7.2离散型随机变量及其分布列 课时作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 7.2离散型随机变量及其分布列 课时作业（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 378.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-20 20:07:20 | ||
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文档简介
7.2离散型随机变量及其分布列 课时作业
一、单选题
1．随机变量的所有等可能取值为1,2,…,n，若P(<4)=0.3,则n=（ ）
A．3 B．4 C．10 D．不确定
2．已知随机变量满足，则
A． B． C． D．
3．随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为（ ）
A． B． C．110 D．55
4．已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量的分布列表，又随机变量，则的均值是
0 1
A． B． C． D．3
6．若实数x∈R，记随机变量ξ＝，则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为（ ）
A．1 B．0
C．－1 D．1或0
二、多选题
7．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当（且）时，
D．当时，Y的均值为
8．下列变量是随机变量的是（ ）
A．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数
B．一台机器在一段时间内出现故障的次数
C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数
D．方程的实根个数
三、填空题
9．已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
设，则E(Y)的值为________
10．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a 2a b
，当最大时，=_______________．
11．设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________.
12．已知随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3),则P(X=2)=_____.
四、解答题
13．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.
（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.
（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.
14．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和，求的分布列．
15． “键盘侠”是指部分在现实生活中胆小怕事，而在网上占据道德高点发表“个人正义感”和“个人评论”的人群．某调查组织在某广场上邀请了10名男士和10名女士，并请他们谈一下对“键盘侠”的认识，结果10名男士中有的人认为他的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有的人也这样认为，其他人都认为他的出现是“社会冷漠的表现”．
（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”的概率；
（2）从10名男士中抽取两人，10名女士中抽取一人，将三人中认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”的人数记为，求的分布列．
16．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.
(1)现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，记随机变量表示质量在内的芒果个数，求的分布列及数学期望.
(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所以芒果以元/千克收购；
B：对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
参考答案：
1．C
【分析】等可能事件，即每个值取到可能性一样，而小于4的数有3个，从而有，可解得．
【详解】是等可能地取值,
.
.
故选：C.
2．D
【解析】根据期望的性质，即可得出结果.
【详解】因为随机变量满足，
所以.
故选D
【点睛】本题主要考查随机变量的期望，熟记期望的性质即可，属于常考题型.
3．B
【分析】根据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解
【详解】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，
且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，
∴55a＝1，∴a＝
故选：B.
4．D
【分析】根据概率和为，求得参数，再求，则问题得解.
【详解】因为，
解得.
故.
故选：
【点睛】本题考查根据分布列求参数值，属基础题.
5．C
【解析】根据随机变量概率分布特点求得，进而根据随机变量均值公式求解出；再根据求得结果.
【详解】由题意得：
由题意可得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查随机变量概率分布及均值的求解、均值的性质应用，属于基础题.
6．A
【分析】先解不等式≥1，再根据随机变量ξ求解.
【详解】不等式≥1，可化为不等式，
即，
解得0而当x∈(0，1]时，ξ＝1.
故选：A.
7．BCD
【分析】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围.
【详解】对于A：当时，，，则，选项A错误；
对于B，当时，由，，可得，或，，
所以，选项B正确；
对于C，当（且）时，，，则，选项C正确；
对于D，当时，Y的可能取值为1，2，
则，
，则Y的均值为，选项D正确．
故选：BCD
8．ABC
【分析】根据随机变量的定义判断即可求解.
【详解】随机变量的定义为：作一次实验，其结果有多种可能；选项ABC都符合随机变量的定义，故ABC都正确；
方程的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误.
故选：ABC.
9．
【分析】先利用频率之和为求出的值，利用分布列求出，然后利用数学期望的性质得出可得出答案．
【详解】由随机分布列的性质可得，得，
，因此，.
故答案为.
【点睛】本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质，灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键，属于基础题．
10．.
【分析】先计算，再计算，，当时最大,得到答案.
【详解】由题知,
,
故当时最大,
此时
故答案为
【点睛】本题考查了期望和方差，意在考查学生的计算能力.
11．##
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答.
【详解】依题意，，解得，
所以a的值为.
故答案为：
12．
【详解】分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）．
详解：∵P（X=i）= (i=1,2,3)，
∴a=3，
∴P（X=2）=.
故答案选：C．
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质： ①Pi≥0，i＝1，2，…；②P1+P2+…=1．
13．（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲
【分析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中，的所有可能取值为，即可求出
， ， ， ． ，进而求出的数学期望．
（2）分别求出选手选择方案甲通过测试的概率为，和选手选择方案乙通过测试的概率为 ，比较大小，即可求出结果．
【详解】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，
其中，
的所有可能取值为，则
，
，
，
．
的分布列为： ，，，．
所以，
所以，的数学期望为．
（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，
选手选择方案乙通过测试的概率为
，
因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
14．答案见解析
【分析】根据题设写出所有可能的取值，应用古典概型的概率求法求各对应值的概率，最后写出的分布列．
【详解】由题意，所有可能的取值为3，4，5，6，且，，，．
∴的分布列为
3 4 5 6
15．（1） ；（2） 答案见解析．
【分析】（1）根据题意得到10名男士中有4人，10名女士中有5人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，然后利用古典概型和对立事件的概率求解；
（2）易知的取值范围为，然后利用独立事件和古典概型的概率，求得其相应概率，列出分布列.
【详解】（1）由题意，可知10名男士中有4人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有5人也这样认为．
设“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人认为‘键盘侠’的出现是‘社会进步的表现’”为事件，
则．
（2）易知的取值范围为，
则，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
16．（1）见解析；（2）见解析.
【详解】试题分析：（1）个芒果中，质量在和内的分别有个和个.
则的可能取值为，分别求出各随机变量对应的概率，从而可得的分布列，利用期望公式可求得的数学期望；（2）分别求出两种方案获利的数学期望（即平均值），比较两个平均值的大小，平均值较大的方案获利更大.
试题解析：（1）9个芒果中，质量在和内的分别有6个和3个.
则的可能取值为0,1,2,3.
，，
，
所以的分布列为
的数学期望.
（2）方案A：
方案B：
低于250克：元
高于或等于250克元
总计元
由，故B方案获利更多，应选B方案.
【方法点睛】本题主要考查直方图的实际应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的分布列与数学期望的问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
一、单选题
1．随机变量的所有等可能取值为1,2,…,n，若P(<4)=0.3,则n=（ ）
A．3 B．4 C．10 D．不确定
2．已知随机变量满足，则
A． B． C． D．
3．随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a的值为（ ）
A． B． C．110 D．55
4．已知随机变量的概率分布为，其中是常数，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量的分布列表，又随机变量，则的均值是
0 1
A． B． C． D．3
6．若实数x∈R，记随机变量ξ＝，则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为（ ）
A．1 B．0
C．－1 D．1或0
二、多选题
7．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当（且）时，
D．当时，Y的均值为
8．下列变量是随机变量的是（ ）
A．在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数
B．一台机器在一段时间内出现故障的次数
C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数
D．方程的实根个数
三、填空题
9．已知X的分布列为
X －1 0 1
P a
设，则E(Y)的值为________
10．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a 2a b
，当最大时，=_______________．
11．设随机变量的分布列为，（，2，3），则a的值为___________.
12．已知随机变量X的分布列为P(X=i)= (i=1,2,3),则P(X=2)=_____.
四、解答题
13．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.
（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.
（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.
14．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和，求的分布列．
15． “键盘侠”是指部分在现实生活中胆小怕事，而在网上占据道德高点发表“个人正义感”和“个人评论”的人群．某调查组织在某广场上邀请了10名男士和10名女士，并请他们谈一下对“键盘侠”的认识，结果10名男士中有的人认为他的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有的人也这样认为，其他人都认为他的出现是“社会冷漠的表现”．
（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”的概率；
（2）从10名男士中抽取两人，10名女士中抽取一人，将三人中认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”的人数记为，求的分布列．
16．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.
(1)现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，记随机变量表示质量在内的芒果个数，求的分布列及数学期望.
(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所以芒果以元/千克收购；
B：对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？
参考答案：
1．C
【分析】等可能事件，即每个值取到可能性一样，而小于4的数有3个，从而有，可解得．
【详解】是等可能地取值,
.
.
故选：C.
2．D
【解析】根据期望的性质，即可得出结果.
【详解】因为随机变量满足，
所以.
故选D
【点睛】本题主要考查随机变量的期望，熟记期望的性质即可，属于常考题型.
3．B
【分析】根据随机变量的概率和为1,列出方程即可求解
【详解】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，
且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，
∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，
∴55a＝1，∴a＝
故选：B.
4．D
【分析】根据概率和为，求得参数，再求，则问题得解.
【详解】因为，
解得.
故.
故选：
【点睛】本题考查根据分布列求参数值，属基础题.
5．C
【解析】根据随机变量概率分布特点求得，进而根据随机变量均值公式求解出；再根据求得结果.
【详解】由题意得：
由题意可得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查随机变量概率分布及均值的求解、均值的性质应用，属于基础题.
6．A
【分析】先解不等式≥1，再根据随机变量ξ求解.
【详解】不等式≥1，可化为不等式，
即，
解得0
故选：A.
7．BCD
【分析】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围.
【详解】对于A：当时，，，则，选项A错误；
对于B，当时，由，，可得，或，，
所以，选项B正确；
对于C，当（且）时，，，则，选项C正确；
对于D，当时，Y的可能取值为1，2，
则，
，则Y的均值为，选项D正确．
故选：BCD
8．ABC
【分析】根据随机变量的定义判断即可求解.
【详解】随机变量的定义为：作一次实验，其结果有多种可能；选项ABC都符合随机变量的定义，故ABC都正确；
方程的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误.
故选：ABC.
9．
【分析】先利用频率之和为求出的值，利用分布列求出，然后利用数学期望的性质得出可得出答案．
【详解】由随机分布列的性质可得，得，
，因此，.
故答案为.
【点睛】本题考查随机分布列的性质、以及数学期望的计算与性质，灵活利用这些性质和相关公式是解题的关键，属于基础题．
10．.
【分析】先计算，再计算，，当时最大,得到答案.
【详解】由题知,
,
故当时最大,
此时
故答案为
【点睛】本题考查了期望和方差，意在考查学生的计算能力.
11．##
【分析】利用离散型随机变量分布列的性质，列式计算作答.
【详解】依题意，，解得，
所以a的值为.
故答案为：
12．
【详解】分析：根据所给的随机变量的分布列，写出各个变量对应的概率，根据分布列中各个概率之和是1，把所有的概率表示出来相加等于1，得到关于a的方程，解方程求得a的值，最后求出P（X=2）．
详解：∵P（X=i）= (i=1,2,3)，
∴a=3，
∴P（X=2）=.
故答案选：C．
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 分布列的两个性质： ①Pi≥0，i＝1，2，…；②P1+P2+…=1．
13．（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲
【分析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中，的所有可能取值为，即可求出
， ， ， ． ，进而求出的数学期望．
（2）分别求出选手选择方案甲通过测试的概率为，和选手选择方案乙通过测试的概率为 ，比较大小，即可求出结果．
【详解】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，
其中，
的所有可能取值为，则
，
，
，
．
的分布列为： ，，，．
所以，
所以，的数学期望为．
（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，
选手选择方案乙通过测试的概率为
，
因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
14．答案见解析
【分析】根据题设写出所有可能的取值，应用古典概型的概率求法求各对应值的概率，最后写出的分布列．
【详解】由题意，所有可能的取值为3，4，5，6，且，，，．
∴的分布列为
3 4 5 6
15．（1） ；（2） 答案见解析．
【分析】（1）根据题意得到10名男士中有4人，10名女士中有5人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，然后利用古典概型和对立事件的概率求解；
（2）易知的取值范围为，然后利用独立事件和古典概型的概率，求得其相应概率，列出分布列.
【详解】（1）由题意，可知10名男士中有4人认为“键盘侠”的出现是“社会进步的表现”，10名女士中有5人也这样认为．
设“从这些男士和女士中各抽取一人，至少有一人认为‘键盘侠’的出现是‘社会进步的表现’”为事件，
则．
（2）易知的取值范围为，
则，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
16．（1）见解析；（2）见解析.
【详解】试题分析：（1）个芒果中，质量在和内的分别有个和个.
则的可能取值为，分别求出各随机变量对应的概率，从而可得的分布列，利用期望公式可求得的数学期望；（2）分别求出两种方案获利的数学期望（即平均值），比较两个平均值的大小，平均值较大的方案获利更大.
试题解析：（1）9个芒果中，质量在和内的分别有6个和3个.
则的可能取值为0,1,2,3.
，，
，
所以的分布列为
的数学期望.
（2）方案A：
方案B：
低于250克：元
高于或等于250克元
总计元
由，故B方案获利更多，应选B方案.
【方法点睛】本题主要考查直方图的实际应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的分布列与数学期望的问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.