第七章 复数
7.2复数的四则运算
（1）设是任意两个复
数，则；
（2）对任意，有.
（3）复平面内的点对应的复数分别为，则之间的距离为.
（4）.
设是任意两个复
数，则.
（5）.
（6）复数除法的法则是：且 .通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，化简后就可得到上面的结果.
复数z满足，则复数的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，故虚部为.
故选：D.
已知复数满足，则在复平面
内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】依题意得，，对应复平面的点是，在第四象限.
故选：D.
已知复数是纯虚数，则实
数（ ）
A．0 B．2
C． D．
【答案】D
【详解】因为是纯虚数，所以
解得．
故选：D
设复数满足，则（ ）
A． B．
C．4 D．5
【答案】B
【详解】，，
故选:B.
已知复数的共轭复数满足，
则（ ）
A．5 B．3
C． D．
【答案】D
【详解】设，则，
又因为，即，
所以，所以，
故选：D.
已知，且，其中
为实数，则（ ）
A．1 B．3
C． D．5
【答案】C
【详解】因为，所以，
所以，
所以由可得，解得，
所以，
故选：C
复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，而对应的点的坐标为
故选:D
已知复数满足，则（ ）
A． B．
C．2 D．5
【答案】B
【详解】由题意，复数z满足，则
故选:B．
已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，
所以．
故选：B
复数 （是虚数单位）的共轭复数是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，所以它的共轭复数为.
故选：D.
复数满足：（其中是虚
数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】由，，则，即，故该复数对应的点为，
故选：D.
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：；
故选：C
若，其中为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】，
故复数在复平面内对应的点为，位于第二象限，
故选：B.
已知复数，则的共轭复数在复
平面中对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二
C．三 D．四
【答案】A
【详解】由题意得，
所以，在复平面中对应的点为，在第一象限.
故选：A.
若，则（ ）
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以．
故选：A
的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以．
故选：B.
已知复数满足（为虚数单位），则
的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．1
【答案】B
【详解】解：令，x，，则，
即，表示点与点距离为1的点集，
此时，表示圆
上点到原点距离，所以的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，
而圆心到原点距离为，且半径为1，
所以圆上点到原点的距离的最大值为．
故选：B．
复平面中有动点，所对应的复数满足
，则动点的轨迹为（ ）
A．直线 B．线段
C．两条射线 D．圆
【答案】A
【详解】设动点Z坐标为，则，所以，即，化简得：，故动点Z的轨迹为直线.
故选：A
已知复数满足，则的轨迹
为（ ）
A．线段 B．直线
C．椭圆 D．椭圆的一部分
【答案】A
【详解】，根据复数的几何意义知表示点到定点与的距离之和为2，而，故点的轨迹为线段.
故选：A
已知复数满足，则
复平面内由点形成的区域的面积为______．
【答案】
【详解】复数满足，
则，所以，
所以复平面内由点形成的区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，
该区域的面积为．
故答案为：
设复数z满足，则
的取值范围是_________.
【答案】
【详解】设复数z在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为，
由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，取最大值，最大值为，
所以取值范围为.
故答案为：.
已知复数，满足，，
，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______．
【答案】
【详解】，是以复平面内点为圆心，以为半径的圆，
， ，
即：复数与复数在复平面内所对应的点之间的距离为，
复数以复平面内点为圆心，以为半径的圆，
则在复平面所对应的点组成的图形的面积为：
故答案为：.
课后练习
设是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：，其虚部为，
故选：A．
已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由已知可得，因此，.
故选：D.
已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以复数的共轭复数是．
故选：B．
已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵
∴复数z的虚部是
故选：B.
若复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
故选：B．
若复数满足，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，则，
所以，
，
所以，
所以.
故选：A
已知复数，且， 其中为实数， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：因为，所以，则由得：
，即，
故，解得：.
故选：A.
若，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，则，
，，即，.
故选：A.
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】.
故选：A
已知是虚数单位，复数满足， 则（ ）
A．2 B．1
C． D．
【答案】D
【详解】法一：因为，
所以，
所以；
法二：因为，
所以，
所以.
故选：D.
已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，所以，
故选：B
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，
∴，
．
故选：C．
复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】，所对应的点为，
故选:A
已知复数，则复数的模为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解析：
．
故选：B.
复数（是虚数单位）的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，故原复数的共轭复数为.
故选：C.
已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，
所以的虚部为-1.故A，B，C错误.
故选：D.
已知复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，
故
故选：B
若，则（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】D
【详解】由题设有，故，
故，
故选：D.
已知，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】B
【详解】解：因为，所以，
所以，解得.
故选：B.
已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．i B．
C．1 D．
【答案】B
【详解】由题可知，
故选:B
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C
复数（为虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】复数 .
在复平面上所对应的点为，故位于第四象限.
故选：D
已知是虚数单位，则的值为___________.
【答案】
【详解】因为，
所以.
故答案为：
设为虚数单位，则复数_______．
【答案】
【详解】.
故答案为：.
已知，则复数________．
【答案】
【详解】，可得：．
故答案为：
已知，_________.
【答案】
【详解】解：因为，所以；
故答案为：
已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为______．
【答案】
【详解】由题意可得，即，
根据两个复数相等的充要条件可得，解得，
故答案为：.
已知、，且，（其中为虚数单位），则____________．
【答案】
【详解】.
故答案为：.
若复数满足，则复数对应的点的轨迹所围成的图形的面积为________.
【答案】9π
【详解】由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.
故答案为：9π
已知复数.
(1)若，求和的值；
(2) 求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为复数，
故由可得；
（2）
由于，故.
已知复数及复数．
(1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义；
(2)求．
【答案】(1)-2-i，作图见解析
(2)
【详解】（1）
解：复数．
如图，．
（2）
．
已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】(1)
设复数对应的向量为．
图1
设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为
(2)
设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为．
图2
如果复数满足条件，求实数的取值范围.
【答案】.
【详解】由题意，设
即复数z在复平面内的点在以点为圆心，2为半径的圆D内.
示意图如图所示：
又因为，
所以在复平面内表示复数z的点又在直线上.
所以.
所以a的取值范围是.第七章 复数
7.2复数的四则运算
（1）设是任意两个复
数，则；
（2）对任意，有.
（3）复平面内的点对应的复数分别为，则之间的距离为.
（4）.
设是任意两个复
数，则.
（5）.
（6）复数除法的法则是：且 .通常先把写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数，化简后就可得到上面的结果.
复数z满足，则复数的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
已知复数满足，则在复平面
内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
已知复数是纯虚数，则实
数（ ）
A．0 B．2
C． D．
设复数满足，则（ ）
A． B．
C．4 D．5
已知复数的共轭复数满足，
则（ ）
A．5 B．3
C． D．
已知，且，其中
为实数，则（ ）
A．1 B．3
C． D．5
复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
已知复数满足，则（ ）
A． B．
C．2 D．5
已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
复数 （是虚数单位）的共轭复数是
（ ）
A． B．
C． D．
复数满足：（其中是虚
数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
（ ）
A． B．
C． D．
若，其中为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
已知复数，则的共轭复数在复
平面中对应的点在第（ ）象限
A．一 B．二
C．三 D．四
若，则（ ）
A．5 B．4
C．3 D．2
的计算结果是（ ）
A． B．
C． D．
已知复数满足（为虚数单位），则
的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．1
复平面中有动点，所对应的复数满足
，则动点的轨迹为（ ）
A．直线 B．线段
C．两条射线 D．圆
已知复数满足，则的轨迹
为（ ）
A．线段 B．直线
C．椭圆 D．椭圆的一部分
已知复数满足，则
复平面内由点形成的区域的面积为______．
设复数z满足，则
的取值范围是_________.
已知复数，满足，，
，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______．
课后练习
设是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B．
C． D．
已知复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是（ ）
A． B．
C． D．
若复数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
若复数满足，则=（ ）
A． B．
C． D．
已知复数，且， 其中为实数， 则（ ）
A． B．
C． D．
若，则（ ）．
A． B．
C． D．
（ ）
A． B．
C． D．
已知是虚数单位，复数满足， 则（ ）
A．2 B．1
C． D．
已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B．1
C． D．
，则（ ）
A． B．
C． D．
复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
已知复数，则复数的模为（ ）
A． B．
C． D．
复数（是虚数单位）的共轭复数是（ ）
A． B．
C． D．
已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B．
C． D．
已知复数，则（ ）
A． B．
C． D．
若，则（ ）
A．1 B．2
C． D．
已知，其中为虚数单位，则（ ）
A． B．1
C． D．2
已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．i B．
C．1 D．
（ ）
A． B．
C． D．
复数（为虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
已知是虚数单位，则的值为___________.
设为虚数单位，则复数_______．
已知，则复数________．
已知，_________.
已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为______．
已知、，且，（其中为虚数单位），则____________．
若复数满足，则复数对应的点的轨迹所围成的图形的面积为________.
已知复数.
(1)若，求和的值；
(2) 求.
已知复数及复数．
(1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义；
(2)求．
已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量：
(1)；
(2)．
如果复数满足条件，求实数的取值范围.
