陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期中联考热身卷（二）数学试题（含解析）

陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期中联考热身卷（二）数学试题
一、单选题
1．为了研究人们生活健康情况，某市随机选取年龄在15~75岁之间的1000人进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中，利用分层抽样从年龄在，，，，，之间共选取20名市民书写生活健康的报告，其中选取年龄在市民的人数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
2．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设（ ）
A． B． C． D．
4．在区间内随机取一个实数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若双曲线的一条渐近线与直线相互垂直，则双曲线的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为 （ ）
A． B．6 C． D．8
8．已知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，若 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．曲线y=x2+3x在点A(1，4)处的切线的斜率k是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．若椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）个.
（1）函数一定有三个零点
（2）函数一定有三个极值点
（3）函数有最小值
（4）函数有最大值
（5）函数图像一定经过坐标原点
A．1 B．2 C．3 D．4
12．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、填空题
13．抛物线的准线方程是______.
14．曲线在点处的切线方程为_______.
15．求过点且与圆相切的直线方程为______.
16．已知函数，数列满足，则___________.
三、解答题
17．已知函数有极小值 6．
(1)求的值；
(2)求在上的最大值和最小值．
18．在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
19．2021年4月，全国职业教育大会在京召开，习近平总书记对职业教育工作作出重要指示强调，各级党委和政府要加大制度创新、政策供给、投入力度，弘扬工匠精神，提高技术技能人才社会地位，为全面建设社会主义现代化国家、实现中华民族伟大复兴的中国梦提供有力人才和技能支撑.某核心技术工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率.
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产技术能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”.
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
20．某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加，根据统计得到从2015年至2021年农村居民家庭收入y（单位：万元）的数据，其数据如下表：
年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
农村居民家庭收入y 3.9 4.3 4.6 5.4 5.8 6.2 6.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)根据（1）中的回归方程，分析2015年至2021年该地区农村居民家庭收入的变化情况，并预测该地区2024年农村居民家庭收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
参考数据：
21．已知点P到直线y＝－3的距离比点P到点A(0，1)的距离多2.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）经过点Q(0，2)的动直线l与点P的轨迹交于M，N两点，是否存在定点R使得∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.
22．已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据频率分布直方图及，求得a，b，得到各组的人数，再利用分层抽样求解.
【详解】由频率分布直方图得
解得，，
所以年龄在，，，，，内的人数分别为150，300，350，100，50，50，
利用分层抽样选取的人数分别为3，6，7，2，1，1，
故选：D．
2．C
【分析】由已知得，根据递推式反复代入计算即可.
【详解】由得，
.
故选：C.
3．B
【分析】直接利用命题的否定，写出假设即可．
【详解】用反证法证明命题“在中，若，则”时，
假设就是命题“中，若，则”的结论的否定，
命题“中，若，则”的结论的否定是：．
故选：．
【点睛】本题考查反证法的定义以及命题的否定，基本知识的考查．
4．B
【分析】由几何概型公式即可求得答案.
【详解】区间总长度为，在区间上随机取一个数，且，则，区间长度为，
所以所求概率.
故选：.
5．C
【分析】先求定义域,再对函数求导,令导函数大于零,解出不等式解集即可.
【详解】解:由题知,定义域为,
所以,
令,解得,
所以的单调增区间为:.
故选:C
6．A
【分析】解不等式得，解不等式得，再根据集合关系判断即可.
【详解】解：解不等式得，
等价于，解得，
因为是的真子集，
所以是的充分不必要条件，
所以，“”是“”的充分不必要条件
故选：A
7．C
【分析】写出渐近线方程，利用直线垂直列方程求解，从而得焦点坐标与虚轴顶点坐标，可求解得三角形面积.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为，
由两直线垂直得，，
，所以双曲线的焦点坐标为
，
虚轴一个顶点坐标为，
故选：C
8．D
【分析】根据题意可得，可得，利用，即可求得答案.
【详解】由题意知椭圆的一个焦点为，左顶点为A，上顶点为B，
若，则 ，即，
设椭圆的离心率为,则，
故选：D
9．B
【解析】直接利用切线的斜率就是曲线在该点处的导数值求解即可 .
【详解】函数的导数为，
因为切线的斜率就是曲线在该点处的导数值，
所以函数在处的切线斜率（1）．
故选：．
【点睛】本题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数在点处的导数是曲线在点，处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．
10．A
【分析】利用点差法求解.
【详解】解：设以点为中点的弦与椭圆交于，
则，
将代入椭圆方程，
得，
两式相减可得，
∴，
∴以点为中点的弦所在直线方程为，
即.经检验，符合题意，
故选：A．
11．B
【分析】利用导函数图象的正负即可判断原函数的单调性，可得分别是函数的三个极值点，且最小值为中的较小者，无最大值；原函数图象与轴的位置关系无法确定，也不一定过原点，即可得出正确选项.
【详解】根据导函数的函数图象可知，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，，所以函数在上单调递增，
所以，分别是函数的极值点，因此（2）说法正确；
函数的图象可能都在轴上方，其零点个数可能是0个，即（1）说法错误；
图象也不一定过原点，即即（5）错误；
由单调性可知，和都是函数的极小值点，所以都是函数的极小值，
因此函数有最小值，且为中的较小者，无最大值，所以（3）正确，（4）错误；
综上可得，只有（2）（3）说法正确.
故选：B
12．C
【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值．
【详解】依题意，双曲线的离心率为，
则，解得，
所以双曲线方程为，
则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图，
根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即，
又点P为双曲线上支上的动点，则，
过点P作，垂足为Q，过点作，垂足为M，
则，
所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为．
故选：C．
13．
【解析】先将抛物线方程化为标准形式，求出的值，即可求解.
【详解】由得抛物线方程为，所以，
所以抛物线的准线方程是，
故答案为：.
14．
【分析】由导数的概念和求导公式直接计算即可.
【详解】因为，所以在点的斜率，
又因为，所以切线方程为，
化简得.
故答案为：.
15．x＝4或3x+4y＝0
【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，
由题意得，
解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4
此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.
故答案为：x＝4或3x+4y＝0.
16．
【分析】根据已知写出的表达式，由解析式可得，即可求的值.
【详解】由题设，，
所以，
而，
则.
故答案为：
17．(1)
(2)最大值为，最小值为 6
【分析】①对求导，得到单调性进而可得的极小值点，代入即可得的值.
②求出极值点和端点处的函数值，比较大小即可得最大值和最小值.
(1)
解：，
令，解得：或，令，解得，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，．
则，解得．
(2)
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
，，
，，
所以在上的最大值为，最小值为 6．
18．（1），（为参数）；
（2）和．
【分析】（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；
（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.
【详解】（1）由题意，的普通方程为，
所以的参数方程为，（为参数）
（2）[方法一]：直角坐标系方法
①当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，故舍去．
②当切线斜率存在时，设其方程为，即．
故，即，解得．
所以切线方程为或．
两条切线的极坐标方程分别为和．
即和．
[方法二]【最优解】：定义求斜率法
如图所示，过点F作的两条切线，切点分别为A，B．
在中，，又轴，所以两条切线的斜率分别和．
故切线的方程为，，这两条切线的极坐标方程为和．
即和．
【整体点评】（2）
方法一：直角坐标系中直线与圆相切的条件求得切线方程，再转化为极坐标方程，
方法二：直接根据倾斜角求得切线的斜率，得到切线的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程,在本题中巧妙的利用已知圆和点的特殊性求解，计算尤其简洁，为最优解.
19．(1)
(2)列联表见解析，没有90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”
【分析】（1）由题知25周岁以上的工人中日平均生产件数不足60件的工人有人，25周岁以下的工人中日平均生产件数不足60件的工人有人，进而根据古典概型列举求解即可；
（2）根据频率分布直方图完善列联表，进而根据独立性检验的思想求解即可.
【详解】（1）解：由题知，25周岁以上的工人抽取人，其中日平均生产件数不足60件的工人有人，分别记为；
25周岁以下的工人抽取人，其中日平均生产件数不足60件的工人有人，分别记为；
所以，从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，共有共10种情况；
其中，至少抽到一名“25周岁以下组”工人的情况有，共7种，
所以，所求事件的概率为
（2）解：由题知，25周岁以上的工人抽中日平均生产件数不少于80件的工人有人，少于80件的工人有人，
25周岁以下的工人抽中日平均生产件数不少于80件的工人有人，少于80件的工人有人，
所以，有如下列联表：
25周岁以上 25周岁以下 总计
生产技术能手 15 15 30
非生产技术能手 45 25 70
总计 60 40 100
所以，
所以，没有90%的把握认为“生产技术能手与工人所在的年龄组有关”.
20．(1)
(2)2015年至2021年该地区农村居民家庭收入逐年增加，每年大约增加0.5万元；预测该地区2024年农村居民家庭收入为8.3万元
【分析】（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.
（2）根据回归直线方程作出分析以及预测.
(1)
根据表中数据计算得
故所求线性回归方程为
(2)
由（1）知，，故2015年至2021年该地区农村居民家庭收入逐年增加，每年大约增加0.5万元．
将2024年的年份代号代入（1）中的线性回归方程，得
故预测该地区2024年农村居民家庭收入为8.3万元．
21．（1）x2＝4y；（2）存在，定点R(0，－2).
【分析】（1）由|PA|等于点P到直线y＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P的轨迹方程；
（2）由对称性确定点R必在y轴上，再由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R(0，－2).
【详解】（1）由题知，|PA|等于点P到直线y＝－1的距离，故P点的轨迹是以A为焦点，y＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x2＝4y.
（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R，则点R必在y轴上，可设其坐标为(0，r)
此时由∠MRQ＝∠NRQ可得kMR＋kNR＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝0
由题知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋2，与x2＝4y联立得x2－4kx－8＝0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－8
＋＝＋＝2k＋＝2k－＝0
故r＝－2，即存在满足条件的定点R(0，－2).
【点睛】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R必在y轴上，进而设出其坐标.
22．(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，
(2)
【分析】(1)先对函数求导，利用导数判断函数的单调区间；
(2)已知函数在上是减函数，可知知恒成立，利用参数分离法,求的最大值即可求解.
【详解】（1）当时，，
，
所以的单调递减区间是 ，单调递增区间是
（2）由函数在上是减函数，知恒成立，
．
由恒成立可知恒成立，则，
设，则，
由，知，
函数在上递增，在上递减，
∴，∴．
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