乐山中学2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题（含解析）

乐山中学2022-2023学年高一下学期3月联考数学试题
一、单选题
1．在△ABC中，D是边BC上的一点，，，，则（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．已知角的终边过点，且，则实数（ ）
A． B． C． D．6
3．已知是双曲线 的左、右焦点，点M是过坐标原点O且倾斜角为60°的直线l与双曲线C的一个交点，且 则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
4．已知向量，，则下列错误的是（ ）
A．
B．与向量共线且同向的单位向量是
C．
D．向量在向量上的投影向量是
5．已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.则在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在t（单位：s）时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式确定，下列结论正确的是（ ）
A．小球的最高点和最低点相距 B．小球在 时的高度
C．每秒钟小球往复运动的次数为 D．从 到 ，弹簧长度逐渐变长
7．小李在某大学测绘专业学习，节日回家，来到村头的一个池塘（如图阴影部分），为了测量该池塘两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2＝a，已经测得两个角∠P1P2D＝α，∠P2P1D＝β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C，D间距离的是（　　）
①∠DP1C和∠DCP1；②∠P1P2C和∠P1CP2；
③∠P1DC和∠DCP1.
A．①和② B．①和③
C．②和③ D．①和②和③
8．如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．和能构成一组基底
10．某人向正东方向走了后向右转了，然后沿新方向走了，结果离出发点恰好，那么x的值是（ ）
A． B． C．3 D．6
11．设函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，的图象关于直线对称
B．当时，在上是增函数
C．若在上的最小值为，则的取值范围为
D．若在上恰有2个零点，则的取值范围为
12．下列四个选项中哪些是正确的（ ）
A．若，则
B．
C．在任意斜三角形中
D．在三角形中
三、填空题
13．求________.
14．______．
15．在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，，则的最小值为________．
16．已知为单位向量.若，则在上的投影长度为___________.
四、解答题
17．在直角坐标系xOy中，，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，求k的值．
18．已知是钝角，是锐角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
19．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行求解．
问题：在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知______，a＝4．
(1)求A；
(2)求周长的取值范围
20．已知向量与的夹角为120°，且，，求：
(1)；
(2)；
(3)．
21．如图，平面四边形ABCD中，，，．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求内切圆半径r的取值范围．
22．数学探究：用向量法研究三角形的性质，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义，向量运算与几何图形性质的这种内在联系，是我们自然地想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便，简捷呢？请求解下列问题：
(1)用向量方法证明：三条中线交于一点（称为三角形的重心）
(2)设三顶点的坐标分别为求重心的坐标.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】设，分别在和使用正弦定理，通过等量代换可得等式 ，从而求出的大小.
【详解】
如图所示,在中，，，
所以，由正弦定理知
，
设，，
所以
设，
在中，由正弦定理得：
，即，解得.
故选：B.
2．C
【分析】由三角函数的定义求出，化弦为切，求出，从而列出方程，求出的值.
【详解】由三角函数的定义得：，
变形为，解得：，
即，解得：.
故选：C
3．C
【分析】由得到，，结合，求出，，利用双曲线定义得到方程，求出离心率.
【详解】不妨设点M在第一象限，
由题意得：，
即，
故，故，
因为O为的中点，
所以，
因为，故为等边三角形，
故，，
由双曲线定义可知：，
即，解得：.
故选：C.
4．D
【分析】根据向量的坐标运算分别判断各选项.
【详解】A选项，，，，，A选项正确；
B选项，设与向量共线且同向的单位向量 ，则，解得，或（舍去），故，B选项正确；
C选项，，，则，故，C选项正确；
D选项，向量在向量上的投影向量是，D选项错误；
故选：D.
5．C
【分析】根据二倍角的余弦公式和辅助角公式求出函数的解析式，由三角函数图象的平移伸缩变换求出函数的解析式，结合正弦函数的单调性即可求解.
【详解】，
因为函数图象的相邻两个对称中心的距离为，
所以，得，又，所以，
则.
将函数图象上的点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，
得，
由，得，
又函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，得，
即函数在上的值域为.
故选：C.
6．D
【分析】根据函数解析式可判断小球的最高点和最低点相距，判断A;将代入可判断B;求出的最小正周期以及频率，可判断C;结合函数的单调性，可判断小球的运动状态，进而判断弹簧长度的变化，判断D.
【详解】由题意弹簧挂着的小球上下振动，它相对于平衡位置的高度由关系式确定，
则小球的最高点和最低点相距平衡位置都是，故小球的最高点和最低点相距，A错误；
小球在 时的高度，B错误；
由知，最小正周期，则频率为，
则每秒钟小球往复运动的次数为，C错误；
由题意知当时，单调递减，时，小球在平衡位置，
因为且，故，所以即递减，
时，小球在平衡位置以上位置，时，小球在平衡位置以下位置，
即小球此时从平衡位置以上位置逐渐向平衡位置以下位置运动，故弹簧长度逐渐变长，D正确，
故选：D
7．D
【分析】由正余弦定理知已知三角形两角一边或两边一角或三边均可解出三角形任意一个量，要求C，D间距离只需看CD所在三角形是否已知两角一边或者两边一角即可.
【详解】根据题意，的三个角和三个边，由正弦定理均可以求出，中已知，而中已知
若选条件①，则中已知两角一边，CD可以求；
若选条件②，由正弦定理可以求出及，所以可以求出，则在中已知两边及夹角运用余弦定理即可求出CD.
若选条③，则在中已知两边及一角，用正弦定理即可求出CD.
故选：D
8．C
【分析】取的中点，连接，根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】如图，取的中点，连接，
因为是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，
所以，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又为上靠近的一个四等分点，
所以
.
故选：C.
9．BCD
【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对于A选项，，A选项错误.
对于B选项，，B选项正确.
对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且，
故，所以选项C正确.
对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确.
故选：BCD.
10．AB
【分析】设，由余弦定理代入即可得出答案.
【详解】
由题意设．
由余弦定理得，
解得或．
故选：AB.
11．AC
【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性、最值的性质、零点的性质逐一判断即可.
【详解】当时，，所以是图象的一条对称轴，即A正确；
当时，若，则，则，所以不单调，即B错误；
若，则，由题意，可知，解得，即C正确；
若，则，由题意，可知，解得，即D错误.
故选：AC
12．ACD
【分析】根据诱导公式可判断A，由同角三角函数的基本关系及诱导公式，余弦函数的单调性判断B，由两角和的正切公式变形即可判断C，由余弦定理可化简判断D.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，
，，B错误；
对于C，在任意斜三角形中，，
整理得，
即，C正确；
对于D，在三角形中，，D正确.
故选：ACD.
13．/0.5
【分析】首先切化弦，然后辅助角公式、诱导公式及二倍角公式化简求值即可.
【详解】
故答案为：.
14．/0.5
【分析】根据诱导公式和特殊角三角函数值求解即可.
【详解】由诱导公式可得.
故答案为: .
15．4
【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，为的平分线，
所以，
所以，
即，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
16．
【分析】根据题意，结合向量的数量积的运算公式，求得，再利用投影的公式，即可求解.
【详解】由为单位向量，且，可得，
解得，所以在上的投影长度为.
故答案为：
17．或-1．
【分析】根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是．
【详解】解：，且，，
（1）若为直角，则；
（2）若为直角，则；
（3）若为直角，则．
的值为或．
18．(1)；
(2).
【分析】（1）根据诱导公式可得，再由二倍角的余弦公式即可求解；
（2）根据同角三角函数的基本关系分别求出，，由及两角差的正弦公式即可求解.
【详解】（1）.
（2）因为是钝角，是锐角，，
所以，，，
所以，
.
所以
,
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据所选的条件，应用正余弦定理边角关系、三角恒等变换可得，结合三角形内角性质确定角的大小；
（2）由余弦定理及基本不等式求得，结合三角形三边关系和已知确定三角形周长范围.
【详解】（1）选①：由得：，
由正弦定理得，
即，
化简得，因为，所以，
由三角形内角性质知：．
选②：在中，由正弦定理得：，
因为，所以，
即，
因为，所以，
由三角形内角性质知：．
选③：在中，由得：，
由正弦定理得，由余弦定理得，
由三角形内角性质知：．
（2）由余弦定理得，
所以，解得，
当且仅当b＝c时等号成立，又，
所以，，
故周长的取值范围是．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据已知条件求出，再结合向量的模运算和向量的运算律即可求解.
（2）先根据已知条件求出，再结合向量的模运算和向量的运算律即可求解.
（3）先根据已知条件求出，再结合向量运算律求出，最后求向量的摸.
(1)
由题意可知，，
，.
因为，
所以.
(2)
因为，
所以.
(3)
因为，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理求出，再利用正弦定理和余弦定理求得，进而得到A，B，C，D四点共圆，利用正弦理即可求解.
（2）结合（1）的结论和正弦定理可得：，然后再利用正弦定理和辅助角公式以及正弦函数的图像和性质即可求解.
【详解】（1）在中，，
所以，由正弦定理，，可得，
再由余弦定理，，又，所以.因为，
所以，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于外接圆的半径.
又，所以.
（2）由（1）可知：，则.，
则.
在中，由正弦定理，
，所以，，则
，
又，所以，所以，，所以.
22．(1)证明见解析；
(2)重心的坐标为.
【分析】（1）令、交于点，连接，，利用向量共线证明点共线即可作答.
（2）利用向量的坐标运算，结合（1）的结论计算作答.
【详解】（1）令交于点，连接，如图，点分别为边的中点，
则，，有，
，而D是边BC中点，，
于是得，即三点共线，
所以三条中线交于一点.
（2）由（1）知，，即，
设点，而，则有，，
，即，
所以重心的坐标为.
答案第1页，共2页
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