5.2导数的运算 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 5.2导数的运算 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 327.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-20 20:05:34 | ||
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文档简介
5.2 导数的运算
一、单选题
1．对于三次函数，定义是的导函数的导函数，经过讨论发现命题：“一定存在实数，使得成立”为真，请你根据这一结论判断下列命题：
①一定存在实数，使得成立；②一定存在实数，使得成立；③若，则；④若存在实数，且满足：，则函数在上一定单调递增，所有正确的序号是
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
2．以下四个式子分别是对函数在其定义域内求导，其中正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
3．点P在曲线上移动，若曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，当时，（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
5．下列求导数运算正确的是
A． B． C． D．
6．设，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、多选题
7．函数过点的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列 求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
9．设函数，若，则a的值为______．
10．英国数学家泰勒发现了一个恒等式，则______．
11．函数在点处的切线方程为___________.
12．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则___________.
四、解答题
13．已知函数，，，若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程．
14．求曲线在点处的切线方程．
15．求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
16．求下列函数在指定点的导数：
(1)；
(2).
参考答案：
1．C
【分析】根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，可判断①，②，由三次函数的对称中心判断③；利用导数判断函数单调性判断④；
【详解】，，因为，所以②正确，但①不一定正确.由已知命题得，函数关于点中心对称，所以③正确.若存在实数，且满足：，则函数在上可以单调递增，也可以单调递减，所以④不正确.
故选C.
【点睛】本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．
2．B
【分析】直接利用求导公式逐个求解即可
【详解】对于①，，所以①错误，
对于②，，所以②错误，
对于③，，所以③正确，
对于④，，所以④正确，
故选：B
3．A
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率范围，即可求解作答.
【详解】设点，由求导得：，
因此曲线在点处的切线斜率，于是得，
而，则当时，，当时，，
所以的取值范围是.
故选：A
4．D
【分析】根据复合函数的求导法则，及对应基本函数的导数公式求导函数，进而求的导数值.
【详解】可由及复合而成，
∴.
∴.
故选：D.
5．C
【分析】根据初等函数的导数公式，结合导数的运算法则，对四个选项逐一判断即可.
【详解】因为,错;,错；，错；
因为,故选C.
【点睛】本题主要考查初等函数的导数公式以及导数的运算法则，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.
6．C
【分析】求函数f(x)的导数， 将x=1代入即可得到答案.
【详解】，故.
故选C
【点睛】本题考查导数的运算，熟记基本初等函数的导数公式是关键，属于基础题.
7．AD
【分析】设出切点坐标，利用导数求切线斜率，得切线方程，代入点可得切点和切线方程.
【详解】设切点坐标为，由，∴在处的切线斜率为，
切线方程为，由切线过，
，解得或，时切线方程，选D；
时切线方程，选A.
故选：AD
8．AD
【分析】利用导数的运算求解判断.
【详解】A，因为，所以，故正确；
B，因为，所以，故错误；
C，因为，所以，故错误；
D，因为，所以，故正确.
故选：AD.
9．
【分析】结合导数运算以及求得的值.
【详解】，
当时，；
当时，，无解.
故答案为：
10．
【分析】根据已知条件等式两边同时求导，再利用赋值法即可求解.
【详解】由题意可知，
两边同时求导，得，
显然上式中，令时，等号右边出现所需式子，则令，得
.
故答案为：.
11．
【分析】根据题意利用导数的几何意义求解即可
【详解】易知，又，所以切线的斜率，
所以函数在点处的切线方程为，
化简得.
故答案为：
12．
【分析】根据题意求解可得对称中心，再根据对称中心的性质求解即可.
【详解】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，.
故答案为：
13．，切线方程
【分析】由导数的几何意义列方程组求解，
【详解】，，设两曲线交点的横坐标为，
由解得，故交点坐标为，切线斜率为，
故切线方程为，即
14．
【分析】根据先求出的导数，再根据导数的几何意义，以及点斜式，即可求出结果.
【详解】解：由题意可知，，
所以,
所以曲线在点处的切线方程为，即.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）根据导数的加法运算法则即可计算；
（2）根据导数的除法运算法则即可计算.
【详解】（1）；
（2）.
16．(1)
(2)
【分析】直接利用导数的运算法则求出导函数，然后代入的值计算即可.
(1)
由已知，
则.
(2)
由已知，
则.
一、单选题
1．对于三次函数，定义是的导函数的导函数，经过讨论发现命题：“一定存在实数，使得成立”为真，请你根据这一结论判断下列命题：
①一定存在实数，使得成立；②一定存在实数，使得成立；③若，则；④若存在实数，且满足：，则函数在上一定单调递增，所有正确的序号是
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
2．以下四个式子分别是对函数在其定义域内求导，其中正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
3．点P在曲线上移动，若曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，当时，（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
5．下列求导数运算正确的是
A． B． C． D．
6．设，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
二、多选题
7．函数过点的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列 求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
9．设函数，若，则a的值为______．
10．英国数学家泰勒发现了一个恒等式，则______．
11．函数在点处的切线方程为___________.
12．设函数是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.已知三次函数，若，则___________.
四、解答题
13．已知函数，，，若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程．
14．求曲线在点处的切线方程．
15．求下列函数的导数：
（1）；
（2）.
16．求下列函数在指定点的导数：
(1)；
(2).
参考答案：
1．C
【分析】根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，可判断①，②，由三次函数的对称中心判断③；利用导数判断函数单调性判断④；
【详解】，，因为，所以②正确，但①不一定正确.由已知命题得，函数关于点中心对称，所以③正确.若存在实数，且满足：，则函数在上可以单调递增，也可以单调递减，所以④不正确.
故选C.
【点睛】本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，求函数的值以及函数的对称性的应用，属于难题．
2．B
【分析】直接利用求导公式逐个求解即可
【详解】对于①，，所以①错误，
对于②，，所以②错误，
对于③，，所以③正确，
对于④，，所以④正确，
故选：B
3．A
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率范围，即可求解作答.
【详解】设点，由求导得：，
因此曲线在点处的切线斜率，于是得，
而，则当时，，当时，，
所以的取值范围是.
故选：A
4．D
【分析】根据复合函数的求导法则，及对应基本函数的导数公式求导函数，进而求的导数值.
【详解】可由及复合而成，
∴.
∴.
故选：D.
5．C
【分析】根据初等函数的导数公式，结合导数的运算法则，对四个选项逐一判断即可.
【详解】因为,错;,错；，错；
因为,故选C.
【点睛】本题主要考查初等函数的导数公式以及导数的运算法则，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.
6．C
【分析】求函数f(x)的导数， 将x=1代入即可得到答案.
【详解】，故.
故选C
【点睛】本题考查导数的运算，熟记基本初等函数的导数公式是关键，属于基础题.
7．AD
【分析】设出切点坐标，利用导数求切线斜率，得切线方程，代入点可得切点和切线方程.
【详解】设切点坐标为，由，∴在处的切线斜率为，
切线方程为，由切线过，
，解得或，时切线方程，选D；
时切线方程，选A.
故选：AD
8．AD
【分析】利用导数的运算求解判断.
【详解】A，因为，所以，故正确；
B，因为，所以，故错误；
C，因为，所以，故错误；
D，因为，所以，故正确.
故选：AD.
9．
【分析】结合导数运算以及求得的值.
【详解】，
当时，；
当时，，无解.
故答案为：
10．
【分析】根据已知条件等式两边同时求导，再利用赋值法即可求解.
【详解】由题意可知，
两边同时求导，得，
显然上式中，令时，等号右边出现所需式子，则令，得
.
故答案为：.
11．
【分析】根据题意利用导数的几何意义求解即可
【详解】易知，又，所以切线的斜率，
所以函数在点处的切线方程为，
化简得.
故答案为：
12．
【分析】根据题意求解可得对称中心，再根据对称中心的性质求解即可.
【详解】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，.
故答案为：
13．，切线方程
【分析】由导数的几何意义列方程组求解，
【详解】，，设两曲线交点的横坐标为，
由解得，故交点坐标为，切线斜率为，
故切线方程为，即
14．
【分析】根据先求出的导数，再根据导数的几何意义，以及点斜式，即可求出结果.
【详解】解：由题意可知，，
所以,
所以曲线在点处的切线方程为，即.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）根据导数的加法运算法则即可计算；
（2）根据导数的除法运算法则即可计算.
【详解】（1）；
（2）.
16．(1)
(2)
【分析】直接利用导数的运算法则求出导函数，然后代入的值计算即可.
(1)
由已知，
则.
(2)
由已知，
则.