得几何体为圆锥
C．用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆
D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
【答案】BD
【详解】AC选项根据圆锥、圆台、球的结构特征即可得到是正确的；
B选项需要绕直角三角形的直角边旋转得到的才是圆锥，故B错；
D选项有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如下图：
故选：BD.
(多选)下列命题中正确的有（ ）
A．圆锥、圆台的底面都是圆面
B．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
C．用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台
D．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱
【答案】AD
【详解】对于A，圆锥、圆台的底面都是圆面，所以A正确，
对于B，用一个平面去截圆柱，如轴截面是矩形，故B错误；
对于C，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故C错误，
对于D，分别以矩形（非正方形）的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周后得到的两个空间图形是两个不同的圆柱，所以D正确，
故选：AD
(多选)下列命题正确的是（ ）
A．平行六面体是四棱柱
B．不存在每个面都是直角三角形的四面体
C．棱台的侧棱延长后交于一点
D．用一个平行底面的平面去截圆锥，截下来的圆锥与原圆锥的体积比等于截下来的圆锥的高与原圆锥高的立方比
【答案】ACD
【详解】平行六面体符合四棱柱的定义，所以A选项正确.
如下图所示，在正方体内，四面体每个面都是直角三角形，所以B选项错误.
根据棱台的定义可知，棱台的侧棱延长后交于一点，C选项正确.
用一个平行底面的平面去截圆锥，截下来的圆锥与原圆锥相似，
所以截下来的圆锥与原圆锥的体积比等于截下来的圆锥的高与原圆锥高的立方比，D选项正确.
故选：ACD
(多选)下列命题不正确的是（ ）.
A．棱台的上 下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
【答案】ABCD
【详解】对于A：棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故A错误；
对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱锥的定义相矛盾，故B错误；
对于C：两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故C错误；
对于D：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥，故D错误；
故选：ABCD
(多选)用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ）
A．四棱台 B．四棱柱
C．三棱柱 D．三棱锥
【答案】BCD
【详解】如图三棱柱，连接，则可得平面截三棱柱，得到一个三棱锥，所以D正确，
若用一个平行于平面的平面去截三棱柱，如图平面，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确，
因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误，
故选：BCD
给出下列四个命题：
①棱柱的侧面都是平行四边形；
②底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
③直棱柱的侧面是矩形；
④正棱柱的侧面是全等的矩形．
其中真命题的序号是______（填所有真命题的序号）．
【答案】①②③④
【详解】①中，棱柱的侧棱互相平行，侧面都是平行四边形，正确；
②中，底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体，正确；
③中，直棱柱的侧棱垂直于底面，且侧棱平行且相等，即侧面是矩形，正确；
④中，正棱柱为底面为正多边形的直棱柱，侧面是全等的矩形，正确；
故答案为：①②③④
一个棱台至少有______个面．
【答案】5
【详解】由题意，面数最少的棱台是三棱台，其中三棱台有个面．
故答案为：.
判断下列命题的真假：
（1）以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥．( )
（2）以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱．( )
（3）圆柱、圆锥的底面都是圆．( )
（4）圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径．( )
【答案】 错误 错误 错误
错误
【详解】对于（1），以直角三角形的斜边为轴旋转一周得到的旋转体不是圆锥,而是两个同底的圆锥构成的组合体,故（1）错误；
对于（2），以直角梯形的一腰为轴旋转得到的旋转体不是圆柱，故（2）错误;
对于（3），圆柱、圆锥的底面都是圆面，故（3）错误
对于（4），圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，大于底面圆的半径，故（4）错误.
故答案为：错误；错误；正确；错误.
判断下列结论是否正确：
（1）有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥. ( )
（2）侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥. ( )
（3）圆台的轴截面是等腰梯形 ( )
【答案】 错误 正确 正确
【详解】有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥.故（1）错误，
侧棱长相等，各侧面与底面所成的角相等的棱锥是正棱锥，故（2）正确，
圆台的轴截面是等腰梯形，故（3）正确.
故答案为：错误；正确；正确
判断下列命题是否正确？
（1）有两个面互相平行的多面体是棱柱．( )
（2）各个侧面都是矩形的多面体是长方体．( )
（3）各棱长相等的四面体是正三棱锥．( )
【答案】 错误 错误 正确
【详解】对于(1)：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体为棱柱，故(1)错误；
对于(2)：各个侧面都是矩形，且上下底面也都是矩形的几何体是长方体，故(2)错误；
对于(3)：底面为正多边形，且各个侧棱均相等的棱锥为正棱锥，显然(3)正确.
判断下列命题是否正确：
（1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱．( )
（2）有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱．( )
（3）有一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱．( )
（4）底面是正方形的棱柱是正棱柱．( )
（5）棱柱最多有两个面是矩形．( )
【答案】 错误 错误 错误 错误 错误
【详解】侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
对于（1），有两个侧面是矩形的棱柱，当这两个侧面是平行的时候，也有可能是斜棱柱，故错误；
对于（2），一个侧面垂直于底面，可能只是侧面内的其他一条直线垂直于底面，并不能保证侧棱垂直于底面，故该棱柱不一定是直棱柱；
对于（3），一条侧棱垂直于底面两边，但这两边不相交时，并不能保证该侧棱垂直于底面，故该棱柱不一定是直棱柱；
对于（4），底面是正方形，但该棱柱不是直棱柱时，也不能称其为正棱柱；
对于（5），对于正三棱柱，它有三个侧面都是矩形，故该说法并不正确.
故答案为：错误；错误；错误；错误；错误
