数学高考与理性思维[下学期]
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课件48张PPT。一.2003年数学高考与理性思维能力 高考数学试题提出 “以能力立意命题”，正是为了更好地考查数学思想，促进考生理性思维的发展。
数学思维能力是数学能力的核心，而理性思维是一种有明确思维方向，有充分思维依据，有数学思想指导和介入的思维。
理性思维能力包括：逻辑推理，演绎证明，归纳抽象，直觉猜想，运算求解等方面的内容。(一). 逻辑推理和演绎证明能力 第一层次：会观察，比较，分析，综合，
抽象和概括；
第二层次：会用归纳，演绎，和类比进行
推理；
第三层次：会用简明， 准确的数学语言
阐述自己的思想和观点。 进行逻辑推理和演绎证明，关键在于强化条件意识，化归意识和目标意识。 问题解决例1、(2003年新课程卷，理工类）设 ，
求函数
的单调区间。 例4.已知 是实数，函数
当 时，
证明：当 时，
例5、（2003年新课程卷，全国卷）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90o,侧棱AA1=2 ，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ ABD的重心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小；
（结果用反三角函数表示）
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离。
●提高逻辑推理和演绎证明能力，关键在于加强条件意识、目标意识和化归意识。
●要注意根据已知条件系统和目标求解系统的信息，从记忆系统搜索有用的信息进行化归。
●思维方向明确，思维依据充分，思维指导正确，就有利于进行逻辑推理和演绎证明。
(二) 归纳抽象能力例1、（2003年新课程卷，全国卷，文史类）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB, AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两互相垂直，则______________”。
例2、（2003年上海卷，理工类）已知数列{an}
（n为正整数）是首项为a1 ，公比为q的等比数列。
（Ⅰ）求和： ， ;
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明。
例3、（2003年新课程卷）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样的颜色的花，不同的栽种方法有__________种（以数字作答）。
例4、（2003年全国卷）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有__________种（以数字作答）。
例5、（2003年新课程卷）设a0为常数，且
an=3n-1-2an-1 ,(n∈N+)
（Ⅰ）证明对任意n≥ 1， ；
（Ⅱ）假设对任意n≥1，有an＞an-1 ，求a0的取值范围。
●归纳抽象能力主要体现为归纳能力，类比联想能力和探究能力。
●发现属性，发现关系，发现相似性，注意总结一般规律，是提高归纳抽象能力的关键。(三) 直觉猜想能力例1、（2003年新课程，全国卷，文史类）不等
式 的解集是（ ）。
(A) (0,2) (B) (2,+∞)
(C) (2,4] (D) (-∞,0)∪(2,+∞)
例2、（2003年新课程）函数 ，
的反函数为（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
例3（2003年新课程,全国卷）已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1) ，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1 ，依次反射到CD,DA和AB上的点P2 ,P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为(x4,0)，若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（ ）。
（A） (B) (C) (D)
例4（2003年上海卷，理工类）设
均为非零实数，不等式 和
的解集分别为集合M和N，那么 是“M=N”的( )。
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件
(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件
例5（2003年新课程卷）一个四面体的所有棱长都是 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）.
(A) (B) (C) (D)
例6.（1998年，全国卷）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ）.
例7（2000年.全国卷）已知两直线
其中 为实数，当这两条直线的夹角在 内变动时， 的取值范围是（ ）. 例８．在正n棱锥中，相邻两侧面所成的
二面角的取值范围是（ ）.
●用直觉猜想解题关键在于充分利用题目给出的信息，抓住题目的本质，从而缩短思维链.
●对选择题估算可采取特殊化策略、整体化策略、局部化策略、极限化策略和图形化策略.(四) 运算求解能力 第一层次：会根据法则、公式,定理,定律
正确地运算.
第二层次：理解算理,能够根据题目的 条
件寻求合理、简捷的运算途径，以 达到准确,
熟练、迅速的运算目的. 例1.（2003年新课程卷）已知常数 a>0 ，向量 c=(0,a), i=(1,0),经过原点O以c+ i为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)以i-2 c为方向量的直线相交于点P，其中 ∈R，试问：是否存在两个定点E,F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E,F的坐标，若不存在，说明理由。
λλλ 例2.(2003年,全国卷) P: 函数 y= cx 在R上
单调递减，Q: x+|x-2c| > 1 不等式的解集为
R, 如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取
值范围.例3、(2003年新课程卷,文史类)已知函数
是R上的偶函数，其图像关于点
对称，且在区间 上是单调函数，求
和ω的值。 例4.（2003年上海卷）已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T )= T f(x)成立。
（1）函数f(x)=x是否属于集合M ？说明理由；
（2）设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图像与y=x的图像有公共点，证明： f(x)=ax ∈ M ；
（3）若函数f(x)=sinkx∈M ，求实数k的取值范围。 ●对运算求解能力，掌握算理，根据条
件寻求合理、简捷的运算途径是关键。
●运算的准确性、熟练性、合理性、简
捷性是运算能力的基本要求。
二、如何有效地进行高考复习 第一．高考数学复习的目的和任务是什么？
第二．高考数学复习的功能和作用是什么？
第三．高考复习的基本原则是什么？
（一）高考数学复习的目的和任务 1．查漏补缺，梳理知识，形成完整的知识网络，
整体把握数学认知结构；
2．进一步巩固和掌握三基（基本知识，基本技
能和基本思想方法）；
3．总结规律，加深理解，促进理性思维能力的
发展；
4．强化思维训练，提高解题能力和探索创新能
力，发展数学智慧。 （二）高考复习的功能1．巩固功能——通过复习全面回忆所学的基本知识、基本技能和基本数学思想，形成记忆，作为知识和技能的准备；
2．提高功能——通过复习从整体上把握知识内在联系和规律，深化对知识的理解和认识，提高对数学的认识水平和解题水平；3．转化功能——通过复习，转化为数学能力，包括逻辑思维能力，空间想象能力，运算求解能力，分析问题和解决问题的能力和创新探索能力。
——通过对知识的深化理解，掌握以知识为主体、主线建立知识网络的
思维方法；
——通过对知识网络的理解，提高知识综合运用的能力和数学联结能力；
——通过对数学思维规律的认识，提高归纳总结解题规律和方法的能力，
培养思维品质；
——通过问题解决的复习，提高理性思维能力和创新探索能力。
4．发展功能——通过复习达到从量的积累到质的飞跃，通过对数学知识的复习与组织，通过对各知识点的逻辑关系的把握、交汇与联结，促进智能迁移。
——能够按一定思路，综合运用知识解决问题；
——能够用数学思想方法指导解题；
——能够有效地进行模式识别；
——能够评价不同解题方法的优劣。（三）高考复习的若干原则1．基础、系统原则 乌申斯基指出：“智力就是形成系统的知识”，系统化、结构化、网络化的知识便于记忆、理解、检索和运用。
（2003年新课程卷）O是平面上一定点，A,B,C是平面
上不共线的三个点,动点P满足 ，
，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
2．精选、综合原则 量不在多，典型就行，
题不在难，有思想就灵。
3．思想能力训练贯彻始终原则4．稳扎稳打原则 ——稳在审题上
——稳在思维过程上
——稳在解题后的反思上
——稳在认真计算和规范表达上 1．对审题的反思；
2．对解题思维过程的反思；
3．对解法多样化的反思；
4．对题目本身及解法本身所存在的规律
的反思；
5．对题目变化的反思。
Thank you!
数学思维能力是数学能力的核心，而理性思维是一种有明确思维方向，有充分思维依据，有数学思想指导和介入的思维。
理性思维能力包括：逻辑推理，演绎证明，归纳抽象，直觉猜想，运算求解等方面的内容。(一). 逻辑推理和演绎证明能力 第一层次：会观察，比较，分析，综合，
抽象和概括；
第二层次：会用归纳，演绎，和类比进行
推理；
第三层次：会用简明， 准确的数学语言
阐述自己的思想和观点。 进行逻辑推理和演绎证明，关键在于强化条件意识，化归意识和目标意识。 问题解决例1、(2003年新课程卷，理工类）设 ，
求函数
的单调区间。 例4.已知 是实数，函数
当 时，
证明：当 时，
例5、（2003年新课程卷，全国卷）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90o,侧棱AA1=2 ，D,E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ ABD的重心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小；
（结果用反三角函数表示）
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离。
●提高逻辑推理和演绎证明能力，关键在于加强条件意识、目标意识和化归意识。
●要注意根据已知条件系统和目标求解系统的信息，从记忆系统搜索有用的信息进行化归。
●思维方向明确，思维依据充分，思维指导正确，就有利于进行逻辑推理和演绎证明。
(二) 归纳抽象能力例1、（2003年新课程卷，全国卷，文史类）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB, AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两互相垂直，则______________”。
例2、（2003年上海卷，理工类）已知数列{an}
（n为正整数）是首项为a1 ，公比为q的等比数列。
（Ⅰ）求和： ， ;
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果归纳概括出关于正整数的一个结论，并加以证明。
例3、（2003年新课程卷）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样的颜色的花，不同的栽种方法有__________种（以数字作答）。
例4、（2003年全国卷）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有__________种（以数字作答）。
例5、（2003年新课程卷）设a0为常数，且
an=3n-1-2an-1 ,(n∈N+)
（Ⅰ）证明对任意n≥ 1， ；
（Ⅱ）假设对任意n≥1，有an＞an-1 ，求a0的取值范围。
●归纳抽象能力主要体现为归纳能力，类比联想能力和探究能力。
●发现属性，发现关系，发现相似性，注意总结一般规律，是提高归纳抽象能力的关键。(三) 直觉猜想能力例1、（2003年新课程，全国卷，文史类）不等
式 的解集是（ ）。
(A) (0,2) (B) (2,+∞)
(C) (2,4] (D) (-∞,0)∪(2,+∞)
例2、（2003年新课程）函数 ，
的反函数为（ ）。
(A) (B)
(C) (D)
例3（2003年新课程,全国卷）已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1) ，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1 ，依次反射到CD,DA和AB上的点P2 ,P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为(x4,0)，若1＜x4＜2，则tanθ的取值范围是（ ）。
（A） (B) (C) (D)
例4（2003年上海卷，理工类）设
均为非零实数，不等式 和
的解集分别为集合M和N，那么 是“M=N”的( )。
(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件
(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件
例5（2003年新课程卷）一个四面体的所有棱长都是 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）.
(A) (B) (C) (D)
例6.（1998年，全国卷）一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为（ ）.
例7（2000年.全国卷）已知两直线
其中 为实数，当这两条直线的夹角在 内变动时， 的取值范围是（ ）. 例８．在正n棱锥中，相邻两侧面所成的
二面角的取值范围是（ ）.
●用直觉猜想解题关键在于充分利用题目给出的信息，抓住题目的本质，从而缩短思维链.
●对选择题估算可采取特殊化策略、整体化策略、局部化策略、极限化策略和图形化策略.(四) 运算求解能力 第一层次：会根据法则、公式,定理,定律
正确地运算.
第二层次：理解算理,能够根据题目的 条
件寻求合理、简捷的运算途径，以 达到准确,
熟练、迅速的运算目的. 例1.（2003年新课程卷）已知常数 a>0 ，向量 c=(0,a), i=(1,0),经过原点O以c+ i为方向向量的直线与经过定点 A(0,a)以i-2 c为方向量的直线相交于点P，其中 ∈R，试问：是否存在两个定点E,F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E,F的坐标，若不存在，说明理由。
λλλ 例2.(2003年,全国卷) P: 函数 y= cx 在R上
单调递减，Q: x+|x-2c| > 1 不等式的解集为
R, 如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取
值范围.例3、(2003年新课程卷,文史类)已知函数
是R上的偶函数，其图像关于点
对称，且在区间 上是单调函数，求
和ω的值。 例4.（2003年上海卷）已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T )= T f(x)成立。
（1）函数f(x)=x是否属于集合M ？说明理由；
（2）设函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图像与y=x的图像有公共点，证明： f(x)=ax ∈ M ；
（3）若函数f(x)=sinkx∈M ，求实数k的取值范围。 ●对运算求解能力，掌握算理，根据条
件寻求合理、简捷的运算途径是关键。
●运算的准确性、熟练性、合理性、简
捷性是运算能力的基本要求。
二、如何有效地进行高考复习 第一．高考数学复习的目的和任务是什么？
第二．高考数学复习的功能和作用是什么？
第三．高考复习的基本原则是什么？
（一）高考数学复习的目的和任务 1．查漏补缺，梳理知识，形成完整的知识网络，
整体把握数学认知结构；
2．进一步巩固和掌握三基（基本知识，基本技
能和基本思想方法）；
3．总结规律，加深理解，促进理性思维能力的
发展；
4．强化思维训练，提高解题能力和探索创新能
力，发展数学智慧。 （二）高考复习的功能1．巩固功能——通过复习全面回忆所学的基本知识、基本技能和基本数学思想，形成记忆，作为知识和技能的准备；
2．提高功能——通过复习从整体上把握知识内在联系和规律，深化对知识的理解和认识，提高对数学的认识水平和解题水平；3．转化功能——通过复习，转化为数学能力，包括逻辑思维能力，空间想象能力，运算求解能力，分析问题和解决问题的能力和创新探索能力。
——通过对知识的深化理解，掌握以知识为主体、主线建立知识网络的
思维方法；
——通过对知识网络的理解，提高知识综合运用的能力和数学联结能力；
——通过对数学思维规律的认识，提高归纳总结解题规律和方法的能力，
培养思维品质；
——通过问题解决的复习，提高理性思维能力和创新探索能力。
4．发展功能——通过复习达到从量的积累到质的飞跃，通过对数学知识的复习与组织，通过对各知识点的逻辑关系的把握、交汇与联结，促进智能迁移。
——能够按一定思路，综合运用知识解决问题；
——能够用数学思想方法指导解题；
——能够有效地进行模式识别；
——能够评价不同解题方法的优劣。（三）高考复习的若干原则1．基础、系统原则 乌申斯基指出：“智力就是形成系统的知识”，系统化、结构化、网络化的知识便于记忆、理解、检索和运用。
（2003年新课程卷）O是平面上一定点，A,B,C是平面
上不共线的三个点,动点P满足 ，
，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
2．精选、综合原则 量不在多，典型就行，
题不在难，有思想就灵。
3．思想能力训练贯彻始终原则4．稳扎稳打原则 ——稳在审题上
——稳在思维过程上
——稳在解题后的反思上
——稳在认真计算和规范表达上 1．对审题的反思；
2．对解题思维过程的反思；
3．对解法多样化的反思；
4．对题目本身及解法本身所存在的规律
的反思；
5．对题目变化的反思。
Thank you!
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