陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期中联考热身卷（四）数学试题（含解析）

陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期中联考热身卷（四）数学试题
一、单选题
1．某高中有300名学生参加数学竞赛， 其中有三分之一的学生 成绩不低于100分， 将不低于100分的学生成绩制成频率分布直方图(如图)，分段区间是，现用分层抽样的方法从这300名学生中随机进行抽取，若成绩在之间的抽取5人，那么应从间抽取的人数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．用反证法证明：“实数中至少有一个不大于0”时，反设正确的是（ ）
A．中有一个大于0 B．都不大于0
C．都大于0 D．中有一个不大于0
4．在区间上随机取一个数，则事件“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
6．已知三角形ABC，则“”是“三角形ABC为钝角三角形”的（　　）条件.
A．充分而不必要 B．必要而不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
7．已知直线与直线互相垂直，则（ ）．
A．0 B． C．0或 D．1
8．北京时间2020年11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公里，则此椭圆轨道的离心率约为（ ）
A．0.48 B．0.32 C．0.82 D．0.68
9．函数的图象如图所示，是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的导函数的图像如图所示，那么函数（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在处取得最大值 D．在处取得极大值
12．已知抛物线x2＝16y的焦点为F，双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF1|的最小值为
A．5 B．7 C．9 D．11
二、填空题
13．已知抛物线的准线经过椭圆的焦点，则________．
14．已知函数在点处的切线斜率为7，则实数a的值为___________.
15．求过点且与圆相切的直线方程为______.
16．下列结论中:
①定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数;②若f(2)=f(-2),则函数f(x)不是奇函数;③函数y=x-0.5是(0,1)上的减函数;④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;⑤若x0是二次函数y=f(x)的零点,且m写出上述所有正确结论的序号:_____.
三、解答题
17．已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若函数在上单调递增，求a的取值范围.
18．已知圆M过点.
（1）求圆M的标准方程；
（2）若过点且斜率为k的直线l与圆M相切，求k的值.
19．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校高一年级组织2000名学生进行了航天知识竞赛并进行纪录（满分：100分）根据得分将数据分成7组：[20，30），[30，40），..，[80，90]，绘制出如下的频率分布直方图
(1)用频率估计概率，从该校随机抽取2名同学，求其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率；
(2)从得分在的学生中利用分层抽样选出8名学生，若从中选出3人参加有关航天知识演讲活动，求选出的3人竞赛得分不低于70分的人数的分布列及数学期望.
20．为了培养孩子的终身锻炼习惯，小明与小红的父亲与他们约定周一到周日每天的锻炼时间不能比前一天少．为了监督两人锻炼的情况，父亲记录了他们某周内每天的锻炼时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的锻炼时间a忘了记录，但知道，．
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
序号x 1 2 3 4 5 6 7
小明的锻炼时间y/min 16 20 20 25 30 36 a
小红的锻炼时间z/min 16 22 25 26 32 35 35
(1)求这一周内小明锻炼的总时间不少于小红锻炼的总时间的概率；
(2)根据小明这一周前6天的锻炼时间，求其锻炼时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日锻炼时间a的值．
参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
，
参考数据：；．
21．已知曲线上任意一点到点的距离比它到直线的距离大1.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，求证：.
22．已知函数是R上的奇函数，当时，取得极值.
(1)求的单调区间和极大值；
(2)证明：对任意，不等式恒成立.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】由频率分布直方图求出样本中成绩在之间的人数，再求出分层抽样的抽样比，由此可求从间抽取的人数.
【详解】在之间的学生人数为人，
在之间的学生人数为 100人，
在之间的学生人数 为50人，
又用分层抽样的方法在之间的50名学生中抽取5人，即抽取比例为，
所以成绩在间的学生中抽取的人数应为人.
故选：B.
2．C
【分析】由已知得，根据递推式反复代入计算即可.
【详解】由得，
.
故选：C.
3．C
【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“都大于0”，从而得出结论．
【详解】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，
而命题：“实数中至少有一个不大于0”的否定为“都大于0”，
故选：．
【点睛】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．
4．A
【分析】根据余弦函数的性质解不等式，再结合几何概型求解即可.
【详解】解：因为，所以，
故所求概率.
故选：A.
5．C
【分析】利用导数求得的单调递减区间.
【详解】的定义域为，
，
所以在区间上递减.
故选：C
6．A
【分析】利用同角的三角函数的基本关系式、正余弦定理可判断两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项.
【详解】因为，故，
故，故，
故，而为三角形内角，故为钝角，
但若三角形ABC为钝角三角形，比如取，
此时，故不成立，
故选：A.
7．C
【分析】由两直线垂直可得，即可求出答案.
【详解】由直线与直线互相垂直，则或.
故选：C.
8．D
【分析】根据题意直接求解出椭圆的实半轴长和半焦距，进而求解.
【详解】由题意可知椭圆实轴长，所以，
焦距，所以，
所以椭圆的离心率，
故选：D.
9．A
【分析】结合导数的几何意义确定正确选项.
【详解】，表示两点连线的斜率，
表示在处切线的斜率；表示在处切线的斜率；
根据图象可知，.
故选：A
10．D
【分析】利用点差法可求得的值，结合可求得、的值，由此可得出椭圆的方程.
【详解】设点、，则，两个等式作差得，
整理可得，
设线段的中点为，即，
另一方面，，所以，，
所以，，解得，
因此，椭圆的方程为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.S
11．D
【分析】根据给定的函数图象，判断为正或负的x取值区间，再逐项判断作答.
【详解】由函数的导函数的图像知，当或时，，
当时，，当且仅当时取等号，
因此函数在，上单调递减，在上单调递增，选项A，B不正确；
在处取得极小值，在处取得极大值，有，C不正确，D正确.
故选：D
12．C
【分析】由题意并结合双曲线的定义可得，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值．
【详解】由题意得抛物线的焦点为，双曲线的左、右焦点分别为．
∵点是双曲线右支上一点，
∴．
∴，当且仅当三点共线时等号成立，
∴的最小值为9．
故选C．
【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．
13．
【分析】先根据抛物线的方程求得准线方程，根据椭圆的方程求得焦点，代入抛物线的准线方程求得b．
【详解】解：依题意可得抛物线的准线为，又因为椭圆焦点为
所以有．即b2＝3故b．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质，椭圆的标准方程．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握．
14．1
【分析】求导数，代入切点可得答案.
【详解】因为，所以由题意得，解得.
故答案为：1
15．x＝4或3x+4y＝0
【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，
由题意得，
解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4
此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.
故答案为：x＝4或3x+4y＝0.
16．①③.
【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】①符合增函数定义,正确;
②不正确,如f(x)=0,x∈R是奇函数;
③正确,如图所示，画出函数图像草图可判断函数的单调性;
④对应法则和值域相同的函数定义域不一定相同，如和;
⑤对于二次函数，是函数的零点，，而不成立，题中的说法错误.
综上可得，所有正确结论的序号是①③.
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，函数的定义域、值域，二次函数的性质，幂函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．(1)极小值，无极大值
(2)
【分析】（1）先求出导函数，令导函数为零，然后列表判断函数的极值即可，
（2）先求出导函数，然后分和求解函数的单调区间，再根据函数在上单调递增，可求得结果
(1)
当时，，则，
令，得，
，和的变化情况如下表
3
0
递减 极小值 递增
所以当时，取得极小值，无极大值
(2)
由（），得（），
当时，，所以在上单调递增，所以在上单调递增，
当时，由，得，
，和的变化情况如下表
0
递减 极小值 递增
因为在上单调递增，
所以，得，
综上，a的取值范围为
18．（1）；（2）0或
【解析】（1）设出圆的方程，代入三点即可求出方程；
（2）设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径即可得出.
【详解】（1）设圆M的标准方程为，
则，解得，
圆M的标准方程为；
（2）可得直线l的方程为，即，
直线l与圆M相切，
圆心到直线的距离，解得或.
19．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由频率分布直方图计算概率；
（2）频率分布直方图由求出人数，得的可能值是，可得，由超几何分布概率公式计算出概率后得分布列，由期望公式计算出期望．
【详解】（1）每名学生得分低于70分的概率为：，不低于80分的概率：.
故其中1人得分低于70分，另1人得分不低于80分的概率为：.
（2）由频率分布直方图可得8人中，的人数有2人，的人数有6人，
所以，的可能取值为，，
.
分布列为
1 2 3
故.
20．(1)
(2)；38 min
【分析】（1）根据古典概型的概率公式可求出结果；
（2）根据公式求出和可得线性回归方程，再代入可的结果.
(1)
因为且，所以a的取值共有25种情况，
又当小明锻炼的总时间不少于小红时，有，
即，得，
所以小明锻炼的总时间不少于小红时，a的取值共有17情况，
所以这一周内小明锻炼的总时间不少于小红的概率为．
(2)
由题设可知，
，，
所以，，
所以y关于序号x的线性回归方程为．
当时， min，
估计小明周日锻炼时间a的值为38 min．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设动点，根据动点到点的距离比它到直线的距离大，可得动点到点的距离等于它到直线的距离，由此建立方程，即可求得曲线的方程；
（2）设、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得证.
【详解】（1）设动点，动点到点的距离比它到直线的距离大，
即动点到点的距离等于它到直线的距离，
，两边平方，
化简可得.
（2）设、，由，消去得，
则，所以，，
所以，
所以，即.
22．(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是和，
(2)见解析
【分析】（1）根据函数的奇偶性求解d的值，进而根据函数的极值得到关于a，c的方程组，解方程组得到a，c的值，从而得到函数的解析式，对函数求导，根据导函数的符号得到函数单调性和极大值.
（2）根据（1）中的结论得到函数在闭区间上的单调性，从而得到函数在闭区间上的最大值和最小值，作差并取绝对值证明结论.
【详解】（1）（1）由奇函数的定义，应有R，
即.
因此，，
由条件为的极值，得，
即，
解得，
，
令，则有，
列表如下：
x 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表知：函数的单调递减区间是，单调递增区间是和，
.
（2）证明：由（1）知，的单调递减区间是，
在是减函数，
且在上的最大值为，
在上的最小值为，
对任意，
恒有.
答案第1页，共2页
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