重庆南开（融侨）中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

重庆南开（融侨）中学高2024级高二（下）期中考试
数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）
1.下列求导运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.在各项均为正数的等比数列中，，，则公比（ ）
A.2 B. C.2或 D.
3.某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的100名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（ ）
A.15名 B.20名 C.25名 D.40名
4.已知函数，，则的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
5.ChatGPT、LAMDA、Blender是近期火爆的AI程序，它们能够与人类进行聊天交流，完成撰写邮件、视频脚本、文案等工作.某兴趣小组4名成员打算分工学习这三个AI程序，每个人只能学习一个程序，每个程序至少有一人学习，则不同的分工方法有（ ）
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
6.已知点为函数的图象上一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.为坐标原点，过点作直线的垂线，交抛物线于，两点，为线段的中点，若是等腰直角三角形，则（ ）
A.6 B.4 C.2 D.1
8.在杨辉三角中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示，那么在杨辉三角中出现三个相邻的数，其比为的行数为（ ）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
A.58 B.62 C.63 D.64
二.多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.已知数列前项和为（其中、为常数），，，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A.为等差数列 B.
C.恒成立 D.数列的前项和小于1
10.已知的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则（ ）
A. B.展开式中二项系数最大的项为第5项
C.展开式中有2项有理项 D.展开式中含项的系数为112
11.我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（ ）
A.双曲线是黄金双曲线
B.若，则该双曲线是黄金双曲线
C.若，则该双曲线是黄金双曲线
D.若，则该双曲线是黄金双曲线
12.已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相对应位置上）
13.2023年是全面贯彻党的二十大精神的开局之年，某中学为了解教师学习“党的二十大精神”的情况，采用比例分配分层随机抽样的方法从高一、高二、高三的教师中抽取一个容量为30的样本，已知高一年级有教师80人，高二年级有教师72人，高三年级有教师88人，则高一年级应抽取______人.
14.每年5月初，高三的同学们都要拍毕业照，留下高中生活的美好见证.某班同学集体合影后有4位同学邀请两位老师合影留念.若6人站成一排，两位老师站在中间位置，甲乙两位同学站在一起，则不同的站位方法有______种.（用数字作答）
15.函数，若存在使得，则实数的取值范围是______.
16.过抛物线的焦点的弦满足（点在轴上方），则以为直径的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为______.
四.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）设，且
（1）求实数的值；
（2）求的值.
18.（12分）已知，其中.
（1）若在单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值.
19.（12分）已知数列的前项和为，且，，.
（1）求证数列为等差数列，并求通项；
（2）设，求数列的前项和.
20.（12分）已知四棱柱中，底面和侧面都是边长为2的菱形，且它们所在平面互相垂直..
（1）求证：四边形是正方形.
（2）若，求二面角的余弦值.
21.（12分）已知为抛物线的焦点，为抛物线的顶点，为抛物线上一点，当时，.
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线在点处的切线交轴于点，直线与抛物线交于、两点，当取得最小值时，求的面积.
22.已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.
重庆南开（融侨）中学高2024级高二（下）期中考试
数学答案
一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）
CABB DACB
二.多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
ACD BD BCD ABC
8.根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，，
有且，化简得且，解得，.
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数.
11.A选项，，不是黄金双曲线；
B选项，，化成，即，
又，解得，是黄金双曲线；
C选项，∵，∴，∴，
化简得，由B选项知是黄金双曲线；
D选项，∵，∴轴，，且是等腰，
∴，即，由B选项知是黄金双曲线.
12.对于A，，令，得或，有“巧值点”；
对于B，，令，得，有“巧值点”；
对于C，，令，结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”；
对于D，，令，即，得，无解，无“巧值点”.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相对应位置上）
13.10 14.16 15. 16.
四、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）通项，
令，得，解得.
（2）由（1）有
令，得①
令，得②
由可得
18.（1），由在单调递增可知在恒成立，
即在恒成立，令，，当时，
故在上单调递增，所以时，，因此，即，
所以实数的取值范围为.
（2）时，，.
令，解得或；令，解得.
故在和上单调递增，在上单调递减.
而，，，，，
则，
19.（1）由可知，即
当时，，得，则，故
因此是以2为首项，3为公差的等差数列，所以.
（2）结合（1）可知，.
①②
①-②可得：
故
20.（1）由四边形为菱形可知，又由题知，
故有平面，从而可得.
过作，交于，则由，平面平面，
且两平面交线为，平面可得：平面，从而可得，
结合上面得到的，又，故有平面，
又四边形为菱形，所以四边形为正方形
（2）若，则由题可得为正三角形，从而可知（1）中的点为的中点，取中点，连接。以，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则由题可得：
，，，
∴，，
设平面的一个法向量为，则有
取，则，同理可求得平面的一个法向量为
设二面角的平面角为，由题易知为锐角，故有
故二面角的余弦值为
21.（1）由抛物线定义可知，故的方程为：
（2）由（1）知，，又由
∴处切线方程为：，即，令
故有
联立和消去整理得：
设，，则有
又，故
当且仅当，即时取最小值，此时，
又到直线的距离
所以
22.（1）因为，，所以，解得.
（2）函数的定义域是，，
所以，当，时，，，可得.