广州市第八十九中学 2022 学年高一下周末卷 9（20230414）
姓名：___________班级：___________学号：___________
一、单选题:
1
．已知向量 a (2,1),b (x, 2)，若 a//b，则a b （ ）
A．(－2，－1) B．(2，1) C．(3，－1) D．(－3，1)
2．在 ABC中，若 AB AC 0，则 ABC－定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．下列说法正确的是（ ）
A．向量 AB与向量BA是相等向量
r r
B．与实数类似，对于两个向量 a，b有 a b， a b， a b三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
4．在 ABC中， BC 1，CD BC，且点D为 AB的中点， AD 2，则 AC （ ）
A． 13 B． 15 C．3 3 D．3 5
5．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是
由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦
图"中，若 BC a,BA b ,BE 3EF ，则 BF （ ）
5 a 3 b 3 4
A． B． a b
4 5 5 5
12 9 16 12
C． a b D． a b
25 25 25 25
1 2i
6．已知复数 z （i 为虚数单位），则 z的共轭复数 z 在复平面内对应的点位于
1 i
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
ur uur ur uur ur ur uur uur uur uur
7．已知两个不相等的非零向量 a、b，两组向量 x1 、 x2 、x3 、x4 、 x5 和 y1 、 y2 、 y3 、 y4 、 y5 均由 2 个 a和3个b排
列而成.记 S x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5， Smin 表示 S所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题的个数为
（ ）
①S可能有5个不同的值；②若 a b，则 Smin 与 | a |无关；③若 a / /b，则 Smin 与 | b |无关；④若 b 4 a ，则 Smin 0；
r r
⑤若 | b | 2 | a | ， S 2min 8 |a | ，则 a与b的夹角为 .4
A．1 B． 2 C．3 D．4
答案第 1页，共 4页
8 2
7
．已知复数 z满足：z 6i（ i为虚数单位），且 z在复平面内对应的点位于第三象限，则复数 z的虚部为（ ）4
3
A． i B． 2i C． D．3
2
二 多选题：
9．在 ABC 2 2 2中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a c b tan B 3ac，则 B的值为（ ）
5 2
A． B． C． D．
6 3 6 3
10．对于任意的平面向量 a,b,c，下列说法错误的是（ ）
A．若 a / /b且b / /c，则 a / /c B． (a b) c a c b c
C．若 a b a c，且 a 0，则b c D． (a b) c a (b c)
11．已知 z a bi a,b R 为复数， z 是 z的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）
1
A．若 z2 为纯虚数，则 a b 0 B．若 R ，则 z Rz
C．若 z i 1，则 z 的最大值为 2 D． z z | z |2
12．下列结论正确的是（ ）
A．在 ABC中，若 A B ，则 sin A sin B
B．在锐角三角形 ABC中，不等式b2 c2 a2 0 恒成立
C．在 ABC中，若 a cos B b cos A c，则 ABC是直角三角形
D．在 ABC中，若b 3，A 60 13，三角形面积 S 3 3 ，则三角形的外接圆半径为
3
三 填空题：
13．设复数 2 3i 和复数1 i在复平面上分别对应点A 和点 B，则A 、 B两点间的距离是 ．
14．已知平面向量 a (m, 4),b ( 1,m 3)，若 a与b反向共线，则实数m的值为 ．
15 6．如图所示，在△BCD中，已知 cos B ，A 为边 BD上的一点，且满足
3
AB AC 5 ，
3 ACD 60
，则 AD ．
16．如图，在平面四边形 ABCD中，
AB BC, AD CD, BAD 120 , AB AD 1．若点 E为边CD上的动点，则
EA EB的最小值为_________．
答案第 2页，共 4页
四 解答题：
17．已知虚数 z满足 z2 2z 2 .
(1)求 z；
(2)若 z的虚部为正数，比较 z 2 3i 与 z 2 3i 的大小.
18．已知 A 1,3 ， B 2, 2 ，C 4,1 .
(1)若 AB CD，求 D点的坐标；
(2)设向量a AB，b BC，若 ka b与 a 3b平行，求实数 k的值.
19 a 2sin x, cos2．已知 x ，b ( 3 cos x, 2) ， f x a b．
（1）求 f x 的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数 f x 在区间 0, 上的最大值和最小值． 2
答案第 3页，共 4页
20．在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且 2b cosC 2a c．
(1)求角 B的大小；
(2)若b 2 3 ，D为 AC边上的一点， BD 1，且 D为线段 AC的中点，求△ABC的面积．
π
21．已知函数 f x 2cos x sin x .
6
（1）求 f x 的最小正周期及 f x π π 在区间 , 上的最大值
6 4
A 3
（2）在锐角 ABC中，f（ ）= ，且 a= 3 ，求 b+c取值范围.
2 2
22．已知函数 f x cos x 2 3 sin x cos x 1 cos 2x 1 ， x R．2 2
(1)求 f x 的最小正周期和单调递增区间；
(2)求方程 f x a 1 a 0 在 0,2 内的所有实数根之和．
答案第 4页，共 4页广州市第八十九中学 2022 学年高一下周末卷 9（20230414）参考答案
1．A【分析】由a //b ，利用向量共线的坐标运算解得 x，再利用向量和的坐标运算求 a b .
【详解】解析：因为 a//b，所以 2 ( 2) x
，解得 x＝－4．所以 a b (2,1)＋ 4, 2 ＝( 2, 1) .
故选：A
2．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得 cos A 0，得到A为钝角，即可求解.
【详解】由向量的数量积的运算公式，可得 AB AC AB AC cos A 0，即 cos A 0，
因为 A (0, )，所以A为钝角，所以 ABC－定是钝角三角形.故选：C.
3．D【分析】根据向量的基本概念辨析可知.
【详解】解：对于 A，向量 AB与向量 BA是相反向量，所以 A错误；
对于 B，因为向量是有方向和大小的量，所以两个向量不能比较大小，所以 B错误；
对于 C，当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或共线，所以 C错误；
对于 D，由共线向量的定义可知，当两个向量是共线向量时，有向量所在的直线可以平行，
也可以重合，所以 D正确.故选：D
4．A【分析】利用余弦定理可求 AC的长.
【详解】∵点D为 AB的中点，且 AD 2，∴ BD 2，
在△DBC中， BC 1，CD BC，∴ DBC ，
3
在 ABC中， BC 1， AB 4， ABC ，
3
由余弦定理得：
AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos ABC 42 12 1 2 4 1 13，
2
∴ AC 13，故选：A．
5．D【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.
3 3
【详解】由题意BF BC CF BC EA BC EB BA4 4
BC 3 3
4
BF BA ，
4
25
所以 BF BC
3
BA， BF
16
BC 12 BA，
16 4 25 25
BF 16
12
a b .故选：D.
25 25
6．D【分析】利用复数的运算法则进行化简，求出共轭复数，根据复数的几何意义进行求
答案第 1页，共 10页
解.
1 2i 1 2i 1 i
【详解】复数 z
3 i
3 i
1 i 1 i z 1 i 2 ，则 ，即其在复平面内对应的点为2
3 , 1 ，位于第四象限.故选：D．
2 2
2 2 2 27．B【分析】S的取值依据所含 a 的个数分类：S1 4 a b cos b ，S2 2 a b cos a 2b ，
2 2
S3 2a 3b ，可判断①；当 a b时化简后可判断②；当 a / /b时，易知 S的值与 | b |有关，
r r
可判断③；利用 b 4 a 放缩可判断④；利用 | b | 2 | a |化简后比较大小可得最小值，然后由
Smin 8 |a |
2 求解可判断⑤.
2 2 2 2
【详解】根据题意得 S的取值依据所含 a 的个数，分三类：有 0个 a 、有1个 a 、有 2个 a ，
2 2 2
记 a,b ，分别得 S的取值为： S1 4 a b cos b ， S2 2 a b cos a 2b ，
2 2
S3 2a 3b
则 S至多有3个不同的值，①错，
2 2 2 2 2 若 a b，则 90 ，此时 S1 b ， S2 a 2b ， S3 2a 3b ，又 a、b为非零向量，则
2
Smin S1 b ，与 | a |无关，②对，
若a / /b，则 S1、 S2、 S3 均与 | b |有关，则 Smin 与 | b |一定有关，③错，
2 2 2
若 b 4 a ，则 S1 16 a cos 16 a 16 a (1 cos ) 0 、
2 2 2 2
S2 8 a cos a 32 a a (33 8 cos ) 0 、 S3 0，
则 Smin 0，④对，
r r 2 2 2 2 2 2 2
若 | b | 2 | a |，则 S1 8 a cos 4 a 、S2 4 a cos 9 a 、S3 2 a cos 12 a 14 a ，
2 2
∵ S2 S1 (5 4cos ) a 0、 S2 S1 (10 8cos ) a 0 ，
2 2 2 1
∴ Smin S1 8 a cos 4 a 8 a ，解得 cos ，∴ ，⑤错，故选：B.2 3
8．C【分析】利用复数相等的条件求出 z，再求 z的虚部.
2 2 7
z a bi a、b R z2 a2 b2 2abi
7 a b
【详解】设 （ ），则 6i，可得 4，4
2ab 6
答案第 2页，共 10页
3 3
∵ a<0，b 0
3
，解得 a 2、b ，∴ z 2 i，∴ z 2 i .故选：C.
2 2 2
9．BD 3【分析】利用余弦定理代入式子中能得到 sin B ，结合 B的范围即能得到答案
2
2 2 2
【详解】解：根据余弦定理可知 a2 c2 b2 2ac cos B，代入 a c b tan B 3ac，可
得2accosB
sin B
3ac 3，即 ，
cosB sin B 2
2
因为0 B ，所以 B 或 B ，故选：BD.
3 3
10．ACD【分析】根据平面向量共线，平面向量数量积的运算律，依次判断各项正误.
【详解】解： a / /b且b / /c，当b为零向量时，则 a与 c不一定共线，即 A错误；
由向量数量积的分配律得 (a b) c a c b c ，即 B正确；
因为 a b a c，则 a (b c) 0，又 a 0，则b c或 a (b c)，即 C错误；
取 a,b,c为非零向量，且 a与b垂直，b与 c不垂直，则 (a b) c 0，a (b c) 0，即 D错误．
故选：ACD．
11．BCD【分析】根据复数的运算，复数的定义，复数模的三角不等式及共轭复数的定义，
计算求解后判断即得．
a2 b2 0
【详解】对于 A 2，z (a bi)2 a2 b2 2abi为纯虚数，所以 ，即 a b 0，
2ab 0
所以 A错误；
1 1 a bi a b
对于 B， z a bi a bi a bi a2 b2
i
a2 b2 ，
1
因为 R，所以b 0，从而 z R，所以B正确；
z
对于 C， 由复数模的三角不等式可得 z z i i z i i 2，所以 C正确；
D z z a bi a bi a2 b2 2对于 ， | z | ，所以 D正确.故选：BCD．
12．ABC【分析】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断 A；利用余弦定理
b2 c2 2cos A a 0 ，即可判断 B；首先利用正弦定理得到 sin A B sin A B ，即可
2bc
求出 A 判断 C；对选项 D，首先利用面积公式得到 c 4，利用余弦定理得到
2 a 13
，
a
再利用正弦定理 2R即可判断 D.
sin A
【详解】对于 A，在 ABC中，由 A B a b，利用正弦定理得
答案第 3页，共 10页
2Rsin A 2Rsin B sin A sin B，故 A正确.
2 2 2
对于 B，由锐角三角形知0 A
，则 cos A b c a 0 ， b2 c2 a2 0，故 B正2 2bc
确.
对于 C，由 a cosB b cos A c ，利用正弦定理得 sin AcosB sinBcos A sinC，即
sin A B sin A B ，故 A B A B ，即 A ，则 ABC是直角三角形，故 C正
2
确.
对于 D S 1 bc sin A 1 3 c 3， 3 3，解得 c 4，利用余弦定理知
2 2 2
a2 b2 c2 2bc cos A 9 16 2 3 4 1 13，所以 a 13 ，又因为
2
13
13 2 2 39 2 R， R 39 ，故 D错误.故选：ABC
sin 60 3 3 3
【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题
的关键，属于中档题.
13．5【分析】根据复数对应的点,应用两点间距离公式求解即可.
【详解】复数 2 3i对应点 A 2,3 ,复数1 i对应点 1, 1 ，
则 AB 2 1 2 3 1 2 9 16 5 .故答案为：5
14．1【分析】根据题意得到存在实数 0，使得 a = λb，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，向量 a与b反向共线，所以存在实数 0，使得 a = λb，
m
即 (m, 4) ( 1,m 3)，可得 ，解得 1或 44 （舍去）， (m 3)
所以m 1.故答案为：1.
15． 2 6 3【分析】令 CAD ，根据 AB AC 6，结合 cos B ，由 cos cos 2B，
3
求得 ，再由 sinD sin ( 60 ) sin( 60
)，求得角 D，然后在 ACD中，利用正
弦定理求解.
5
【详解】令 CAD ，因为 AB AC ，
3
所以 cos cos 2B 2cos 2 B 1
1
，
3
2 2
所以 sin ，
3
答案第 4页，共 10页
sinD sin ( 60
) sin( 60
)，
sin cos60 cos sin 60 2 2 3 ，
6
AC AD
在 ACD中，由正弦定理得 ，
sinD sin 60
AD AC解得 sin 60 2 6 3 .故答案为：
sin D 2 6 3
21
16． 【分析】设DE DC 0 1 ，根据条件找出
16 DC BC 3
，DE 3 ，且DE
与 AB的夹角为 ，DA与 AB的夹角为 ，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出6 3
EA EB DA DE ED DA AB ，然后表示为关于 的二次函数，通过求二次函数的最
小值即可解决问题.
【详解】延长CD,BA交于点H，因为 AB BC, AD CD, BAD 120 ，所以 BCD 60 ，
DHA 30 ，
在Rt ADH 中， DHA 30 ， AD 1，所以 AH 2,DH 3 ，
在Rt△BCH 中， CHB 30 ，BH 3，所以CH 2 3,BC 3 ，
所以DC BC 3，不妨设DE DC 0 1 ，则 DE 3 ，且DE与 AB的夹角为 ，6
DA与 AB的夹角为 ，3
则EA EB DA DE ED DA AB
DA ED DA DA DA AB DE ED DE DA DE AB
2 0 DA DA AB cos 3 2 0 DE AB cos
3 6
1
1 3 2 3 3 0 3 3 2 3 ，
2 2 2 2
1 1 2 3 1 3 21
所以 时，
4 EA EB
取最小值3 .
4 2 4 2 16
21
故答案为： .
16
17．(1) z 1 i或 z 1 i；(2) z 2 3i z 2 3i .
【分析】（1）设 z a bi a,b R,b 0 ，代入已知等式，由复数相等的定义列方程组求解；
（2）由（1）得 z 1 i，然后计算复数的模后可得不等式成立．
答案第 5页，共 10页
【详解】（1）设 z a bi a,b R,b 0 2，则 a bi 2(a bi) 2 ，
2 2
2 2 a b 2a 2,
a 1, a 1,
所以 a b 2a 2ab 2b i 2，所以 ，解得 ，或
2ab 2b 0 b 1, b 1,
所以 z 1 i或 z 1 i .
2 2
（2）由题意知 z 1 i，所以 z 2 3i 3 4i 3 42 5， z 1 12 2，
2 3i 2 2 32 13，所以 z 2 3i 2 13 ，
2
所以 z 2 3i 15 2 26 15 2 25 25 z 2 3i 2 .
所以 z 2 3i z 2 3i .
1
18．(1)D(5, 4) ;(2) k .
3
【分析】（1）根据题意设D(x, y)，写出 AB,CD的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；
（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可.
【详解】（1）设D(x, y)，又因为 A 1,3 ,B 2, 2 ,C 4,1 ，
所以 AB=(1, 5),CD (x 4, y 1)，
因为 AB=CD，
x 4 1 x 5
所以 ，得 ，
y 1 5
y 4
所以D(5, 4) .
（2）由题意得， a (1, 5)，b (2,3)，
所以 ka b=(k 2, 5k 3)， a 3b (7,4)，
因为 ka b与 a 3b平行，
所以 4(k 2) 7( 5k 3) 0
1
，解得 k .
3
1
所以实数 k的值为 .
3
19 1
2
．（ ）最小正周期为 ，单调减区间为 k , k ,k Z；（2）最大值为 3，最小 6 3
值为 0．
【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.
答案第 6页，共 10页
（2）根据（1）的结果及 x的范围求出 2x 的范围，从而计算出函数的最值.
6
【详解】解： (1)a (2sin x, cos 2 x) ，b ( 3 cos x, 2)，
由 f (x) a b 2 3 sin xcos x 2cos2 x
3 sin 2x cos 2x 1 2sin(2x ) 1，
6
\ f (x) T 2 的最小正周期 ，2
由 2k
3
2x 2k ,k Z，
2 6 2
2
得： k x k , k Z，
6 3
2
\ f (x) 的单调递减区间为 k , k ， k Z； 6 3
2 x 0, 7 由 可得： 2x , , 2 6 6 6
2x 7 当 时，函数 f x 7 取得最小值为 2sin 1 0,
6 6 6
当2x
时，函数 f x 取得最大值为 2sin 1 3,
6 2 2
f x 0, 故得函数 在区间 上的最大值为 3，最小值为 0． 2
20．(1)B
2
;(2) 3 .
3
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）选择①，由 BD平分 ABC得 S△ABC S△ABD S△BCD，分别用三角形面积公式求解可得
ac a c，利用余弦定理可得 a2 c2 ac 12，联立即可求解 ac的值，即可求得△ABC的
1
面积；选择②，利用平面向量的线性运算可得 BD BA BC ，求解向量的模可得2
a2 c2 ac 4，利用余弦定理可得 a2 c2 ac 12，联立即可求解 ac的值，即可求得△ABC
的面积.
【详解】（1）解：由正弦定理知， 2sinBcosC 2sinA sinC，
∵sinA sin B C sinBcosC cosBsinC，
代入上式得2cosBsinC sinC 0，
∵C 0, ，
答案第 7页，共 10页
∴sinC 0， cosB
1
，
2
2
∵B 0, ，∴ B .
3
BD 1
2 1 1 2
（2）因为 BA BC 2， BD (BA BC)2 BA 2BA BC BC ，2 4 4
1 1 c2 2accos 2 2
4
a ，得3 a
2 c2 ac 4，
2
在 ABC 2 2 2中，由余弦定理得b a c 2accos ，
3
即a2 c2 ac 12，
a2 c2 ac 4
联立 2 2 ，可得ac 4，
a c ac 12
S 1 2 1 3∴ ABC acsin 4 3 ．2 3 2 2
3
21．（1）最小正周期为 π，最大值 ；（2） (3,2 3 .2
【分析】（1）先利用三角恒等变换对函数进行化简，进而通过三角函数的图像和性质的应用
得到答案；
（2）利用正弦定理进行边化角，然后借助三角恒等变换进行化简，最后通过三角函数的图
像和性质的应用求出结果.
1 f (x) 2cos x sin x
3
cos x 1 3【详解】（ ） 2 2 sin 2x
1 cos 2x sin(2x π) 1 ，
2 2 6 2
所以 f x 的最小正周期为 π .
π π π π 2π
因为 x ，所以 2x
6 4 6 6 3
π π π 3
于是，当 2x x f x 6 2 ，即 时， 取得最大值6 2
（2）在 ABC中， A B C π
f ( A) sin(A π) 1 3 π π π π 2 ， sin(A ) 1， A (0, ), A ( , π)，
2 6 2 2 6 2 6 6 3
A π π π , A .
6 2 3
a b c
由正弦定理 2， b 2sin B,c 2sinC，
sin A sin B sinC
b c 2sin B 2sinC 2sin B 2sin A B 2sin B 2sin π B
3
答案第 8页，共 10页
2sin B 3 cos B sin B 3sin B 3 cos B 2 3 sin(B π )，
6
0 B π 0 B π 2
2 π π B ，
0 C π 0 2 π 6 2 π B
2 3 2
B π π 2π π ( , )， sin(B ) ( 3,1 ，
6 3 3 6 2
b c 2 3 sin(B π ) (3, 2 3
6
.
10 22．(1)最小正周期为 ，增区间为 k ,k k Z 6 3 ;(2) . 3
【分析】（1）利用三角恒等化简函数解析式为 f x 2sin 2x ，利用正弦型函数的周期
6
公式可求得函数 f x 的最小正周期，解不等式 2k 2x 2k k Z 可得出函
2 6 2
数 f x 的增区间；
t 2x ,23 23 （2）
，数形结合可知函数 y a与函数 y 2sin t
, 在 上的图
6 2 6 6 6
象有 4个交点，利用对称性可求得这4个交点横坐标之和，进而可求得方程
f x a 1 a 0 在 0,2 内的所有实数根之和.
【详解】（1）解：
f x 2 3 sin x cos x cos 2x 1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 cos 2 x 1 cos 2x 1
2 2 2 2 2
3 sin 2x cos 2x 2sin 2x
6
，
2
所以，函数 f x 的最小正周期为T ，
2
由 2k
2x 2k k Z 得 k x k k Z ，
2 6 2 6 3
所以，函数 f x 的单调递增区间为 k ,k
k Z 6 3 .
23
（2）解：当0 x 2 时， 2x ，令 t 2x ，
6 6 6 6
作出函数 y a与函数 y 2sin t
, 23 在 上的图象如下图所示： 6 6
答案第 9页，共 10页
可知函数 y a与函数 y 2sin t在 ,
23
上的图象有 个交点，
6 6
4
设这四个交点的横坐标由小到大依次为 t1、 t2 、 t3、 t4，设 2xi ti i 1,2,3,4 ，6
故方程 f x a 1 a 0 在 0,2 内有四个不等的实根x 、x 、 x3、 x1 2 4，
5
由图可知，点 t1,a 、 t2 ,a 关于直线 t 对称，点 t3 ,a 、 t4 ,a 关于直线 t 对称，2 2
5
所以， t1 t2 t3 t4 2 2 x1 2 x2 2 x3 2 x ，
2 2 6 6 6 4 6
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解得 x1 x2 x3 x4 .3
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