安徽省定远县育才学校2022-2023学年高二下学期期中检测数学试卷（word版含答案）

育才学校2022-2023学年度第二学期期中考试
高二数学
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设数列的前项和为，则的值为 ( )
A. B. C. D.
2. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )
A. 里 B. 里 C. 里 D. 里
3. 设，若在处的导数，则的值为 ( )
A. B. C. D.
4. 函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
5. 的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6. 已知圆的半径为，，过点的条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为( )
A. B. C. D.
7. 如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”现提供种颜色给“弦图”的个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8. 某国家级示范高职院校为做好春季高考招生工作，决定邀请省内部分高中优秀高三学生到校进行职业生涯体验若育才高中将获得的个体验名额随机分配给高三年级个班级，则每个班均获得体验名额的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 数列的前项和为，，则有( )
A. 为等比数列
B.
C.
D. 的前项和为
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 在区间上，函数是增函数 B. 在区间上，函数是减函数
C. 为函数的极小值点 D. 为函数的极大值点
11. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如表：
乘坐站数
票价元
现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是
A. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
B. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
C. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
D. 若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种
12. 若，则( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知数列的通项公式为，数列的前项和为，则 ．
14. 在的展开式中，的系数为 ．
15. 函数的导函数是，则 ．
16. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共名教师去个边远学校支教，每学校至少人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有 种．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
公比不为的正项等比数列中，，且，，成等差数列．
求的通项公式
若，令，求的前项和．
18. 本小题分
已知曲线在点处的切线方程是．
求，的值；
若曲线的某一切线与直线：垂直，求切点的坐标与切线的方程．
19. 本小题分
已知函数的一个极值点是．
求函数的极值
求函数在区间上的最值．
20. 本小题分
已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为．
求的值；
求展开式中含的项的系数；
用二项式定理证明：能被整除。
21. 本小题分
班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单．
个相声节目要排在一起，有多少种排法？
相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？
22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.
【解析】．故选C．
2.
【解析】记每天走的路程里数为，
可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
，
故选：．

3.
【解析】由，得，
由，
解得．故选B．
4.
【解析】，
令，解得或令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的两个极值点为，故排除选项A和选项D，
当时，，，所以恒为正，排除选项B．
即只有选项C符合要求，故选C．
5.
【解析】的二项展开式的通项公式为，
当，时，可得的展开式中，
常数项为．
故选：．

6.
【解析】圆的半径为，，
过点的条弦的长度组成一个等差数列，
最短弦长为，
最长弦长为过点的直径：，
则公差．故选：．
7.
【解析】根据题意，如图，假设个区域依次为、、、、，
，对于区域，有种涂法，
，对于区域，与相邻，有种涂法，
，对于区域，与、相邻，有种涂法，
，对于区域，若其与区域同色，则有种涂法，
若区域与区域不同色，则有种涂法，
则、区域有种涂色方法，则不同的涂色方案共有种；故选：．
8.
【解析】由题意可知，将个体验名额随机分配给高三年级个班级，一共会出现以下种情况：
个名额分到个班，共有种；
个名额分到个班，共有种；
个名额分到个班，共有种；
个名额分到个班，共有种；
所以个体验名额随机分配给高三年级个班级，一共出现种情况，满足题意条件分到个班的共有种情况，
所以每个班均获得体验名额的概率为．故选B．
9.
【解析】，，
为等比数列，因此A正确．
B.时，，时不成立，因此不正确．
C.结合可得，，因此C正确．
D.，
的前项和，
，
，
，因此D正确．故选：．
10.
【解析】对选项A，，，为减函数，故A错误；
对选项B，，，是减函数，故B正确；
对选项C，，，是增函数，
，，是减函数，所以为函数的极大值点，
故C错误；
对选项D，，，是增函数，
，，是减函数，所以为函数的极大值点，故D正确．
故选：
11.
【解析】甲、乙两人乘坐地铁，共花费元，则其中一人的乘坐站数不超过，另一人的乘坐站数超过不超过，
设首站之后的前站分别为，，，，，
若甲乘坐地铁不超过站，则两人下地铁的所有方案为，，，，，，，，共种，同理，若乙乘坐地铁不超过站，也有种方案，
因此甲和乙两人共花费元时共有种下地铁的方案．
设首站之后的前站分别为，，，，，，，，，
若甲、乙两人共付费元，则共有三类方案，甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；甲付元，乙付元；由题意可知每类情况中有种方案，所以甲、乙两人共付费元时共有种下地铁的方案．故选BD．
12.
【解析】令，得，所以A正确
令，则，
时，则，
，，
所以B正确
因为，
两边求导得，
令，得 ，
所以不正确
，
比较两边的系数
，
所以D正确．故选ABD．
13.
【解析】，
数列的前项和
．
故答案为．

14.
【解析】的二项展开式的通项为
．
由，得．
的系数为．故答案为：．
15.
【解析】因为，
所以，
故．
故答案为．
16.
【解析】因为甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有，，和，，两种分配方案，
，，方案：甲、乙为一组，从余下人选出人组成一组，然后排列，
共有：种；
，，方案：在丁、戊中选出人，与甲乙组成一组，然后排列，
共有：种；
所以，选派方案共有种．
故答案为．
17.解：设的公比为，根据题意得，即．
因为，，
解得，，
所以的通项公式为．
，
则，
所以，
则，
所以．
18.解：的导数，
由题意可得，，
解得，；
切线与直线垂直，
切线的斜率．
设切点的坐标为，
则，
，
由，
当时，，
当时，，
切点的坐标为或，
则切线方程为或．
即或．
19.解：，
有一个极值点是．，
即，
又，
单调递减 单调递增 单调递减
当时，有极小值，极小值为．
当时，有极大值，极大值为．
由知，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
又，，
在上的最大值为．
在上的最小值为．

20.解：，

设的展开式的通项为，则，
令得，．
含的项的系数为；
由二项式定理可知
各项都能被整除。
能被整除
21. 解：将个相声节目捆绑在一起，看成个节目，与其余个节目一起排，
则共有种不同排法；
若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，可以用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法；
若个相声节目相邻，则有种不同排法，若个魔术节目相邻，也有种不同排法，
若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法，
则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，可由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数，再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有种不同排法．

22.解：，，．
令，，则．
当时，，所以函数在区间上单调递增，
此时，则，
所以，函数在区间上单调递增；
，当时，，所求不等式可化为，即，
易知，由知，在单调递增，
故只需在上恒成立．
两边同取自然对数，得，即．
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，所以，．
故的取值范围是．