2023届高考数学复习专题 ★★定点定值问题 课件（共110张PPT）

(共110张PPT)
解析几何中的定量问题
2023届高考数学复习专题 ★★
一、定量问题的思想方法
思想方法：定量问题包括定点，定值，定角，定直线，
定面积等等。小题可以特殊化、极端化猜测得出，大
题则一般可以先猜再证。
能力要求：
（1）会猜——特殊化，极端化
（2）会证——
①设方程（直线通常为y=kx+b或x=my+n)
②联立方程组得关键方程
③转化几何条件建立代数关系
④利用韦达定理建立等式，统一参数字母
⑤求出定量
二、定点问题
例1、抛物线
（1）过原点 作两条互相垂直的弦 ，则直线
过定点为
O
A
B
解析：小题猜测：根据对称性，定点肯定在x轴上，
再取 ，易得
猜测定点
证：证明方法很多，这里略举几种，
后面的例题通法为主。
(一)抛物线类
思路1：设直线AB(2字母)
O
A
B
代入抛物线得关键方程(2字母)
OA⊥OB统一字母(1字母)
得定点
O
A
B
法1：设
思路2：设直线OA，OB(1字母)
O
A
B
代入抛物线解得A,B点
得直线AB方程(1字母)
得定点
O
A
B
法2：
思路3：设点A，B(4字母)
O
A
B
代入抛物线消掉2字母
得直线AB方程(2字母)
得定点
OA⊥OB统一字母(1字母)
O
A
B
法3：设
规律：直线(曲线)过定点问题实质是方程与动量(变量)无关，这里的变量要合理选取，如斜率、截距、坐标等。在处理过程中，可以统一成一个变量，或统一成某个变量整体结构去解决问题。
（2）过任意一点 作两条互相垂直的弦 ，
则直线 过定点为
解析：小题猜测：极端性，当 水平时
此时 在无穷远处， ，直线
所以定点纵坐标为
O
A
B
P
当 竖直时，设为 ，
代入抛物线方程，
猜测定点为
思路1：设直线点PA，PB(1字母)
代入抛物线得A,B坐标
得直线AB方程(1字母)
得定点
O
A
B
P
法1：
O
A
B
P
思路1：设点A，B(4字母)
代入抛物线消掉2字母
得直线AB方程(2字母)
得定点
PA⊥PB统一字母(1字母)
O
A
B
P
法1：
O
A
B
P
思路2：设直线AB(2字母)
代入抛物线得关键方程
k1k2=-1统一字母
代直线AB方程(1字母）
得定点
O
A
B
P
法2：
解析：小题猜测：极端性，当 水平时，
此时 ，所以定点纵坐标为
1、过原点 作抛物线 两条弦 ，
倾斜角分别为 ，
(1)若 ，则直线 过定点为
当 时， ，
所以定点为 的交点。
跟踪练习
证：设
(2)若 ，则直线 过定点为
解析： ，证明思路：注意 无意义，
则
(3)若 ，则直线 过定点为
证：设
②
①
(4)过准线上任意一点 作两条切线 ，切点为
，则直线 过定点为
解析： ，特殊化猜测。
证：设
O
A
B
P
2、已知抛物线方程为
，过点
作抛物线的两条弦
，且
斜率为
满足
，则直线
过定点 的
坐标为
O
M(1,2)
F
E
思路1：设直线ME(1字母)
代入抛物线得E点
O
M(1,2)
F
E
类比得F点
得直线EF方程(1字母）
得定点
解析：法1：
方程有一根为2，由韦达定理得另一根为
思路2：设直线EF(2字母),点M,N(4字母)
代入抛物线得关键方程
O
M(1,2)
F
E
k1k2=1统一字母
代直线EF方程(1字母）
得定点
法2：
例3、椭圆
（1）以左顶点 为直角顶点的 的顶点都在
椭圆上，则斜边 过定点
A
M
N
(二)椭圆类
思路1：特殊化取AM:y=x+2
代入椭圆得M,N坐标(1字母)
得直线AB方程(1字母)
猜测得定点坐标再证明
A
M
N
解析：
思路2：设直线MN(2字母)
代入椭圆得关键方程(2字母)
得直线AB方程(1字母)
得定点
AM⊥AN统一字母(1字母)
A
M
N
解析：
（2）设 ， 为椭圆上关于 轴对称的任意
两点， 交椭圆另一点于 ，则直线 过定点
P
M
N
E
思路：设点M,N,E(4字母)，直线PN方程x=my+4(1字母)
得直线ME方程(1字母)
得定点
直线PN与椭圆联立(3字母可统一成1个)
P(4,0)
M(x1,-y1)
N(x1, y1)
E(x2,y2)
N,E,P在直线PN上(3字母y1,y2,m)
解析：当M,N重合，则ME:x=0，所以定点纵坐标为0
P(4,0)
M(x1,-y1)
N(x1, y1)
E(x2,y2)
例4、
若存在一个定点 ，对于圆上任意一点 使得
为定值，则该定值为 ，定点 的
坐标为
A(-2,0)
M(x,y)
B(m, n)
思路1：设点M,B(4字母)，定值 (1字母)
得定值，定点
x,y系数,常数为0
代入等式恒成立
A(-2,0)
M(x,y)
B(m, n)
解析1：设B(m,n)，M(x,y)，
对圆上任意点M(x,y)恒成立
思路2：取M特殊点，猜测出B点位置
证明定点对任意M恒成立
A(-2,0)
M(x,y)
B(m, n)
解析2：不妨取M1(0,1)，M2(0,-1)
又取M3(-1,0)，M4(1,0)
例5、椭圆 ，过 作直线l交椭圆于
，若存在一个定点 ，使得
恒成立，则点 坐标为
解析：当l水平时，则|BN|=|BM|，所以B只可能在y
轴上，设B(0,t)
当l竖直时，则 ，则BA为角MBN的角
平分线
取
下证对任意直线l 都适合
例6、椭圆 的左右顶点分别为 ，
分别交椭圆于
其中 ，则直线 过定点
解析：直线TMA:
直线TBN:
分别与椭圆方程联立，同
时考虑到
T(9,m)
M
N
B
A
D
O
法1：当 时，直线MN:
令 解得
当 时，直线MN:
所以直线MN必过定点(1,0)
当 时，
法2：当 时，直线MN: ，过D(1,0)点
所以直线MN必过定点(1,0)
例7、椭圆 的，过右焦点 作与坐标轴不垂
直的直线 交椭圆于 ，设点 是点 关于 轴的
对称点，求一定点 ，使得 三点共线，
则点 的坐标为
A(x1,y1)
C(x1,-y1)
F(2，0)
O
N
B(x2,t2)
解析：根据对称性，知N必在x轴上，设N(t,0)
斜率分别为 且
1、已知椭圆
，过点
作椭圆的两条弦
，又两弦的中点
分别为
求证：直线 过定点，并求出定点坐标。
答案：
跟踪练习
解析：
2、已知点A(-1,0)，B(1,-1)和抛物线C：y2=4x，
O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，
直线MB交抛物线C于另一点Q.
（1）证明： 为定值；
（2）若△POM的面积为 ，求向量 与 的夹角；
（3）证明直线PQ恒过一个定点。
答案：
解析(1)
(2)
(3)
由(1)
3、已知椭圆 上下顶点分别为
设直线 斜率分别为
在椭圆上且异于
与直线
分别交于
（1）
求证： 为定值；
（2）当 运动时，以 为直径的圆是否过定点？
并证明。
答案：
解析(1)
(2)
三、定值问题
例题分析
例1、抛物线 ，动直线 过点
，交抛物线于 ，且原点为 中点
求证： 为定值。
O
A
B
N
M(a,0)
l
解析：小题猜测：特殊化，当
竖直时，显然
证：设
分子
注意：此题可以有多种问法，如
例2、不为原点的点 在抛物线
上，过P作斜率相反的两条弦PE,PF。
求证：EF斜率为定值。
O
P
E
F
解析：猜测：极端化，当E,F重合时，EF为切线，所以
定值为P关于x轴对称点处的切线斜率。即为P处切线斜
率的相反数
推广：椭圆，双曲线，圆都有类似性质。
证法1：
O
P
E
F
类比得到
所以
证法2：
O
P
E
F
例3、A为抛物线 上一动点,B(4,0)，是否存在
垂直于x轴的定直线l被AB为直径的圆截得的弦长为定
值？有则求出定直线和定值，无则说明理由。
O
A
B
C
D
E
F
L:x=m
解析：假设存在满足条件的直线l:x=m
例4、已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，斜率为1
的直线过右焦点交椭圆于A,B， 与
共线。
（1）求椭圆离心率e;
（2）设M为椭圆上任意一点，且
求证： 为定值。
解析(1)
解析(2)探寻定值，特殊化，若M=A，则
证：
例5、过椭圆 右焦点F的弦AB
求证： 为定值;
F
O
A
B
解析:特殊化易得定值
法1：普通方程
法2：直线参数方程
法3：椭圆极坐标方程
例6、过椭圆 右焦点F的弦AB
在x轴上是否存在一个定点M(a,0)，使得
为定值，有则求出，无则说明理由。
解析:
F
O
A
B
M(t,0)
跟踪练习
1、椭圆 ，过 作斜率相反的两条弦
求证：EF斜率为定值。
P
E
F
答案：
解析：略
2、动圆过点P(2,0),且M在抛物线 上，
圆M被y轴截得的弦长|AB|为定值，求出该定值和抛
物线方程。
答案：
解析：设M(a,b)
O
M(a,b)
P(2,0)
B
A
3、椭圆 ，过 的直线l与椭圆交于
A,B，与直线x=-4交于E，
求证： 为定值。
Q
O
A
B
E
l
答案：0
解析:
Q
O
A
B
E
l
4、椭圆 中心 , 在椭圆上
求证：(1) 为定值；
(2) 为定值。
d
O
A
B
答案:(1)
解析(1)设普通坐标运算复杂，考虑极坐标
解析(2)
d
O
A
B
四、定直线问题
例题分析
例1、椭圆 左右顶点分别为A,B，直线
与椭圆交于P,Q，AP与BQ交于S。
求证： 变化时，求证S在一定直线 上。
P
O
A
B
Q
S
解析:法1：
P(x1,y1)
O
A(-2,0)
B(2,0)
Q(x2,y2)
S
P(x1,y1)
O
A(-2,0)
B(2,0)
Q(x2,y2)
S
法2：前面同法1，
规律：先猜测，再证明减轻难度。
跟踪练习
1、椭圆 过P(4,1)的动直线l与椭圆交于
A,B,点Q在线段AB上，满足
求证：点Q在一定直线上。
A(x1,y1)
O
Q
B(x2,y2)
P(4,1)
解析:
答案：
A(x1,y1)
O
Q
B(x2,y2)
P(4,1)
规律：乘积变比例，比例引参数，向量化坐标。
五、其他定量问题
例题分析
例1、双曲线 ，直线l是圆
上动点P处的切线，l与双曲线交于两点A,B
求证： 大小为定值。
解析:特殊化取 ，易得
解析:
例2、椭圆 ， 为原点
（1）动点 满足： ，其中
M,N在椭圆上，且
求证： 为定值；
（2）若过动点 的椭圆两切线斜率之积为
定值m，试探究m的取值范围并确定点P的轨迹图形。
解析(1)
解析(2)
跟踪练习
1、椭圆 ，四边形ABCD的顶点都在椭圆
上，且对角线AC,BD过原点O，若
(1)求 的最值；
(2)求证：四边形ABCD的面积为定值。
(2)
答案:(1)
解析(1)
解析(2)
规律：