4.2-4.3等差数列与等比数列 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 4.2-4.3等差数列与等比数列 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 838.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-20 20:05:02 | ||
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文档简介
第4章4.3等比差数列同步练
2022-2023学年下学期高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等比数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．设等比数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．90 B．250 C．210 D．850
3．已知是公比不为1的等比数列，则以下数列：①；②；③；④；⑤，其中等比数列的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．等比数列中，公比，用表示它的前项之积，则，，…，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知数列的前项和，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，设是其前项和，则对于任意的正整数，点落在（ ）
A．直线上 B．直线上
C．直线上 D．以上答案都不对
8．等比数列的首项为1，公比为，前项的和为，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则的前项的和是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在等比数列中，，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
11．已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
13．公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足．则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最大值为 D．
14．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（ ）
A． B． C．3 D．8
15．已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）．
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递减数列 D．的前n项和
二、解答题
16．已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列满足，，求数列的前n项和．
17．已知为等比数列．
(1)若，，求
(2)若，求的值．
18．假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.已知在这以后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.问：
(1)到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
(2)到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造的住房面积的比例首次大于85%？
19．由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不做广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果做广告宣传且每件售价不变，那么投入广告费用n千元比投入广告费用（n－1）千元时的销售量多件（n为正整数）．
(1)试写出投入广告费用n千元时的销售量件与n的函数关系式；
(2)当a＝10，b＝4000时，公司应投入几千元的广告费用，同时销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？
三、双空题
20．如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记第块纸板的面积为，则______，如果，恒成立，那么的取值范围是______．
21．已知在等比数列中，
（1）若它的首项为，公比为，则通项公式为______；
（2）若它的公比为，第项为，第项为，则通项公式为______．
22．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，第n层的货物的价格为______万元，若这堆货物总价是万元，则n的值为______．
23．(多空题)已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则a29＝________，使得Sn<1 000成立的n的最大值为________.
24．已知正项等比数列中，，，则__________，又数列满足，；若为数列的前项和，那么__________.
参考答案：
1．C
【分析】利用等比数列的通项公式的推广形式，表示出已知条件，再进行计算即可．
【详解】设等比数列的公比为，则，，
所以．
故选：C．
2．D
【分析】利用等比数列的求和公式，求出，，即可求得结论．
【详解】解：由题意数列的公比，设首项为，
，，
，，
两式相除可得，，
，
故选：D．
3．D
【分析】根据等比数列的定义判断可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，则，，
对于①，因为不是常数，所以不是等比数列，故①不正确；
对于②，为非零常数，所以是等比数列，故②正确；
对于③，为非零常数，所以是等比数列，故③正确；
对于④，为非零常数，所以是等比数列，故④正确；
对于⑤，为非零常数，所以是等比数列，故⑤正确.
故选：D
4．C
【分析】根据题意分析的符号，结合前项之积的性质运算求解.
【详解】∵，则当为奇数时，，当为偶数时，，
∴当或时，，
当或时，，
由题意可得：，令，解得，
若取到最大，则，，即中最大的是.
故选：C.
5．D
【分析】根据已知条件及取等比数列进行验证，利用等比数列的性质即可求解.
【详解】对于A，等比数列满足，但是，故A错误；
对于B，等比数列满足，但是，故B错误，
对于C，等比数列满足，但是，故C错误，
对于D，若，由，所以等比数列为递减数列，故正确；
若，由或，当时，等比数列为递减数列，故正确；当时，偶数项为正，奇数项为负，故正确；故D正确.
故选：D.
6．D
【分析】由已知条件求得，进而得，可知数列是等比数列，由等比数列的求和公式即可得答案．
【详解】当时，，
当时，，
也适合上式，，
，则数列是以1为首项，4为公比的等比数列，
，
故选：D．
7．B
【分析】根据已知条件及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】当时，，所以，即，
所以点在直线上，
当时，，所以，
所以，
所以点在直线上，
综上，点在直线上.
故选：B.
8．C
【分析】根据题意，结合等比数列的性质以及求和公式，即可求解.
【详解】根据题意，易知，数列也是等比数列，且首项为1，公比为，
故数列的前n项和为.
故选：C.
9．C
【分析】由表达式可知利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】由可知，
该表达式是一个以首项为1，公比为3的等比数列，共有项
故，
故选：C.
10．A
【分析】根据求出，再根据可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，
由，可得q＝2，所以.
故选：A.
11．D
【分析】根据等比数列求，进而得，由分组求和得，根据奇偶即可求解最值.
【详解】，可知为等比数列，所以，故，进而，所以
，
故，即，
当为奇数时，则对任意的奇数，满足，由于单调递减，
当时，有最大值 ，所以,
当为偶数时，满足，由于单调递减， ，
综上可得 ，
同理，
故当 时， ，故，
综上：，
故选：D
12．C
【分析】根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
【详解】因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，故，
又，则
故选：C.
13．B
【分析】假设与可判断D；利用等比中项的性质可判断A；由数列为各项为正的递减数列可判断C；由，可判断B.
【详解】若，则不合乎题意，
所以，故数列为正项等比数列，
因为，，，
若，则，
则，，则，
这与已知条件矛盾，所以不符合题意，
所以，故D错误；
因为，，
所以数列为各项为正的递减数列，
所以，无最大值，故C错误；
又，
所以，，
所以，故A错误；
又，，
所以是数列中的最大项，故B正确.
故选：B.
14．A
【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案.
【详解】设等差数列的公差，
∵等差数列的首项为1， 成等比数列，
∴，
∴，且，，
解得，
∴前6项的和为.
故选：A.
15．D
【分析】由两边取倒数求得的通项公式，对各选项进行分析判断，即可得答案.
【详解】由两边取倒数：，即，又，
所以首项为4，公比为2的等比数列，A正确.
，即，B正确.
由通项公式知：为递减数列，C正确.
因为，所以 ，D错误.
故选：D
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项，建立方程组，可得答案；
（2）根据等比数列的定义，结合其求和公式，可得答案.
【详解】（1）因为是等差数列，设数列的公差为d，
由，得，
解得，，
所以．
（2）因为，，
是等比数列，则的公比，
所以，
所以数列的前n项和．
17．(1)5
(2)10
【分析】（1）将带入条件等式，配方可求得
（2）利用带入求解．
【详解】（1）因为，所以＞0．
因为
所以.
（2）根据等比数列的性质，得
所以
所以.
18．(1)2013年底
(2)2009年底
【分析】（1）根据题意可知中低价房面积构成等差数列，利用等差数列前n项和公式可求解问题；
（2）由题意可知新建住房面积构成等比数列，利用等比数列的通项公式可求解问题.
【详解】（1）设中低价房面积构成数列，由题意可知是等差数列，
其中，d＝50，则.
由题意令，由n为正整数，解得，
所以到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
（2）设新建住房面积构成数列，由题意可知是等比数列，
其中，q＝1.08，则.
由题意令，则，
经计算器解得满足上述不等式的最小正整数为n＝6，
所以到2009年底，
当年建造的中低价房的面积占该年建造的住房面积的比例首次大于85%.
19．(1)
(2)当投入广告费用5000元时，获利最大，最大值为73750元，此时销售量为7875件．
【分析】（1）根据累加法即可迭代求解，
（2）根据作差法判断数列的单调性，即可求解最值.
【详解】（1）设不做广告宣传时的销售量为，依题意，（n为正整数），
所以当时，由累加法得
（2）由题意知，设投入广告费用n千元时获利为元，则
，得．
当时，，即；
当时，，即．
于是当n＝5时，最大，最大值，此时．
所以当投入广告费用5000元时，获利最大，最大值为73750元，此时销售量为7875件．
20．
【分析】根据题意，写出前3项，再归纳总结出与的关系式，并求的最小值，解不等式即可.
【详解】第一块纸板的面积为，
第二块纸板的面积为，
第三块纸板的面积为，……，
第块纸板的面积为
，
要使得，恒成立，只需，解得，故．
故答案为：，.
21．
【分析】（1）由等比数列通项公式可直接得到结果；
（2）利用等比数列通项公式可构造方程求得，由此可得通项.
【详解】（1）由等比数列通项公式可得：；
（2）由题意得：，解得：，.
故答案为：；.
22． ；
【分析】由题意可得第层货物的价格为，再由错位相减法计算货物的总价，根据题中所给货物总价数据，列等式求解.
【详解】由题意得，第层有件货物，货物的单价为，所以第层货物的价格为万元；令这堆货物的总价为，则①，②，①-②得，，所以，因为这堆货物总价是万元，所以.
故答案为：；
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
23． 47 35
【分析】根据题意，利用列举法一一列举出数列的项，结合等差等比的求和公式，即可求解.
【详解】利用列举法，由P∪Q的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，
得数列的前35项分别为：1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，17，19，21，23，25，27，29，31，32，33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，
故，.
因为，所以，
所以n的最大值为35.
故答案为：47；35.
24．
【分析】根据等比数列通项公式可构造方程组求得，由此得到和其前项和；根据递推关系可知数列是以为周期的周期数列，可求得其前项和，利用分组求和法可求得.
【详解】设正项等比数列的公比为，
则，解得：（舍）或，；
，，，，，，……，
则数列是以为周期的周期数列，
的前项和，
又的前项和，
.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：本题中求解数列前项和时，由于通项公式是两个不同数列的和的形式，由此可确定采用分组求和的方法来进行求解.
2022-2023学年下学期高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等比数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．设等比数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．90 B．250 C．210 D．850
3．已知是公比不为1的等比数列，则以下数列：①；②；③；④；⑤，其中等比数列的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．等比数列中，公比，用表示它的前项之积，则，，…，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知数列的前项和，则等于（ ）
A． B．
C． D．
7．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，设是其前项和，则对于任意的正整数，点落在（ ）
A．直线上 B．直线上
C．直线上 D．以上答案都不对
8．等比数列的首项为1，公比为，前项的和为，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则的前项的和是（ ）
A． B． C． D．
9．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在等比数列中，，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
11．已知数列满足，若，数列的前项和为，且对于任意的都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
13．公比为q的等比数列，其前n项和为，前n项积为，满足．则下列结论正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最大值为 D．
14．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（ ）
A． B． C．3 D．8
15．已知数列满足，，则下列结论中错误的有（ ）．
A．为等比数列 B．的通项公式为
C．为递减数列 D．的前n项和
二、解答题
16．已知等差数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列满足，，求数列的前n项和．
17．已知为等比数列．
(1)若，，求
(2)若，求的值．
18．假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.已知在这以后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.问：
(1)到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
(2)到哪一年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造的住房面积的比例首次大于85%？
19．由市场调查得知：某公司生产的一种产品，如果不做广告宣传且每件获利a元，那么销售量为b件；如果做广告宣传且每件售价不变，那么投入广告费用n千元比投入广告费用（n－1）千元时的销售量多件（n为正整数）．
(1)试写出投入广告费用n千元时的销售量件与n的函数关系式；
(2)当a＝10，b＝4000时，公司应投入几千元的广告费用，同时销售量为多少件时，才能使去掉广告费用后的获利最大？
三、双空题
20．如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记第块纸板的面积为，则______，如果，恒成立，那么的取值范围是______．
21．已知在等比数列中，
（1）若它的首项为，公比为，则通项公式为______；
（2）若它的公比为，第项为，第项为，则通项公式为______．
22．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，第n层的货物的价格为______万元，若这堆货物总价是万元，则n的值为______．
23．(多空题)已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}，记Sn为数列{an}的前n项和，则a29＝________，使得Sn<1 000成立的n的最大值为________.
24．已知正项等比数列中，，，则__________，又数列满足，；若为数列的前项和，那么__________.
参考答案：
1．C
【分析】利用等比数列的通项公式的推广形式，表示出已知条件，再进行计算即可．
【详解】设等比数列的公比为，则，，
所以．
故选：C．
2．D
【分析】利用等比数列的求和公式，求出，，即可求得结论．
【详解】解：由题意数列的公比，设首项为，
，，
，，
两式相除可得，，
，
故选：D．
3．D
【分析】根据等比数列的定义判断可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，则，，
对于①，因为不是常数，所以不是等比数列，故①不正确；
对于②，为非零常数，所以是等比数列，故②正确；
对于③，为非零常数，所以是等比数列，故③正确；
对于④，为非零常数，所以是等比数列，故④正确；
对于⑤，为非零常数，所以是等比数列，故⑤正确.
故选：D
4．C
【分析】根据题意分析的符号，结合前项之积的性质运算求解.
【详解】∵，则当为奇数时，，当为偶数时，，
∴当或时，，
当或时，，
由题意可得：，令，解得，
若取到最大，则，，即中最大的是.
故选：C.
5．D
【分析】根据已知条件及取等比数列进行验证，利用等比数列的性质即可求解.
【详解】对于A，等比数列满足，但是，故A错误；
对于B，等比数列满足，但是，故B错误，
对于C，等比数列满足，但是，故C错误，
对于D，若，由，所以等比数列为递减数列，故正确；
若，由或，当时，等比数列为递减数列，故正确；当时，偶数项为正，奇数项为负，故正确；故D正确.
故选：D.
6．D
【分析】由已知条件求得，进而得，可知数列是等比数列，由等比数列的求和公式即可得答案．
【详解】当时，，
当时，，
也适合上式，，
，则数列是以1为首项，4为公比的等比数列，
，
故选：D．
7．B
【分析】根据已知条件及等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】当时，，所以，即，
所以点在直线上，
当时，，所以，
所以，
所以点在直线上，
综上，点在直线上.
故选：B.
8．C
【分析】根据题意，结合等比数列的性质以及求和公式，即可求解.
【详解】根据题意，易知，数列也是等比数列，且首项为1，公比为，
故数列的前n项和为.
故选：C.
9．C
【分析】由表达式可知利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】由可知，
该表达式是一个以首项为1，公比为3的等比数列，共有项
故，
故选：C.
10．A
【分析】根据求出，再根据可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，
由，可得q＝2，所以.
故选：A.
11．D
【分析】根据等比数列求，进而得，由分组求和得，根据奇偶即可求解最值.
【详解】，可知为等比数列，所以，故，进而，所以
，
故，即，
当为奇数时，则对任意的奇数，满足，由于单调递减，
当时，有最大值 ，所以,
当为偶数时，满足，由于单调递减， ，
综上可得 ，
同理，
故当 时， ，故，
综上：，
故选：D
12．C
【分析】根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.
【详解】因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，故，
又，则
故选：C.
13．B
【分析】假设与可判断D；利用等比中项的性质可判断A；由数列为各项为正的递减数列可判断C；由，可判断B.
【详解】若，则不合乎题意，
所以，故数列为正项等比数列，
因为，，，
若，则，
则，，则，
这与已知条件矛盾，所以不符合题意，
所以，故D错误；
因为，，
所以数列为各项为正的递减数列，
所以，无最大值，故C错误；
又，
所以，，
所以，故A错误；
又，，
所以是数列中的最大项，故B正确.
故选：B.
14．A
【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案.
【详解】设等差数列的公差，
∵等差数列的首项为1， 成等比数列，
∴，
∴，且，，
解得，
∴前6项的和为.
故选：A.
15．D
【分析】由两边取倒数求得的通项公式，对各选项进行分析判断，即可得答案.
【详解】由两边取倒数：，即，又，
所以首项为4，公比为2的等比数列，A正确.
，即，B正确.
由通项公式知：为递减数列，C正确.
因为，所以 ，D错误.
故选：D
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项，建立方程组，可得答案；
（2）根据等比数列的定义，结合其求和公式，可得答案.
【详解】（1）因为是等差数列，设数列的公差为d，
由，得，
解得，，
所以．
（2）因为，，
是等比数列，则的公比，
所以，
所以数列的前n项和．
17．(1)5
(2)10
【分析】（1）将带入条件等式，配方可求得
（2）利用带入求解．
【详解】（1）因为，所以＞0．
因为
所以.
（2）根据等比数列的性质，得
所以
所以.
18．(1)2013年底
(2)2009年底
【分析】（1）根据题意可知中低价房面积构成等差数列，利用等差数列前n项和公式可求解问题；
（2）由题意可知新建住房面积构成等比数列，利用等比数列的通项公式可求解问题.
【详解】（1）设中低价房面积构成数列，由题意可知是等差数列，
其中，d＝50，则.
由题意令，由n为正整数，解得，
所以到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
（2）设新建住房面积构成数列，由题意可知是等比数列，
其中，q＝1.08，则.
由题意令，则，
经计算器解得满足上述不等式的最小正整数为n＝6，
所以到2009年底，
当年建造的中低价房的面积占该年建造的住房面积的比例首次大于85%.
19．(1)
(2)当投入广告费用5000元时，获利最大，最大值为73750元，此时销售量为7875件．
【分析】（1）根据累加法即可迭代求解，
（2）根据作差法判断数列的单调性，即可求解最值.
【详解】（1）设不做广告宣传时的销售量为，依题意，（n为正整数），
所以当时，由累加法得
（2）由题意知，设投入广告费用n千元时获利为元，则
，得．
当时，，即；
当时，，即．
于是当n＝5时，最大，最大值，此时．
所以当投入广告费用5000元时，获利最大，最大值为73750元，此时销售量为7875件．
20．
【分析】根据题意，写出前3项，再归纳总结出与的关系式，并求的最小值，解不等式即可.
【详解】第一块纸板的面积为，
第二块纸板的面积为，
第三块纸板的面积为，……，
第块纸板的面积为
，
要使得，恒成立，只需，解得，故．
故答案为：，.
21．
【分析】（1）由等比数列通项公式可直接得到结果；
（2）利用等比数列通项公式可构造方程求得，由此可得通项.
【详解】（1）由等比数列通项公式可得：；
（2）由题意得：，解得：，.
故答案为：；.
22． ；
【分析】由题意可得第层货物的价格为，再由错位相减法计算货物的总价，根据题中所给货物总价数据，列等式求解.
【详解】由题意得，第层有件货物，货物的单价为，所以第层货物的价格为万元；令这堆货物的总价为，则①，②，①-②得，，所以，因为这堆货物总价是万元，所以.
故答案为：；
【点睛】数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
23． 47 35
【分析】根据题意，利用列举法一一列举出数列的项，结合等差等比的求和公式，即可求解.
【详解】利用列举法，由P∪Q的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，
得数列的前35项分别为：1，2，3，4，5，7，8，9，11，13，15，16，17，19，21，23，25，27，29，31，32，33，35，37，39，41，43，45，47，49，51，53，55，57，59，
故，.
因为，所以，
所以n的最大值为35.
故答案为：47；35.
24．
【分析】根据等比数列通项公式可构造方程组求得，由此得到和其前项和；根据递推关系可知数列是以为周期的周期数列，可求得其前项和，利用分组求和法可求得.
【详解】设正项等比数列的公比为，
则，解得：（舍）或，；
，，，，，，……，
则数列是以为周期的周期数列，
的前项和，
又的前项和，
.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：本题中求解数列前项和时，由于通项公式是两个不同数列的和的形式，由此可确定采用分组求和的方法来进行求解.