陕西省西安市大联考2022-2023学年高二下学期4月期中考试数学（理）试题（含解析）

西安市大联考2022-2023学年高二下学期4月期中考试
（理）数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
4．考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数，则实数m的值为 (　　)
A.1 B.0 C.-1 D.-1或1
2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为-1-2i，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　)
A.-2-i B.2+i C.1+2i D.-1+2i
3．设f(z)=z，z1=3+4i，z2=-2-i，则f(z1-z2)等于(　　)
A.1-3i B.-2+11i C.-2+i D.5+5i
4．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积增加量Δy约为(　　)
A.R3ΔR B．4πR2ΔR C．4πR2 D．4πRΔR
5．函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a，b，c为实数，当a2-3b<0时，f(x)是(　　)
A.增函数 B.减函数
C.常数 D.既不是增函数也不是减函数
6．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是 (　　)
A.存在x∈R，使得f(x)=0
B.若a=c=0，则函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞，x0)上单调递减
D.若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0
7．根据 sin xdx＝0推断，由直线x＝0，x＝2π，y＝0和正弦曲线y＝sin x所围成的曲边梯形的面积时，正确的结论为(　　)
A．面积为0
B．曲边梯形在x轴上方的面积大于在x轴下方的面积
C．曲边梯形在x轴上方的面积小于在x轴下方的面积
D．曲边梯形在x轴上方的面积等于在x轴下方的面积
8．曲线y＝sin x(0≤x≤2π)与坐标轴所围成的面积是(　　)
A．2 B．3 C. D．4
9．已知为各项都大于零的等比数列，公比，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不能由已知条件确定
10．数列 5，13，25，x，61，… 中的x等于（ ）
A. 35 B. 39 C. 41 D. 53
11. 某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f(1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f(2)种走法……则他从平地上到第n级(n≥3)台阶时的走法f(n)等于(　　)
A．f(n－1)＋1 B．f(n－2)＋2
C．f(n－2)＋1 D．f(n－1)＋f(n－2)
12．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于(　　)
A．212 B．29 C．28 D．26
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 凸边形有条对角线，则凸边形的对角线条数。
14．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
15. 已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_________万件.
16. 若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，则实数x的值是_________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分）
17.（本小题满分12分）
已知曲线C1：y1＝x2与C2：y2＝－(x－2)2，若直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．
18.（本小题满分16分）
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像经过点P(0，2)，且在点M(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式.
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
19.（本小题满分12分）
在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，如图所示，试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小．
（本小题满分18分）
在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，2+i，-1+2i.
(1)求，，对应的复数.
(2)判断△ABC的形状.
(3)求△ABC的面积.
（本小题满分12分）
若，求证：。
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西安市大联考2022-2023学年高二下学期4月期中考试
数学（理）答案
1．【答案】B
【解答】由题意知所以m=0.
2．【答案】D
【解答】由题意可知，点A的坐标为(-1，-2)，点B的坐标为(-1，2)，故向量对应的复数为-1+2i.
3．【答案】D
【解答】因为z1=3+4i，z2=-2-i，
所以z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i.
又因为f(z)=z，
所以f(z1-z2)=z1-z2=5+5i.
4.【解答】解：Δy＝(R＋ΔR)3－R3
＝[3R2ΔR＋3R(ΔR)2＋(ΔR)3]
≈·3R2ΔR＝4πR2·ΔR.
5．【答案】A
【解答】求得函数的导函数f′(x)=3x2+2ax+b，导函数对应方程f′(x)=0的Δ=4(a2-3b)<0，
所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数.
6．【答案】C
【解答】由三次函数值域为R知f(x)=0有解，故A项正确；因为f(-x)=-x3+ax2-bx+c，则f(-x)+f(x)=2ax2+2c，当a=c=0时，f(-x)+f(x)=0，故B项正确；若f(x)有极小值点，则f′(x)=0有两个不等实根x1，x2(x1【答案】D
【解答】解：由条件知积分为零，即x轴上、下两部分的图形的面积相等，故A，B，C项不正确，D项正确.故选D.
【答案】D
【解答】　S＝ sinxdx－ sin xdx＝(－cos x)|－(－cos x)|＝4.
【答案】A
【解答】解：答案是 A ，可用具体的代入求解，如将和代入计算。
【答案】C
【解答】相邻的数字之差（后项减前项）形成的数列为：8，12，x-25，61-x ，而61-25=36，猜想这个新数列是4的倍数构成的，则x-25=16，61-x=20，刚好满足条件，所以答案是C。
【答案】D
【解答】要到达第n级台阶有两种走法：(1)在第n－2级的基础上到达；(2)在第n－1级的基础上到达．故选D
【答案】C
【解答】解：因为f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.答案：A
13．【解答】解：答案为f(n+1)=f(n)+n-1. 凸n+1边形的对角线条数f(n+1)
可看作是凸n边形的对角线条数f(n)加上从第n+1个顶点出发的n-2条对角线和凸n边形的一条边之和，f(n+1)=f(n)+(n-2)+1=f(n)+n-1
故答案为：f(n+1)=f(n)+n-1.
14.【解答】解：由y＝ln x，得y′＝，令＝，得x＝2，故切点为(2，ln 2)，代入直线方程，得ln 2＝×2＋b，
所以b＝ln 2－1.
答案：ln 2－1
15.【解答】解：令y′=-x2+81=0，得x=9或-9(舍去)，当x=9时，ymax=252.答案：9
16.【解答】解：因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，所以解得x=-2.答案：-2
17．（本小题满分12分）
【解答】解：法一：设直线l与曲线C1、C2分别相切于
A(a，a2)，B(b，－(b－2)2)．
因为两曲线对应函数的导函数分别为
y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)，
当x＝a时，y1′＝2a，
当x＝b时，y2′＝－2(b－2)，
易知2a＝－2(b－2)，
由题意，可得＝2a＝－2(b－2)，
即
解得或
所以A点坐标为(2,4)或(0,0)，切线的斜率k＝4或0，从而得到切线l的方程为4x－y－4＝0或y＝0.
法二：设l与C1、C2相切时切点的横坐标分别为a、b，直线l的斜率为k，
根据题意，得y1′＝2x，y2′＝－2(x－2)．
则k＝2a＝－2(b－2)，
可得a＝，b＝，
所以切点的坐标分别为(，)，(，－)，
则k＝＝，
解得k＝0或4.
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或y＝0.
18．（本小题满分16分）
【解答】解：(1)由y=f(x)的图像经过点P(0，2)，知d=2，
所以f(x)=x3+bx2+cx+2，f′(x)=3x2+2bx+c.
由在点M(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，
知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，f′(-1)=6.
所以即
解得b=c=-3.
所以所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.
(2)f′(x)=3x2-6x-3.令f′(x)>0，得x<1-或x>1+；令f′(x)<0，得1-所以f(x)=x3-3x2-3x+2的递增区间为(-∞，1-)和(1+，+∞)，递减区间为(1-，1+).
（本小题满分12分）
【解答】解：面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t围成的面积，即S1＝t·t2－ x2dx＝t3.
面积S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，即S2＝ x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.
所以阴影部分面积S为：
S＝S1＋S2＝t3－t2＋ (0≤t≤1)，
由S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，
得t＝0，或t＝.
由于当0当0，
所以S(t)在0所以当t＝时，S最小，即图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．
20.【解答】解：(1)对应的复数为2+i-1=1+i，
对应的复数为-1+2i-(2+i)=-3+i，
对应的复数为-1+2i-1=-2+2i，
(2)因为||=，||=，||==2，
所以||2+||2=||2，
所以△ABC为直角三角形.
S△ABC=××2=2.
21.【解答】解：∵
∴