陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期中联考热身卷（一）数学试题（含解析）

陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期中联考热身卷（一）数学试题
一、单选题
1．某校1000名学生中，型血有400人，型血有250人，B型血有250人，型血有100人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则型血、型血、型血、型血的人要分别抽的人数为（ ）
A．16、10、10、4 B．14、10、10、6
C．13、12、12、3 D．15、8、8、9
2．已知数列满足，，则（ ）
A．0.5 B．2 C．-0.5 D．1.5
3．用反证法证明“自然数中至多有一个偶数”时，假设正确的是（ ）
A．中至少有两个偶数 B．中恰好有一个偶数
C．中至少有一个偶数 D．中没有偶数
4．若从区间内，任意选取一个实数a，则曲线在点处的切线的倾斜角大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的单调递增区间为
A． B．
C．和 D．
6．“”是“对任意的正数，恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．点（2，4）关于直线x﹣2y+1＝0对称的点的坐标为（ ）
A．（4，0） B．（3，2） C．（2，1） D．（﹣1，﹣1）
8．已知命题：若直线的方向向量与平面的法向量平行，则，命题：椭圆的离心率大于1，则（ ）
A．为真命题 B．为假命题
C．为真命题 D．为真命题
9．曲线在处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为
A． B． C． D．
11．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．－1是的极小值点 B．曲线在处的切线斜率小于零
C．在区间上单调递减 D．－3是的极小值点
12．已知双曲线（，）的右焦点为，P为双曲线左支上的动点，设点且的周长最小值为16，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知抛物线的方程，则该抛物线的准线方程是__________．
14．已知，则曲线在点处的切线方程为______．
15．求过点且与圆相切的直线方程为______.
16．下列结论中:
①定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数;②若f(2)=f(-2),则函数f(x)不是奇函数;③函数y=x-0.5是(0,1)上的减函数;④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;⑤若x0是二次函数y=f(x)的零点,且m写出上述所有正确结论的序号:_____.
三、解答题
17．已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)若函数在上单调递增，求a的取值范围.
18．已知圆，直线．
(1)求圆的圆心坐标和半径；
(2)若直线与圆相切，求实数的值．
19．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP，某市宣传部门为了解全民利用“学习强国”了解国家动态的情况，从全市抽取2000名人员进行调查，统计他们每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
(1)根据上图，求所有被抽查人员利用“学习强国”的平均时长和中位数；
(2)宣传部为了了解大家利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从和组中抽取50人了解情况，则两组各抽取多少人？再利用分层抽样从抽取的50人中选5人参加一个座谈会，现从参加座谈会的5人中随机抽取两人发言，求小组中至少有1人发言的概率？
20．某中学学生会为了激发学生们对中国古典文学的爱好，提升古典文学素养，在暑假开学返校后的第一个月组织了一个古典文学研究协会，在接下来的四个月内，该协会的会员人数如表：
月份 第一个月 第二个月 第三个月 第四个月 第五个月
会员人数
(1)求会员人数与时间变量记第一个月为，第二个月为，，以此类推的线性回归方程；
(2)根据（1）中所求的线性回归方程，预测个月后，会员人数能否突破人．
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；．
21．曲线上任意一点到定点的距离比到直线的距离大2.
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率为1的直线与曲线交于A、B两点，为坐标原点，求的面积.
22．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数.
【详解】根据分层抽样的特点可知，型血的人要抽取的人数为，
型血的人要抽取的人数为，
型血的人要抽取的人数为，
型血的人要抽取的人数为，
故选：A.
2．A
【分析】根据数列的递推公式，可知数列是以3为周期的周期数列，即可得出答案.
【详解】解：因为，，
所以，
，
，
，
所以数列是以3为周期的周期数列，
所以.
故选：A.
3．A
【分析】至多有一个的反面是至少有两个.
【详解】由反证法定义知，自然数中至多有一个偶数的否定为自然数中至少有两个偶数.
故选：A.
【点睛】本题考查反证法定义以及命题的否定，要注意至多有一个的反面是至少有两个，是一道基础题.
4．B
【分析】先利用导数求得曲线在点处的切线的倾斜角大于对应的实数a的取值范围，再利用几何概型就求得其对应的概率.
【详解】因为，所以当时，．
若曲线在点处的切线的倾斜角大于，
则或，解得或．
由几何概型可知曲线在点处的切线的倾斜角大于的概率为．
故选：B
5．A
【详解】试题分析：函数定义域为，的解集为，所以增区间为
考点：函数导数与单调性
6．A
【分析】本题通过分离参数转化为，最后利用二次函数配方得到其最大值，即得到的范围.
【详解】，对任意正数恒成立，，
令，，，所以，
是其充分不必要条件.
故选：A.
7．A
【分析】对称点与该点的连线垂直于对称轴得到斜率，结合中点在对称轴上即可.
【详解】设对称点为(s，t)，则 ①，（对称点与该点的连线垂直于对称轴）
对称点与该点所成线段的中点为（，）在直线x﹣2y+1＝0上，
∴﹣2×+1＝0②，
联立①②解出对称点为（4，0）.
故选：A.
8．C
【分析】根据题意得到命题为真命题，命题为假命题，结合选项和复合命题的真假判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，当直线的方向向量与平面的法向量平行，可得，
所以命题：是真命题，则为假命题；
又由椭圆的离心率的取值范围为，所以命题为假命题，则为真命题，
根据复合命题的真假判定方法，可得命题为假命题，为真命题，为真命题，为假命题.
故选：C.
9．B
【分析】求出导函数，即可得到结果.
【详解】∵，∴
∴，
∴曲线在处的切线的倾斜角是，
故选：B
10．C
【详解】设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，
代入椭圆得，
两式相减得，
即，
即，又
即，
即，
∴弦所在的直线的斜率为，
故选C.
11．B
【分析】结合导函数的图像得出函数的单调性，结合极值点的定义即可判断ACD选项，根据导数的定义和几何意义即可判断B.
【详解】结合导函数图像可知当或时，，单调递增，
当时，单调递减，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，C错误；
所以是的极大值点，是的极小值点，不存在其他极值点，AD错误；
又因为，所以在处切线斜率小于零，B正确；
故选：B
12．A
【分析】根据双曲线定义找到的周长取最小值时的P的位置，根据周长计算出，即可求出渐近线方程.
【详解】如图所示，取双曲线左焦点，的周长，
由双曲线定义易知，，
则，
由图知，当三点共线时，最小，
又，
故，
解得，又，
则，双曲线渐近线方程为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：根据双曲线定义找到三角形周长取最小值的点，从而解得圆锥曲线参数.
13．
【分析】利用抛物线的标准方程，求出p，可求抛物线的准线方程．
【详解】xy2，焦点在x轴上，且9，∴抛物线的准线方程是x＝﹣9，
故答案为x＝﹣9．
【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
14．/
【分析】求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】因为，则，，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
15．x＝4或3x+4y＝0
【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，
由题意得，
解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4
此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.
故答案为：x＝4或3x+4y＝0.
16．①③.
【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.
【详解】①符合增函数定义,正确;
②不正确,如f(x)=0,x∈R是奇函数;
③正确,如图所示，画出函数图像草图可判断函数的单调性;
④对应法则和值域相同的函数定义域不一定相同，如和;
⑤对于二次函数，是函数的零点，，而不成立，题中的说法错误.
综上可得，所有正确结论的序号是①③.
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，函数的定义域、值域，二次函数的性质，幂函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17．(1)极小值，无极大值
(2)
【分析】（1）先求出导函数，令导函数为零，然后列表判断函数的极值即可，
（2）先求出导函数，然后分和求解函数的单调区间，再根据函数在上单调递增，可求得结果
(1)
当时，，则，
令，得，
，和的变化情况如下表
3
0
递减 极小值 递增
所以当时，取得极小值，无极大值
(2)
由（），得（），
当时，，所以在上单调递增，所以在上单调递增，
当时，由，得，
，和的变化情况如下表
0
递减 极小值 递增
因为在上单调递增，
所以，得，
综上，a的取值范围为
18．(1)圆心的坐标为，半径为2．
(2)
【分析】（1）通过配方将圆的方程化为标准形式，即可得圆心和半径；
（2）通过圆心到直线的距离等于半径列出方程解出即可.
【详解】（1）圆，
圆的标准方程为．
圆的圆心的坐标为，半径为2．
（2）直线与圆相切，
圆心到直线的距离，解得．
实数的值为．
19．(1)平均时长为6.8，中位数为
(2)
【分析】（1）根据平均数和中位数的计算方法计算即可；
（2）先利用分层抽样求出个区间的人数，然后再利用古典概型即可得解.
【详解】（1）解：平均时长为，
因为，
所以中位数位于区间中，设为，
则，解得，
即中位数为；
（2）解：选取的5人中有人，
有人，
则小组中至少有1人发言的概率为.
20．(1)
(2)不能突破人
【分析】由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；
代入即可求出的值，即可作出判断．
【详解】（1）由题意可得，，，
，，
，
，
；
（2）根据中所求的线性回归方程，将代入该回归方程中，得，
即预测个月后，会员人数不能突破人．
21．（1）；（2）.
【解析】（1）把已知条件转为曲线上任意一点到定点的距离等于到直线的距离相等，根据抛物线的定义，即可求出曲线的方程；
（2）求出过点且斜率为1的直线方程，与抛物线方程联立，消元，得到一元二次方程，结合韦达定理，即可求出结论.
【详解】（1）曲线上任意一点到定点的距离比到直线的距离大2.
则曲线上任意一点到定点的距离等于到直线的距离，
曲线的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，
其方程为；
（2）过点且斜率为1的直线方程为，
联立，消去，得，
设，
.
【点睛】本题考查抛物线的定义求方程，考查抛物线与直线的位置关系，以及相交弦有关的面积问题，属于中等题.
22．(1)
(2)的单调的单调增区间为；单调减区间为
【分析】(1)求出函数的导数，计算，的值，利用直线的点斜式方程求出切线方程即可；
(2)求出函数的导数，令、，即可求出函数的单调区间.
(1)
函数的定义域为，
∵，
∴，所求的切线斜率为-1，
又，所以切点为
故所求切线方程为，即；
(2)
函数的定义域为，
则，
令得，令得.
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
答案第1页，共2页
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