乐山中学2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题（含解析）

乐山中学2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题
一、单选题
1．在中，已知，，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．若角的终边经过点，则下列各值中不存在的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
3．已知向量，且，则（ ）
A．5 B． C． D．
4．已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是（ ）
A．A，B，C三点共线 B．
C．A，B，C是等腰三角形的顶点 D．A，B，C是钝角三角形的顶点
5．将偶函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的一个单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，此时气球的高是，则河流的宽度等于（ ）
A． B．
C． D．
8．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且，，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则等于（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（ ）
A． 或 B．
C． D．该三角形的面积为
11．把函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且在处取得最大值，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知分别是内角的对边，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．记的内角的对边分别为，已知，，则的最大值为______．
14．已知，若，则等于______.
15．设、是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的面积为______．
16．已知，，则在方向上的数量投影为________．
四、解答题
17．已知是同一平面内的三个向量，.
(1)若，且，求的坐标；
(2)若，且与垂直，求与的夹角.
18．已知，为锐角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．
(1)求角C的值；
(2)若的面积，试判断的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．已知，，当取最小值时.
(1) 求的值；
(2) 若、共线且同向，求证：.
21．已知函数的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式，并求单调递减区间；
(2)若，，求的取值范围．
22．设，是两个不共线的向量，如果，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定的值，使和共线；
(3)若与不共线，试求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理，，即，解得
故选：B.
2．D
【分析】根据三角函数定义判断即可．
【详解】因为角的终边过点，
根据三角函数定义可得：，
，
，
不存在．
故选：D．
3．A
【分析】转化，求解，再结合向量线性运算和模长的坐标公式求解即可.
【详解】由题意，，
，解得，
故，.
故选：A
4．D
【分析】，所以A，B，C三点不共线，所以选项A错误；，所以选项B错误；因为，所以∠C是钝角，所以选项D正确；因为,所以A，B，C不是等腰三角形的顶点，所以选项C错误.
【详解】解：，所以A，B，C三点不共线，所以选项A错误；
，所以选项B错误；
因为，所以∠C是钝角，所以选项D正确；
因为,所以A，B，C不是等腰三角形的顶点，所以选项C错误.
故选：D
5．C
【分析】根据辅助角公式，结合偶函数的性质求出值，再根据余弦函数图象的变换规律求出函数的解析式，最后根据余弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】.
因为函数是偶函数，所以，
因为，所以，所以，
因为函数的图象向右平移个单位，得到的图象，
所以，
当时，函数单调递减，
即当时，函数单调递减，
当时，函数在时单调递减.
故选：C
6．B
【分析】逐项分析各选项中函数的最小正周期以及各函数在区间上的单调性，可得出结论.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，故A错误；
对于B选项，函数的最小正周期为，当时，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，
因为在上单调递减，所以在上单调递减，故C错误；
对于D选项，函数的最小正周期为，故D错误.
故选：B.
7．C
【分析】根据题意分别求出、.则可求出.
【详解】如图所示：记于点.
由题意知：，..
在中：.
在中：.
所以.
故选:C.
8．B
【分析】根据题意作出图形，利用向量中线公式即可得到答案.
【详解】如图，
，①
，②
②①相减得.
所以.
故选：B.
9．AB
【分析】利用向量加法规则和向量减法规则即可判断各个选项的正误.
【详解】，A判断正确；
，由向量加法知B判断正确；
不满足加法运算法则，C判断错误；
，D判断错误．
故选:AB．
10．BC
【分析】利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，由此求得，进而求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积，从而确定正确选项.
【详解】由余弦定理得，所以，
由正弦定理得，所以，
由于，所以，所以，
三角形的面积为，
故BC选项正确，AD选项错误.
故选：BC.
11．AC
【分析】首先根据三角函数平移变换得到，即可判断A正确，B错误，再根据三角函数的最大值即可判断C正确，D错误.
【详解】，故A正确，B错误.
因为在处取得最大值，
所以，
所以，，即，，
.
故C正确，D错误.
故答案为：AC
12．BC
【分析】由题知，，进而得，再结合题意得，进而令，将问题转化为，再结合二次函数性质求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，
所以
因为，且，
因为，
所以，故A选项错误；、
所以，，
所以，，即，故B选项正确；
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
令，
因为，所以，
所以，即，
所以，
所以，，
因为，
所以，即，故C正确，D错误.
故选：BC
13．36
【分析】由条件利用二倍角公式化简可得，再利用正弦定理化边为角可求，利用余弦定理建立的关系，结合基本不等式求的最大值
【详解】由，得，
即，
结合正弦定理得，又，
则，
又A为的内角，，
则，又，则，
所以，又a＝6，
由余弦定理得，
当且仅当b＝c时等号成立，
故bc的最大值为36．
故答案为：36.
14．
【分析】由题意可得出，则，即可求出.
【详解】，
，
，，
故答案为：
15．
【分析】由余弦定理结合双曲线的定义求得，然后由三角形面积公式得结论．
【详解】由题意，，，
由双曲线定义得，两边平方得①，
由余弦定理得，即②，
②－①得：，
所以．
故答案为：．
16．/0.2
【分析】利用在方向上的数量投影的定义求解.
【详解】解：因为，，
所以在方向上的数量投影为，
故答案为：
17．(1)或
(2)
【分析】（1）设，由向量平行的坐标表示、模长的坐标公式列方程求的坐标；
（2）根据向量垂直及数量积的运算律可得，结合已知可得，再求，进而确定其大小.
【详解】（1）设向量，由，，，
所以，解得或，
所以或.
（2）因为与垂直，则，
又，，所以，得，
所以，又，故.
18．(1)
(2)
【分析】（1）已知和的值，可求和的值，诱导公式化简后求值；
（2），展开后代入已知数据即可求值.
【详解】（1），为锐角，，∴，
，∴，则，
则
（2）
19．(1)
(2)钝角三角形
【分析】(1) 方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到，再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解；
方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求解；
方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出，然后利用同角三角函数的基本关系即可求解；
(2)结合（1）的结论利用余弦定理和三角形面积可得，然后代入即可求解.
【详解】（1）方案一：选条选①．
由，得，
得，即．
∵，∴，∴，
又，∴．
方案二：选条件②．
由，得，
即，
于是，
因此，∵，∴，∴，
即，
∵，∴，∴，故．
方案三：选条件③．
由正弦定理，得，
即，∴，
又，∴，∴，即，∴．
（2）在中，，由余弦定理得，
又，∴，
整理得，得，此时，
∴，∴B为钝角，故是钝角三角形．
【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系，进行判断；（2）边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．
20．(1) (为与的夹角)时，取最小值；(2) 证明见解析.
【分析】(1)利用将向量模长最小值问题转化为关于的二次函数的最小值问题；
(2)根据题中条件确定的值，将向量垂直的证明转化为证明两向量的数量积为0.
【详解】(1) 不妨设、的夹角为，，
因为，，所以，.
令，，，
则可看作关于二次函数，且图象开口向上，
当时，有最小值，即有最小值.
(2) 若、共线且同向，由(1)知，
则有，
因为，
所以.
21．(1)，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）由图可求得及周期，从而可得，再利用待定系数法求出即可，再根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的减区间；
（2）根据正弦函数的性质结合整体想即可得出答案.
【详解】（1）由图可得：
，，解得，故，
当时，，
所以，即，
由于，所以，
故，
令，得，
故函数的单调递减区间为；
（2），
由于，所以，故，
即．
22．(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明向量与共线；
（2）两向量与（）共线，所以存在唯一实数实数，使.由此列方程组可解；
（3）知两向量不共线，求参数.可先求两向量共线时的参数值，实数集中去除这些值，即为不共线的参数值或范围.
【详解】（1）证明：因为，
所以与共线.
因为与有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
（2）因为与共线，
所以存在实数，使.
因为，不共线，所以
所以.
（3）假设与共线，则存在实数m，使.
因为，不共线，所以
所以.
因为与不共线，
所以.
答案第1页，共2页
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