2006年高考数学复习的几点建议[下学期]

2006年高考数学复习的几点建议
一、重视基础
不只是观念问题，是一定要落实在实际行动上。不只是基础薄弱学校才要重视基础，生源好的重点学校也同样需重视基础。不只是在第一轮复习中重视基础，高考前冲刺阶段的复习更要重视基础。
用好课本
(1)为什么高考复习中要重视课本？
事实上历年来高考命题的一个不变的原则就是“取材于课本，但又不拘泥于课本”。课本中每一个例题、习题的设置都有其目的和作用，体现着本节知识所应达到的能力要求。虽然高考数学试题不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查课本上的原题，但每次对高考试卷分析时不难发现，许多题目都能在课本上找到“根源”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。
举例为证：
例1、（2002年高考试卷第16题）
已知，那么＝　　。
高一年级上学期课本第106页有一道题：已知，求证。从中我们发现，这启发我们解高考题时，先研究的结果，即，问题得解。
例2、（2003年高考试卷第20题）
已知常数a >0，向量c =（0，a），i =（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
分析此题，关键入口是“单位向量”这一概念，该概念在高二年级上学期课本第95页有引入，但不少同学不重视课本，忽视了对“单位向量”概念的理解，所以无从下手。
例3、（2004年湖北高考试卷第21题）
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失，现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值)?
该题是一道关于概率统计的应用题，主要考查了概率的基本知识和数学期望的概念以及应用概念和期望解决国民经济中遇到的实际问题。试题背景取材于广大考生都非常熟悉的素材，涉及到相互独立事件、对立事件、数学期望等诸多概念及相关计算公式，要求考生基本概念非常清晰。该试题应用性强，也考查了分类讨论的数学思想，考生要能从众多条件中分辨、提取、综合种种有用信息合成相应结论，对考生能力要求较高，有较好的区分选拔功能。
此题来源于人教版高中数学教材第三册(选修Ⅱ)第3页第一章《概率与统计》的引例，对比易见考题、引例大同小异。
例4、（2005年广东高考试卷第15题）
化简
并求函数的值域和最小正周期。
第一道解答题，12分的题全省平均得分只有4.6分，得分率不到40%，很不能让人理解。题目难吗？细想一下本题主要考查的知识点和公式全在课本上。
高一（下）课本第84页例题1 化简cos((+( )+cos((-( )，k ( Z。
高一（下）课本第39页例题5 求证cos( +sin( =2sin(+( )。
两道例题的组合即是高考题。
(2)如何在高考复习中正确使用课本？
●借助课本构建完整的知识体系
第一轮回归课本复习时，学生要对着课本目录回忆和梳理知识，对基本方法和技能不能回忆出的，要及时补上。不要强记题型、死背结论，应将重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上。
例如《概率统计》一章的知识体系：
◆等可能事件的概率：P(A)= ，理解m，n的意义是关键。
◆与概率有关的解答题书写时要注意两点：
①用到下列公式时，要写明事件之间的关系：
事件 A、B 为互斥事件，则 P(A + B) = P(A) + P(B)
事件 A、B 为相互独立事件，则 P(A · B) = P(A) P(B)
事件 A、B 为对立事件，则 P(A) + P(B) = 1，一般地，P((A ) = 1－P(A)
特别地，在一次试验中某事件发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 Pn(k) = C p k (1－p) n－k
最后要作答。
②写随机变量的分布时，要检验所有可能的取值的概率之和是否为 1。
(3)比较二项分布和几何分布：
定义(举例：篮球投篮游戏)
分布列
期望
方差
二项分布
n次投篮，投中次数的分布满足二项分布
( = 0,1,2,---,n
P(( = k) =
np
np(1-p)
几何分布
投中即止，投篮次数的分布满足几何分布
( = 1,2,---,n,---
P(( = k)=(1-p)k-1p


(4)期望与方差性质：E(a( + b) = aE( +b；D(a( + b) = a2D( 。
(5)两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件必为互斥事件。“互斥”是“对立”的必要不充分条件。
●紧扣课本，强调课本基础知识的作用，突出课本例题、习题中数学思想方法的挖掘和应用，重视课本习题潜在功能的挖掘与利用
课本知识是几代人集体智慧的结晶，具有很强的权威性、指导性。第一轮复习许多学生往往抛开课本，因而，冲刺阶段要指导学生回归课本，依“纲”固“本”，挖掘课本的潜在功能，对课本中的典型问题进行引申、推广，充分发挥其应有作用。
举例如下：
例1、(高二年级上学期课本第17页练习第9题)
已知△ABC的三边长是a，b，c，且m为正数，求证 + > 。
证明：∵ f(x) = (m>0) = 1－(m>0)在(0， + ()上单调递增，
且在△ABC中有a + b > c>0，
∴ f(a + b)>f(c)， 即 > 。
又∵ a，b ( R*，
∴ + > +  = ，
∴ + > 。
另解：要证+ > ，
只要证a(b + m)(c + m) + b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，
即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，
即abc + 2abm + (a + b－c)m2>0，
由于a,b,c为△ABC的边长，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。
所以abc + 2abm + (a + b－c)m2>0是成立的，
因此 + > 。
这是一道非常好的训练题。为了充分挖掘其训练功能，老师可以先让学生独立思考，并完成证明过程，然后组织大家一起讨论考查的知识点，比较解题的切入点，总结使用的数学思想方法。
例2、(高二年级上学期课本第31页B组练习第7题)
如果关于x的不等式ax2 + bx + c<0的解集是(m0。
解：由不等式ax2 + bx + c<0的解集是(m可知，
不等式cx2－bx + a>0可等价变形为 x2－x + 1<0，
把①②代入上式，得mnx2 + (m + n)x + 1<0，
即(mx + 1)(nx + 1)<0。 ③
由m ，所以－<－。
不等式③的解集是，
也即不等式cx2－bx + a>0的解集是。
解一元二次不等式是基本功。本题集顺向思维和逆向思维于一体，突出体现对较高算理水平和较强逻辑推理能力的考查。
例3、(高二年级上学期课本第31页B组练习第3题)
已知a>b>0，求a2 + 的最小值。
解：由a>b>0知a－b>0，
∴ b(a－b) = ()2≤( )2 = 。
∴ a2 + ≥a2 + ≥2= 16。
上式中两个“≥”号中的等号当且仅当a2 = ，b = a－b时都成立。
即当a = 2，b = 时，a2 + 取得最小值16。
本题一点都没有超出教学大纲要求，连续两次使用均值不等式实现消元目标是关键，同时思维要严谨，不能忽视定理成立的条件，如“a－b>0”和“上式中两个“≥”号中的等号当且仅当a2 = ，b = a－b时都成立”。
经验告诉我们只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。在求活、求新、求变的命题的指导思想下，高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查课本上的原题，但对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到“影子”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。回归课本，不是要强记题型、死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效。?
●通过回归课本实现查漏补缺
在第一阶段复习中做过的习题，模拟考试中出错的试题，究其原因，有相当一部分是由于基本概念模糊，或者掌握不准确造成的。带着这种模糊的概念去研究新问题，即使做的题目再多，也并没有从根本上解决实质问题，学习效果也不明显。进一步通读课本，可以从根源上解决因概念不清楚造成的对问题的题意不理解，公式记忆混乱等问题。对课本中的定理，应明确结论成立所满足的条件，准确把握数学公式的适用范围及规范的数学表达符号。
举例如下：
例1、判断“已知一个数列的递推公式，可以写出这个数列的任何一项”是真命题吗？
请同学先独立思考，再组织他们讨论，肯定有不同答案。机会来了，让同学打开高一年级课本(上)第113页阅读理解“递推公式”这一概念。进而师生一起把“通项公式”和“递推公式”两个概念进行比较，并总结由“递推公式”求“通项公式”的方法。这样以后在做相关内容的题目时就不会出错了。
例2、(2005年广东高考试题第15题)
化简并求函数的值域和最小正周期。
高考评卷中发现学生答卷中常见的错误有：
(1)

=---
不懂正确处理2k( ， 运算进行不下去。
(2)


化简很重要，直接影响求解函数的值域和最小正周期。但有相当多学生因为把公式错记为而丢掉很多分。
正确解法如下：




认真分析化简过程中使用的公式，无论是诱导公式、函数奇偶性，还是两角和差运算都能在课本中找到同类型的例题和习题。
复习过程中，相当一部分学生会抛开课本、脱离老师进行所谓“自主式”复习。由于缺乏系统、缺少针对性，很可能忙了一场，还是徒劳，得不偿失。
在高考数学复习过程中，要排除各种复习资料的干扰，充分发挥教材中知识形成过程和例题的典型作用，训练、练习也要以课本的习题为主要素材，深入浅出，举一反三地加以推敲、延伸和适当变形，一定要克服“眼高手低”的毛病，不好高骛远，即使在复习的后阶段进行综合训练时，也要不断联系基础知识，强化基本训练，做到基础知识和基本训练常抓不懈。基础知识和基本训练的复习，不只是简单重复，加强记忆，重要的是深化认识，从本质上发现数学知识之间的内在联系，从而加以分类、整理、综合、构造，形成一个完整的知识结构系统。
构建完整知识体系
俄国教育家乌申斯基有句名言“智慧不是别的，而是组织得好的知识体系”。高考的要求是：“系统地掌握知识的内在联系，对所列的知识内容有较深刻的理性认识”(摘自高考《考试说明》)。
结合课本，对照《课程标准》把知识点从整体上梳理一遍，既有横向的串联，又有纵
向的并联，逐步形成和扩充知识结构系统，在解题时可由考题提供的信息，从知识结构系统中检索相关信息进行组合，寻找解题途径，优化解题过程。
《二项式定理》
◆二项展开式(a + b)n = ________。
◆通项公式：Tr+1 = C a n－r b r，r = 0,1,2,┅,n，a 按降幂排列，b 按升幂排列。通项为第r+1项：Tr+1 = C a n－r b r， 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
◆(a + b) n 与 (b + a) n 通项公式不同。
◆二项式系数的性质：(1)对称性C = C  ；
(2)最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）；
(3)所有二项式系数的和：C + C + … + C = 2 n，且奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和，即C + C + C + … = C + C + C +… = 2 n－1
◆注意二项式系数与系数的区别。
◆有关二项式展开式中有关系数问题。
如：已知(2 + 3x) n = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + an x n，
求下列各值(1)a0 + a1 + a2 + … + an = ；
(2)a1 + a2 + … + an = ；
(3)（a0 + a2 + a4 + …)2－(a1 + a3 + a5 + … )2= 。(赋值法)
◆二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
循序渐进，循环优化。复习的推进是知识不断积累、内化的过程，需注重知识的联系
与交汇，以重点知识为中心，实现多层次循环优化知识体系。
检查补充落实初中学习的知识点。比如：解方程x3+x+2=0(实质是多项式因式分解问题)；
三角形、四边形、圆的平面几何性质等。
练好选择填空题
平时严格规范，习惯成自然，考场上灵活应变，稳拿分，不丢分，多得分。
(1) 选好考点。一份考卷14道选择填空题的考点分布是：集合与简易逻辑1题；导数函
数2题；不等式1题；三角函数1题；数列极限归纳法1题；排列组合二项式定理概率统计2题；复数1题；平面向量1题；立体几何2题；解析几何2题。
(2) 教会方法。总的说来，选择题属于小题，解题的基本原则是：“小题不能大做”。即要充
分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断，有方法意识。解填空题常用的方法有直接法、图解法、特殊化法等。审清题目，避免答非所问；运算要正确，表达要规范；注意防止增根或失根是关键。
(3) 经常训练。取材于高考试题、模拟试题，可以是专题，也可以是综合，定时训练，统计分析，及时讲评。
二、很抓落实
精讲精练
选题原则：基础、贴近学生、突出重点。老师一定要多做、先做，筛选、重组、改编。
(1) 题组选讲
高考复习重在平时，积小胜为大胜，通过单元综合题组训练达到检查、巩固和提高。如函数及其性质题组：
◆定义域和有意义
已知函数f(x) = lg 在(－(,1)上有意义，求实数a的取值范围。
变式训练：已知函数f(x) = lg 的定义域是(－(,1)，求实数a的取值范围。
◆值域和函数值的变化范围
如果函数y = 3x2－(2a + 6)x + a + 3的值域是[0, + ()，求实数a的取值范围。
变式训练：如果函数y = 3x2－(2a + 6)x + a + 3的值恒为非负数，求实数a的取值范围。
◆增函数与单调性
已知函数y = 4x2－ax + 5在区间[－2, + ()上是增函数，求实数m的取值范围。
变式训练：已知函数y = 4x2－ax + 5在区间[－2, 0]上是单调函数，求实数a的取值范围。
◆特殊与一般
已知f(x) = a－是奇函数，求a的值。
变式训练：已知f(x) = a－，求a的值，使函数y = f(x)的图象关于原点对称。
◆主元和次元
已知函数y = x2 + ax + 1在区间x ( [0,2]时f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围。
变式训练：已知函数y = x2 + ax + 1，当a ( [0,2]时，f(x)>0恒成立，求实数x的取值范围。
◆左移和右移
已知函数f(x)是偶函数，则函数f(x + 2)的对称轴是______。
变式训练：已知函数f(x + 2)是偶函数，则函数f(x )的对称轴是______。
◆反函数和反函数值
已知f(x) = (x ≠ 1)，求f( )的反函数。
变式训练：已知f(x) = (x ≠ 1)，求f－1( )。
◆有解和恒成立
函数f(x) = x2 + 2x，若f(x)>a在[1,3]上有解，求实数a的取值范围。
变式训练：函数f(x) = x2 + 2x，若f(x)>a在[1,3]上恒成立，求实数a的取值范围。
◆定义域与值域
已知函数f(x) = lg(ax2 + 2x + 1)的定义域是R，求实数a的取值范围。
变式训练：已知函数f(x) = lg(ax2 + 2x + 1)的值域是R，求实数a的取值范围。
◆对称性与周期性
函数f(x)满足f(1 + x) = f(1－x)，则函数f(x)的图象关于________对称。
变式训练：函数f(x)满足f(x + 1) = f(x－1)，则函数f(x)的周期是______。
(2) 专题复习：
离散型随机变量的期望与方差
求离散型随机变量的期望与方差的常见方法有：用定义直接求解，代入公式求解，建立函数关系求解。
(1)一个口袋有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3只，以( 表示取出球最小的号码，求( 的分布列。
(2)一个口袋中放有若干个球，每个球上标有1~ n中间的一个整数，设标有整数k的球有k个。现从中任取一球，( 为取的球上所标数字，求( 的分布列及E( ，D( 。
(3)设A、B进行篮球比赛，若一队胜4场，则判此队获胜，且比赛结束。A、B在每场比赛中获胜的概率均为 ，求需要比赛场数的期望。
(4)有同寝室的四位同学分别写一张贺年片，先集中起来，然后每人去拿一张．记自己拿到自己写的贺年片的人数为ξ．
① 求随机变量 ξ 的概率分布；
②求 ξ 的数学期望与方差．
(5)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生1次故障仍可获利润5万元；发生2次故障仍可获利润0万元；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？
(6)设某产品每周需求量( 取1，2，3，4，5是等可能的，生产每件产品的成本是3元，每件产品的售价为9元；没有销售出去的产品以每件1元的费用存入仓库，问生产者每周生产多少件产品所获利润的期望最大？
(7)如果( ~B(20，)，求使P(( =k)取得最大值的k值。一般地，如果( ~B(n，p)，其中0 (2)解：( 的取值为1，2，3，┄，n。袋中共有1 + 2 + 3 + ┄ + n = 个球，取到k号球的概率为P(( = k) =  (k = 1,2,┄,n)，此即为( 的分布列。
E( = ·  =  = ·  = ，
E( 2 = ·  =  = ·[ ]2 =  ，
∴ D( = E( 2－(E( )2 = 。
《开放性题、探索性题、创新性题、综合性题》专题训练
1、函数有许多性质，如定义域为。请写出除此之外的三个性质：__________（同类性质算同一个，每写对一个加2分，满分5分）
①f(x)为奇函数（或的图像关于原点对称）；
②f(x)的值域为[-1，1]（或函数的最大值为1，最小值为-1）；
③f(x)在（-∞，1）和（1，+∞）上递减，在（-1，1）上递增；
④f(x) = 0（或的图像无限接近于x轴）；
⑤f(x)在R上可导（连续）；
⑥f(x)在x = 1处取极大值1，在x = －1处取极小值－1；
⑦f(x)图像上任一点切线的斜率的范围为[－，2]。
2、如果向量a和b的夹角为( ，则我们称a×b为a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为| a×b | = | a || b |sin( ，有两个向量a与b的“向量积”a×b再在第三个向量c做向量积，所得到的数(a×b)·c叫做三向量a,b,c的混合积，记作(a×b)·c，如果| a | = 5，| b | = | c | = 1，a·b = －3。
(1) 求| a×b | = _____，其几何意义是________；
(2) 又a×b与c的夹角为( ，且cos( = ，则(a×b)·c = ______，| (a×b)·c |几何意义是_______。
解：(1) 由a·b = －3 ( | a || b |cos( = －3 ( cos( = －
( sin( = (( 为向量a与b的夹角)，
∴ | a×b | = | a || b |sin( = 4，
| a×b |几何意义是“以a和b为邻边的平行四边形面积”。
(2) 又(a×b)·c = | a×b |·| c |cos( = | | a || b |sin( |·| c |cos( = 2，
∴ | (a×b)·c |几何意义是“以a,b,c为同一点出发的三条棱所在的平行六面体的体积”。
3、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P ( BC1，Q ( BC，则D1P + PQ的最小值是C(A) 2 (B)  (C) + 1 (D) 
4、对任意函数，，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：① 输入数据，经数列发生器输出；
② 若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去．
现定义．
（Ⅰ）若输入，则由数列发生器产生数列．请写出数列的所有项；
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据的值；
（Ⅲ）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数n，均有，求的取值范围．
（Ⅳ）是否存在，当输入数据时，该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷数列．
解：（Ⅰ）对于函数，．
若，代入计算可得：，
故产生的数列只有三项．
（Ⅱ）要使数列发生器产生一个无穷的常数数列，实际上是对于任意的正整数，都应该有．又．所以，只需令．
解得：．
由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列”的一个充分条件，所以，令（或2）即可．此时必有＝1（或2）．
事实上，相对于本题来讲，（或2）是产生“无穷常数数列”的充要条件（这是因为函数是一一对应）．如果把函数换成，请思考：有多少满足条件的初值？
（Ⅲ）要使得对任意正整数n，均有，我们不妨先探索上述结论成立的一个必要条件．即．
事实上，不等式的解为或．（＊）
所以，或．
下面我们来研究这个条件是否充分．
当时，，所以，虽然有，但此时，显然不符合题意．
当时，由上可知：，且不难求得，以此类推，可知，必有：对任意正整数n，均有成立．
综上所述，．由及（＊），不难得知：的取值范围为．
（Ⅳ）要求使得成立的初值．实质上是执果索因．令，则由不难解得．
又由，可解得：．
由此我们知道，如果，则必有．即与不可能同时小于0．
故在本题的规则下，不可能产生各项均为负数的数列．
点评：本题为条件探索型问题，执果索因，恰当运用分析法，寻找使结论成立的充分条件是解决这类问题的常用方法．
(3) 定时训练
选择题和填空题：审清题目，熟练双基，有方法意识，小题不大做，确保得分。
解答题：
解答题训练20050529 （用时80分钟）
1、设函数y=f(x)=x(x-a)(x-b) (a,b ( R).
（1）若a ≠ b, ab ≠ 0，过两点(0,0), (a,0)的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数y=f(x)的图象交于点P(x0,f(x0))，求证：函数y=f(x)在点P处的切线过点(b,0)；
（2）若a=b (a ≠ 0)，且当x ( [0, |a|+1]时，f(x)<2a2恒成立，求实数a的取值范围.
2、某种比赛的规则是5局3胜制，甲、乙两人在比赛中获胜的概率分别为 和.
（1）若前3局中乙以2：1领先，求乙获胜的概率；
（2）若胜1局得2分，负1局得-1分，求甲得分( 的数学期望.
3、如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为6的正三角形，A1A=A1B=A1C=4.
（1）求证：AA1⊥BC；
（2）求直线BA1与侧面CB1所成角的大小.
4、某个经营者，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20(，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10(，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续，问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？假设银行贷款的年利息为5(，该个体户还清银行贷款后还有多少资金？
（参考数据：1.1810≈5.23, 1.1811≈6.18,1.1812≈7.29，结果精确到0.1元）
5、设f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)与f(x)的图象关于直线x=1对称，当x>2时，g(x)=a(x-2)-(x-2)3(a为常数).
（1）求f(x)的解析式；
（2）当x=1时，f(x)取得极值. 证明：对任意x1,x2 ( (-1,1)，不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立；
（3）若f(x)是[1,+()上的单调函数，且当x0≥1, f(x0)≥1时，有f[f(x0)]=x0，求证：f(x0)=x0.
6、如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B(；折痕l与AB交于点E，点M满足关系式=+.
（1）建立适当的直角坐标系，求点M的轨迹方程；
（2）若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，F是AB边上的一点，=4，过点F的直线交曲线C于P、Q两点，且=( ，求实数( 的取值范围.
习惯与规范
解答题：基础题重通性通法，结果正确，步骤完整；综合题重层次清晰，逻辑推理严谨，数学思想方法使用恰当。
如2004年广东试题(18)右下图，在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，已知 AB = 4，AD = 3，AA1 = 2，E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EB = FB = 1．
(1)求二面角C－DE－C1 的正切值；
(2)求直线 EC1 与 FD1 的成角的余弦值．
解法一：(I)过C作CG⊥DE，垂足为G，连结C1G．1分
∵ CC1⊥平面ABCD，
∴ CG是C1G在平面ABCD上的射影，
由三垂线定理得DE⊥C1G．2分
∴ ∠CGC1是二面角C－DE－C1的平面角．3分
在△ADE中，AE = AD = 3，∠DAE = 900，
∴ ∠ADE = 450 ( ∠CDG = 900－450 = 450．
∴ CG = CD·sin∠CDG = 4×sin450 = 2．5分
∴ tan∠CGC1 = = = ．6分
(II)延长BA至点E1，使AE1 = 1，连结E1F、DE1、DF．
有D1C1//E1E，D1C1 = E1E，则四边形D1E1EC1是平行四边形，
所以E1D1//EC1．
于是∠E1D1F为EC1与FD1所成的角或其补角．8分
在Rt△BE1F中，E1F = = ．
在Rt△D1DE1中，D1E1 = = = ．
在Rt△D1DF中，FD1 = = = ．10分
所以在△E1FD1中，由余弦定理得：
cos∠E1D1F = = = ．12分
解法二：(I) 以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)，
于是= (3,－3,0)，= (1,3,2)，= (－4,2,2)．3分
设向量n = (x,y,z)与平面C1DE垂直，则有
x = y = －z，其中z>0．
取n0 = (－1,－1,2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．5分
∵ 向量  = (0,0,2)与平面CDE垂直，
∴ n0与 所成的角( 为二面角C－DE－C1的平面角．7分
∵ cos( = = = ，∴ tan( = ．9分
(II)设EC1与FD1所成的角为( ，则
cos( = |  |= | |=  ．12分
归纳与总结
综合测验(一)7、= A 35%(A) 1 (B)  (C) 0 (D) 不存在
误选B的占58%。
(1) 审题不清，误认分母是x2－4x + 3，
∴ = = = ；
(2) 不会分解因式x3－4x + 3 = x3－x－3x + 3 = (x－1)(x2 + x－3)。
●一般高次因式的分解多是先分组，提取公因式，再分解；
●也可先观察系数特点，判断是否有因式x－1或x + 1等，再用多项式除法分解因式。大家试分解x3－3x2 + 3x－1；x4－4x + 3；
●补充罗比塔(洛必达)法则求解法：如果当时，且，而在a点的某个区域内f/(x)和g/(x)都存在，且g/(x) ≠ 0，又存在，那么 = 。
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。
 =  =  = 1。
训练题： = ________。
4、查漏补缺
通过查漏补缺练习和易错题分析预防一些常见病和多发病，并能总结经验教训，运用恰当方法，主动检查等避免和纠正突发病。
高三数学查漏强化专题 20050512
一、思维定势、忽视隐含条件、错误判断符号、分不清>和≥、考虑问题不周漏解或增根等
1、若集合A = {0，2，3}，B =，则B的真子集的个数是C (A) 4 (B) 8 (C) 15 (D) 16
误选A，自认为a ≠ b，或没有想到a = b这种情况。再就是审题还不够仔细，注意“真子集”个数2n－1只能是奇数。
2、已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为D (A)  (B) 3 (C)  (D) 
误选C，忽视隐含条件| y |≤3。
3、实数 x、y 满足 x 2－2xy + y 2－x－y + 12 = 0，则 xy 的最小值为A(A) 12 (B)  (C)  (D) 4
无解题办法，主要是不会用目标导航和对已知条件结构分析。
x 2－2xy + y 2－x－y + 12 = 0 ( 
4、如果函数f(x) = ax3－x2 + x－5在(－(, + ()上单调递增，则实数a的取值范围是 D (A) (0，+ () (B) [0，+ () (C) (，+ () (D) [，+ ()
误选C，注意f/(x)>0是y = f(x)为增函数的充分不必要条件。一般若已知函数单调递增，则假设f/(x)≥0，最后再验证“ = ”成立与否。提醒求参数的区间范围时，要特别注意区间端点的取舍即区间开闭。
由f/(x) = 3ax2－2x + 1≥0恒成立 (  ( a≥。
特别当a = 时，f(x) = x3－x2 + x－5 = (x3－3x2 + 3x－1)－= (x－1)3－，显然在(－(， + ()上单调递增。(对比y = x3)
5、下列求导运算正确的是B(A) (x + )/ = 1 +  (B) (log 2 x)/ =  (C) (3 x)/ = 3 x log 3 e (D) (x 2 cos x)/ = －2x sin x
选C，不记公式，或不懂记忆方法。∵ 3x = exln3，∴ (3x)/ = (exln3)/ = exln3·ln3 = 3xln3。
同理(log 2 x)/ =( )/ = 。
6、两个腰长均为 1 的等腰直角△ABC1和△ABC2所在的平面构成60( 的二面角，则点C1和C2之间的距离等于 *****。(请写出所有可能的值) ，1，，，，2
考虑问题不周全，漏解。
7、过点(－1，2)和圆x2 + y2 = 1有且只有一个公共点的直线方程是_。3x + 4y－5 = 0和x = －1
不判断点(－1，2)是否在圆上，漏解x = －1。
8、过点(－1，2)且在坐标轴上截距绝对值相等的直线条数是C(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
误选B，概念错误，不知截距可以取0。
9、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是 D
（A） （B） （C） （D）以上答案均有可能
误选A，没有考虑到取端点时的特殊情况。其实选项D有提示。
二、不理解映射概念
1、已知集合S=，则从S到T的函数有 个，且存在反函数的概率为 . 256，
2、已知A = B = {1,2,3,4,5}。从A到B的映射f满足：①f(1)≤f(2)≤┅≤f(5)；②f的象有且只有2个，则适合条件的映射f的个数是C (A) 10 (B) 20 (C) 40 (D) 80
三、不理解极限、连续、可导概念
1、= B(A) 1 (B)  (C) 0 (D) 不存在
2、 = ________。
不能正确因式分解
3、设，要使f (x)在(－(, + ()内连续，则的值为 C
(A) 0 (B) 1 (C) (D) 不存在
4、已知函数f(x) = ，有下面四个结论：
f(x)在x = 0处连续； ②f(x)在x = －3处连续；③f(x)在x = 0处可导；④f(x)在x = －3处可导．
其中正确结论的个数是A (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
误选B，画出图形，容易判断①是正确的，②是错误的，∴ ④也一定是错误的，
判断③的正误是本题的关键，也是难点，办法是用导数的定义，即验证f(x)和f(x)
是否都存在且相等。
5、已知则的值是C(A) －4 (B) 0 (C) 8 (D) 不存在
6、若，则 .－1
四、不记概率公式与性质
1、设随机变量的概率分布为***，D( =***。4，
分不清几何分布和二项分布，不记公式。
2、已知随机变量( 服从二项分布，( ~ B(4,)，则 D(3( + 3) = *****．8
3、设随机变量( 满足E( = －1，D( = 3 ，则E[3(( 2－2)] = B(A) 9 (B) 6 (C) 30 (D) 36
五、不能正确使用向量平移变换公式
1、把函数y=sin2x的图象按向量a平移后，得到函数y=cos2x的图象，则向量a等于（ ）D(A) (,0) (B) (－,0) (C) (,0) (D) (－ ,0)
误选C，把函数平移变换和向量平移变换搞混淆。
2、将函数 y = cos x－sin x 的图象向左平移 m（m > 0）个单位，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是D (A)  (B)  (C)  (D) 
误选A，审题不仔细，漏看“向左”，或运算有错y = 2cos (x－)。
3、将圆 x 2 + y 2 = 2按向量 v = (2, 1) 平移后，与直线x + y + ( = 0相切，则实数 ( 的值为 *****。
－1或－5
漏解或错符号。
六、不能正确使用二项式定理
1、设 (+x) 10 = a0 + a1 x + a2 x 2 + … + a10 x 10，则 (a0 + a2 + … + a10) 2－(a1 + a3 + … + a9) 2 的值为B (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
2、若，则a1= *** ；
*** 。（用数字作答）－4010；2003
不能正确使用定项公式和赋值法。
七、不能正确进行多项式因式分解
x4－4x + 3 = ________。(x－1)2(x2 + 2x + 3)
x5－2x4－x + 2 = _________。(x + 1)(x－1)(x－2)(x2 + 1)
八、不能准确应用平面几何性质
要特别注意三角形、四边形、圆的几何运算和性质。常用在立几求点的坐标或证明平行与垂直；在解几中实现等价转化。
F1、F2是双曲线x2－y2 = 4的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是________。x2 + y2 = 4
已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l:x = 1，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且(+ 2)· (－2) = 0。
(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线的方程；
(2)设直线l:y = kx + 1与(1)中的曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D(0,－2)？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由。
解：（1）设P的坐标为，由得
（2分） ∴（（4分）
化简得 ∴P点在双曲线上，其方程为（6分）
（2）设A、B点的坐标分别为、，
由 得（7分）
，（8分）
∵AB与双曲线交于两点，∴△>0，即
解得（9分）
∵若以AB为直径的圆过D（0，－2），则AD⊥BD，∴，
即，（10分）
∴
∴
解得，故存在k值……，所求k值为.（14分）
3、如图，四棱锥P—ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD为直角梯形，
AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．点E在棱PA上，且PE=2EA．
（Ⅰ）求异面直线PA与CD所成的角；
（Ⅱ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅲ）求二面角A—BE—D的大小．
解：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系B—xyz. ……… 1分
（Ⅱ）连结AC交BD于G，连结EG，
（Ⅲ）设平面BED的法向量为

又因为平面ABE的法向量
二面角A－BE－D的大小是arccos。 14分
九、不能正确进行指对数运算
1、在等比数列中，a9 + a10 = a (a ≠ 0), a19 + a20 = b，则a99 + a100等于 *****。
2、已知奇函数y = f(x)满足f(x + 1) = f(x－1)，且当x ( [－1,0）时f(x) = 3x + ，则f() = ____。－1
3、若函数满足f(x－1) = f(x + 1), 且时,则函数的图象与函数的图象的交点个数为 ( )B(A) 16 (B) 18
(C)20 (D) 无数个
解析: 由已知条件可作出函数
及的图象如下图所示,由图象可得其交点的个数左右边有9个，共计18个 ,故应选B .
4、若函数，其中表示两者中的较小者，则的解为__________。x>4或0十、不能正确进行三角运算
1、设的
夹角为的夹角为的值。
解：根据题意，，
而； 4分
同理， ,
而. 8分
将， 10分
14分
2、已知函数的周期为(，f(x)≤2，f( ) = 。
（1）写出f(x)的表达式；（2）写出函数f(x)的单调递增区间；（3）说明f(x)的图象如何由函数y =2sinx的图象经过变换得到.
解：（1）依题意得 = ( ( ( = 1，∴ f(x) = asin2x + bcos2x，
又f(x)≤2 (  = 2且f( ) = ( asin + bcos = ，
解得a = ,b = 1，∴ 。 ……4分
（2）= 2(sin2x + cos2x) = 2sin(2x + )，
∴ 函数f(x)的单调递增区间是…………8分
（3）将函数y=2sinx的图象向左平移 个单位，得到函数y = 2sin(x + )图象；再将得到的函数
y = 2sin(x + )图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y = 2sin(2x + )图象。12分
3、△ABC的三边a,b,c和面积 S满足关系S = c2－(a－b)2 ，且a + b = 2，则△ABC面积的最大值是_________。
S = c2－(a－b)2 ( absinC = a2 + b2－2abcosC－(a－b)2 ( 2ab(1－cosC) = absinC
(  =  ( tan  =  ( sinC =  = 。
∵ a + b = 2，∴ S = absinC = ab≤( )2 = ，当且仅当a = b = 1时，Smax = 。
十一、不能正确求解不等式
设函数，不等式||<6的解集为，试求不等式loga的解集.
解：
由题设可得（4分）解得（6分）
由
则 （9分）
由（1）解得，由（2）解得（10分）
由（3）得或（11分）
∴原不等式的解集为（12分）
2、设f (x)＝lg(1＋x)－x．　　(1)求f / (x)；　　(2)证明：f (x)在[0，＋∞)上是减函数；　　(3)当a＞0时，解关于x的不等式 ．
解：(1)。 2分
(2)当x∈[0，＋∞) 时，0＜≤1，0＜lg e＜1　　∴＜0，故f (x)在[0，＋∞)上是减函数． 4分
(3) 不等式可化为，　　由(2)可得：，　　两边平方得：(a2―1)x2＋2x―1＜0，即[(a－1)x＋1][(a＋1)x－1]＜0　① 6分　　当a = 1时，不等式化为2x－1＜0，解得； 8分 当0＜a＜1时，，∴不等式的解为； 10分　　当a＞1时，，∴不等式的解为， 12分　　综上所述，当a = 1时，原不等式的解集是{x｜}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集是{x｜}；
当a＞1时，原不等式的解集是{x｜}． 14分
十二、不了解正态分布
设随机变量( ~N(0,1)。记 ( (x) = P(( 2) = 1－ ( (2)。其中正确的结论的序号为________。
解答：依题意知②正确，从而①正确；P(|(|<2) =P(－2<( <2) = ( (2)－( (－2) = ( (2)－[1－( (2)] = 2( (2)－1，③正确；P(|(|>2) = 1－P(|(|<2)=1－[2( (2)－1] = 2[1－( (2)]，④错误。
2、如果随机变量( ~N(μ,σ2)，且E( = 3,D( = 1，则P(－1<( <1) = B(A) 2 ( (1)－1 (B) ( (4)－ ( (2) (C) ( (2)－ ( (4) (D) ( (－4)－ ( (－2)
解答：依题意μ= 3,σ= 1，P(－1<( <1) =P(( <1)－P(( <－1) = ( ( )－ ( ( )
= ( (－2)－ ( (－4)= [1－ ( (2)]－[1－ ( (4)] = ( (4)－( (2).
●特别提醒：
正确求导数；求切线方程时注意定点是否在曲线上。
三角函数的符号判定和有界性(隐含条件)。
使用均值不等式应验证等号是否成立。
注意讨论等比数列中的0和1。
验证分布列中的各项和是否等于1。
向量平行包含同向和反向两种。
分清解析几何中的易混淆概念如“短轴是2b”。
●一点偏方：
解题力求一步到位，尤其要注意第一问的准确性。有些地方没有把握请主动验证，如：
方程、不等式的解可以检验；
三角化简可以检验；
数列通项或求和可以检验；
分布列可以检验；
法向量可以检验；
直线、曲线方程可以检验。
固化一个知识点，就可以盘活一条知识链。查漏补缺要做到查得出补得实。
三、指导应试
高考阅卷的基本原则是“给分有理，扣分有据”。所谓应试技巧，就是针对这个原则，
“不该丢的分一分不丢，能得到的分一定得到”。
1、学习评分细则
●填空题：防止因遗漏信息或误解题意，答非所问或不符合要求；因思维不严谨，出现增根或失根；因运算能力不强，计算错误。
某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成．现从中选出 2 人担任正副班长，其中至少有 1 名女生当选的概率是 _______ ．（用分数作答）
正确的答案是：
错误的结论有：、、1－等。
●解答题：(15)本小题满分12分
化简
并求函数的值域和最小正周期。
注10：在第一段的化简结果出现如下错误，但第二段能用正确的方法得出结果，并且不
降低难度，给2分。
（到这一步为止，累计得3分）
(或)
（到这一步为止，累计得3分）
的最小正周期为=
的值域为. （到这一步为止累计得5分）
2、总结考试经验
审清题目是关键，真真切切，认认真真审好题目才动笔！
当我轻易完成选择填空后，便有点骄傲了，当我完成全卷后，飘飘然的感觉早已将我淹没。会做的题做错比不会做还坏！“题题会，分分扣”！
(1) 每次测试的最后：最后的时刻、最后的大题
不轻言放弃最后一道数学题。最后两题往往是针对掌握程度较高的学生的，一般同学为节省时间往往看也不去看了，其实这是不太明智的。因为，最后两题尽管难度高，但却分几个小题。其中第1、2小题往往较容易，尤其是第1小题，一般同学都能解出来，这样就捡回来 4、5分。还有一些学生本来写了不少解答，但最后又全部划去了，这也是不划算的。因为阅卷原则是按步得分，本来还可以根据步骤得分的，给他一划就划去了好几分。
(2) 高考前：前几天、前几分钟
数学要天天做，即便是高考前一天，让数学的概念、思想及方法总处于“熟练”的意识环境中，时间最好安排在每天下午(与数学高考的时间接轨)，考生不能因记背某些记忆量大的学科知识而挤掉数学复习的时间，否则，考前太放松，再捡起来就显得十分生疏了。复习要“多查旧少做新”。通过再一次的“查缺补漏”做到落实“双基”，对自己掌握不好的知识点增做一些新的小题或中档题还是可以的，但千万不要去做新的难题。
高考复习没有捷径可走，通过我们的工作能让学生少走弯路、不走弯路，就是胜利。
祝大家工作顺利！
20050918