9.2.4总体离散程度的估计 课时作业（含解析）

9.2.4总体离散程度的估计 课时作业
一、单选题
1．已知甲 乙 丙 丁 戊五位同学高一入学时年龄的平均数 中位数均为16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是（ ）
A．这五位同学年龄的平均数变为19 B．这五位同学年龄的中位数变为19
C．这五位同学年龄的方差仍为0.8 D．这五位同学年龄的方差变为3.8
2．在一组样本数据中，正整数a、b、c、d出现的频率分别为，且，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A． B．
C． D．
3．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（，2，…，n），则（ ）
A．两组样本数据的样本标准差相同 B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本平均数相同 D．两组样本数据的样本众数相同
4．某班有50名学生，该班某次数学测验的平均分为70分，标准差为，后来发现成记录有误：甲生得了80分，却误记为50分；乙生得了70分，却误记为100分．更正后得标准差为，则与之间的大小关系为　　
A． B． C． D．无法确定
5．若一个样本容量为 的样本的平均数为 ，方差为 ．现样本中又加入一个新数据 ，此时样本容量为 ，平均数为 ，方差为 ，则 （ ）
A．， B．， C．， D．，
6．一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）
A．17.2，3.6 B．54.8，3.6 C．17.2，0.4 D．54.8，0.4
二、多选题
7．中国正在从电影大国迈向电影强国.下面是至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（ ）
A．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于
B．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高
C．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数
D．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差
8．某校在劳动基地开展开垦菜地、种植蔬菜的实践活动.某班级统计其负责菜地连续八周的蔬菜周产量（单位：斤），并制作折线图如图所示.根据折线图信息，下列结论中正确的是（ ）
A．这八周周产量的众数为19
B．共有4周周产量超过周产量的平均数
C．这八周周产量的中位数小于周产量的平均数
D．前四周周产量的方差大于后四周周产量的方差
三、填空题
9．气象意义上从春季进入夏季的标志为：连续5天每天日平均温度不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃）.
甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24；
丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2.
其中，肯定进入夏季的地区为_________.（写出符合要求的所有地区）
10．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，则这组数据的标准差是______．
11．某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：
甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；
乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；
丙同学说：“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”；
丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”.
以上四人中，观点正确的同学是______.
12．定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”.现有甲 乙 丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：
①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128；
②乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；
③丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125.
则数学成绩一定优秀的同学是___________.
四、解答题
13．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
质量指标值分组
频数 6 26 38 22 8
(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)已知在这些数据中，质量指标值落在区间内的产品的质量指标值的平均数为94，方差为40，所有这100件产品的质量指标值的平均数为100，方差为202，求质量指标值在区间内的产品的质量指标值的方差．
14．某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如右图所示．
(1)求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数）；
(2)根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；
(3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差（结果保留三位小数）．
附：方差．
15．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者.若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
16．检查甲、乙两厂的100瓦电灯泡的生产质量，分别抽取20只灯泡，检查结果如下：
瓦数 94 96 98 100 102 104 106
甲厂个数 0 3 6 8 2 0 1
乙厂个数 1 2 7 4 3 2 1
(1)请计算甲、乙两厂灯泡瓦数的总体均值的估计值；
(2)请计算甲、乙两厂所抽取灯泡瓦数的标准差；（精确到0.01）
(3)哪个厂的生产情况较稳定？
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．D
【分析】利用平均数、中位数、方差的定义直接求解．
【详解】甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为16，方差位0.8，
三年后，
这五位同学年龄的平均数变为16+3＝19，故A正确；
这五位同学年龄的中位数变为16+3＝19，故B正确；
这五位同学的方差不变，仍为0.8，故C正确，D错误．
故选：D．
2．B
【分析】通过计算方差（标准差）来确定正确答案.
【详解】样本数据的平均数，
根据选项可知且，
所以，
样本数据的方差
由于，，，
所以，所以，所以，
所以最大时，方差最大，也即标准差最大，所以B选项正确.
故选：B
3．A
【分析】由样本数据的关系（，2，…，n），结合平均数，标准差，中位数，众数的定义，即可判断选项.
【详解】数据，，…，的样本平均数是，标准差是，样本中位数是，众数是，所以数据（，2，…，n）的平均数是，标准差，样本中位数是，样本众数是，故A正确.
故选：A
4．B
【分析】用一组数据表示50名学生的成绩，然后求更正前和更正后的标准差，通过甲乙两名学生更正前后的成绩分析比较．
【详解】解：设50名学生的成绩分别为，，，，，，不妨用、来代表甲、乙的成绩，
因为，所以更正前后的平均数均为，
则更正前的标准差为，
更正后的标准差为，
比较上面两式，因为，所以．
故选：B．
5．B
【分析】由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解．
【详解】解：∵某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为s2，.
故选B．
【点睛】本题考查平均数和方差的计算公式的应用，是基础题．
6．C
【解析】根据均值和方差的公式计算可结果.
【详解】设一组数据为，平均数为，方差为，所得一组新数据为，平均数为，方差为，
则，，
所以，
所以，所以，
由题意得，
所以，
所以
所以，
所以，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：熟练掌握几个数据的均值和方差公式是解题关键.
7．ACD
【分析】根据条形统计图依次计算影片数量占比、平均数和方差即可得到结果.
【详解】对于A，至年各年国内电影票房前十名影片中，每年的国产影片数量均大于等于部，故国产影片数量每年的占比都不低于，A正确；
对于B，年国产影片占比为，年国产影片占比为，故国产影片数量占比并非逐年提高，B错误；
对于C，至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量平均数为，进口影片数量平均数为，C正确；
对于D，至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差为；进口影片数量的方差为，D正确.
故选：ACD.
8．ABD
【分析】直接根据折线图可得方差的大小关系、计算可得平均数及中位数，即可得答案；
【详解】由图知，这八周周产量的众数为19，前四周周产量的方差大于后四周周产量的方差，故A，D正确；这八周周产量的平均数为17.25，中位数17.5，故B正确，C错误.
故选：ABD.
【点睛】本题考查通过折线图分析、处理数据，考查数据处理能力，属于基础题.
9．甲地，丙地
【分析】根据平均数、众数、方差的知识求得正确答案.
【详解】甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，
则甲地个数据从小到大排列是，所以甲地肯定进入夏季.
乙地：5个数据的中位数为27，平均数为24，
则乙地个数据从小到大排列可能是，所以乙地不符合要求.
丙地：5个数据中有一个数据是32，平均数为26，方差为10.2，
设丙地的个数据为，
则，
，
，
由于记录数据都是正整数，若中有一个数小于或等于，
则，
所以每个都不小于，所以丙地肯定进入夏季.
综上所述，甲地，丙地肯定进入夏季.
故答案为：甲地，丙地
10．1
【分析】设这10个数为，，，，，则，，这组数据的方差为：，由此能求出这组数据的标准差．
【详解】现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，
设这10个数为，，，，，
则，
，
这组数据的方差为：，
这组数据的标准差．
故答案为1．
【点睛】本题考查一组数据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
11．乙丙
【解析】利用统计的相关知识可逐个判断各同学观点的正误.
【详解】在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，故甲的观点错误；
“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会出现比较‘极端’的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”，故乙的观点正确，
“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”，故丙的观点正确；
“标准差越大，数据的离散程度越大”，故丁的观点错误.
故答案为：乙丙.
【点睛】本题考查统计的相关知识，属于基础题.
12．乙
【分析】根据中位数、均值、众数、极差等概念，找出满足条件的5个数，看最小的能否小于120即可判断．
【详解】在①中，甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128，
可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同学的数学成绩不一定优秀；
在②中，乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121，
所以前三个数为121，121，127，则后两个数肯定大于127，故乙同学的数学成绩一定优秀；
在③中，丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125，最大值与最小值的差为10，若最大值为129，则最小值为119.即119，125，125，127，129，故丙同学的数学成绩不一定优秀.
综上，数学成绩一定优秀的同学只有乙.
故答案为：乙．
13．(1)答案见解析
(2)平均数为100，方差为104.
(3)300
【分析】（1）计算每组频率，从而画出频率分布直方图；
（2）由频率分布直方图中的数据结合平均数，方差的求法求解即可；
（3）先计算区间内的平均数以及，再由方差公式求解.
【详解】（1）由题意可知，分组，，，，，对应的频率分别为.
则频率分布直方图如下图所示：
（2）质量指标值的样本平均数为
．
质量指标值的样本方差为
（3）由题，质量指标值落在区间内的产品有70件，
设质量指标值分别为，则平均数为，方差为，
质量指标值落在区间内的产品有30件，
设质量指标值分别为，则平均数为，方差为，
设这100件产品的质量指标值的平均数为，
方差为，则，
所以，又因为，则，
又因为，则，
所以
14．(1)，39.6（岁）
(2)47
(3)该选手最终得分为8.933分，其得分方差为0.216
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，即可求出，再根据平均数公式计算可得；
（2）根据百分位数计算规则计算可得；
（3）根据平均数、方差公式计算可得；
【详解】（1）解：由题意，
解得，
39.6（岁）；
（2）解：通过计算知第75百分位数落在[45，50)区间内，设为t，
则，
解得，即第75百分位数为47；
（3）解：由
设该名选手最终的平均分为，最终方差为，
则（分），
估计该选手最终得分为8.933分，其得分方差为0.216．
15．（1）平均年龄岁，第80百分位数为；（2）10.
【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；
（2）由分层抽样得第四组和第五组分别抽取人和人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，进而根据方差公式有，代入计算即可得答案.
【详解】解：（1）设这人的平均年龄为，则
.
设第80百分位数为，由，解得.
（2）由频率分布直方图得各组人数之比为，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
16．(1)99.3，99.6；；
(2)2.30，2.94
(3)甲.
【分析】（1）根据均值的运算公式进行求解即可；
（2）根据标准差的公式进行求解即可；
（3）根据标准差的性质进行求解即可.
【详解】（1）甲厂灯泡瓦数的总体均值的估计值为；
乙厂灯泡瓦数的总体均值的估计值为
（2）甲厂所抽取灯泡瓦数的标准差为
乙厂所抽取灯泡瓦数的标准差为
（3）因为甲厂所抽取灯泡瓦数的标准差小于乙厂所抽取灯泡瓦数的标准差，
所以甲厂生产情况较稳定.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页