8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
【预学案】
【情境导入】
问题1、在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？
直观感知： 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB ，则DC 与A1B1平行吗？
问题2、在平面内, 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，这两个角什么关系？空间中这一结论是否仍然成立呢？
活动1：在桌面上摆出一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，观察这两个角的大小关系（工具：4支笔）
活动2：如果将活动1的角拿到空间中，这两个角是否仍有这样的
大小关系呢？
【教材新知】
1．基本事实4
平行于同一条直线的两条直线平行．
本质：该事实即平行公理，空间中判断线线平行的依据，体现了直线的平行具有传递性，空间直线可以平移．
【思考】平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？
提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等．
2．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【思考】平面中怎样利用平行证明两个角相等？
提示：两直线平行同位角、内错角相等，平行四边形中对角相等．
【预学检测】
1．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( )
A．30° B．150°
C.30°或150° D．大小无法确定
【解析】选C.两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系所以∠B′A′C′＝30°或150°.
2．如图，AA′是长方体ABCD A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有________条．
【解析】因为四边形ABB′A′，ADD′A′均为长方形，
所以AA′∥BB′，AA′∥DD′.
又四边形BCC′B′为长方形，所以BB′∥CC′，所以AA′∥CC′.故与AA′平行的棱共有3条，
它们分别是BB′，CC′，DD′.
答案：3
【探究案】
探究一、空间直线平行的判定及应用(逻辑推理)
例1、教材P134例1。在本例中，若再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
【变式】 如图，空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且，求证:四边形EFGH为梯形.
【练习】
1．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A.3条 B．4条 C．5条 D．6条
【解析】1.选B.由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD，BC，A1D1，所以共有4条．
2．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是______．
【解析】2．在△ABC中，
因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.
又在三棱柱ABC A1B1C1中，BC∥B1C1，
所以EF∥B1C1.
答案：平行
3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
【解析】3．因为梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥AB且EF＝(AB＋CD).
又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB.
因为G，H分别为AD′，BC′的中点，
所以GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，
所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形．
【归纳总结】
关于空间中两直线平行的证明：
(1)辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边．
(2)证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本事实4，柱体中相对的棱、对角线等的平行关系．
探究二、等角定理及应用(逻辑推理)
例2、求证：在空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补.
【变式】如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∠1与∠2，∠1与∠3大小关系如何？
【练习】1、在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，
证明：∠BGC＝∠FD1E.
【证明】因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，
所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
2、如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1( )
A.相等 B．互补
C.相等或互补 D．不确定
【解析】选B.由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC1，
所以∠EFG与∠ABC1的两组对边分别平行，一组对应边方向相同，一组对应边方向相反，
故∠EFG与∠ABC1互补．
【归纳总结】
关于等角定理的应用
(1)根据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行．
(2)根据角的两边的方向、角的大小判定角相等．
【课堂小结】
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
并非所有关于平面的结论都可以推广到空间。8．5 空间直线、平面的平行
8．5.1 直线与直线平行
【学习目标】
1.理解基本事实4，会用基本事实4证明线线平行.
2.掌握等角定理及其证明方法，会用等角定理求角.
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
【情境导入】
问题1、在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？
直观感知： 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB ，则DC 与A1B1平行吗？
问题2、在平面内, 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，这两个角什么关系？空间中这一结论是否仍然成立呢？
活动1：在桌面上摆出一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，观察这两个角的大小关系（工具：4支笔）
活动2：如果将活动1的角拿到空间中，这两个角是否仍有这样的大小关系呢？
【教材新知】
1．基本事实4
平行于同一条直线的两条直线平行．
本质：该事实即平行公理，空间中判断线线平行的依据，体现了直线的平行具有传递性，空间直线可以平移．
【思考】平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？
2．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【思考】平面中怎样利用平行证明两个角相等？
【预学检测】
1．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( )
A．30° B．150° C.30°或150° D．大小无法确定
2．如图，AA′是长方体ABCD A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有________条．
【预学反馈】
【探究案】
探究一、空间直线平行的判定及应用(逻辑推理)
例1、教材P134例1。在本例中，若再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
【变式】 如图，空间四边形ABCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且，求证:四边形EFGH为梯形.
【练习】
1．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( )
A.3条 B．4条 C．5条 D．6条
2．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是______．
3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
【归纳总结】
关于空间中两直线平行的证明：
探究二、等角定理及应用(逻辑推理)
例2、求证：在空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补.
【变式】如图，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∠1与∠2，∠1与∠3大小关系如何？
【练习】1、在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，
证明：∠BGC＝∠FD1E.
2、如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1B的中点，则∠EFG与∠ABC1( )
A.相等 B．互补 C.相等或互补 D．不确定
【归纳总结】
关于等角定理的应用
【课堂小结】
