陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期中联考热身卷（三）数学试题（含解析）

陕西省汉中市2022-2023学年高二下学期期中联考热身卷（三）数学试题
一、单选题
1．某校有教师150人，后勤工作人员20人，高中生1200人，初中生1800人，现要了解该校全体人员对学校的某项规定的看法，抽取一个容量为317的样本进行调查，设计一个合适的抽样方案，你会在初中生中抽取（ ）
A．120人 B．180人 C．200人 D．317人
2．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有甲、乙两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在这星期一选甲种菜的，下星期一会有改选乙种菜；而选乙种菜的，下星期一会有改选甲种菜.用，分别表示在第个星期一选甲的人数和选乙的人数，如果，则（ ）
A．200 B．300 C．380 D．400
3．用反证法证明：“实数中至少有一个不大于0”时，反设正确的是（ ）
A．中有一个大于0 B．都不大于0
C．都大于0 D．中有一个不大于0
4．已知函数，在上任取一个实数x，使得的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．函数f(x)＝ex－ex，x∈的单调递增区间是（ ）
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
6．“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．“”是“直线和直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．如图，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．曲线在处的切线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆：的右焦点为，且离心率为，三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 的中点分别为 ，且三条边所在直线的斜率分别为 ，且 均不为0.为坐标原点，若直线 的斜率之和为1.则（ ）
A． B．-3 C． D．
11．设是函数f（x）的导函数，若函数f（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．当或时，
C．当或时， D．函数f（x）在处取得极小值
12．已知双曲线 的左、右焦点分别为，其一条渐近线为，直 线过点且与双曲线的右支交于两点，分别为和的内 心 ，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．抛物线的焦点坐标是_______________.
14．已知函数，则曲线在x＝1处的切线方程为___________.
15．求过点且与圆相切的直线方程为______.
16．已知函数（且）有下列四个结论．
①恒过定点；
②是奇函数；
③当时，的解集为；
④若，，那么．
其中正确的结论是__________（请将所有正确结论的序号都填在横线上）．
三、解答题
17．已知函数.
(1)若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的极值；
(2)若函数f（x）是R上的单调递增函数，求实数a的取值范围.
18．已知过点且斜率为k的直线与圆：交于M，N两点.
(1)求k的取值范围；
(2)，其中O为坐标原点，求.
19．某社区为庆祝中国共产党成立100周年，举办一系列活动，通过调查得知其中参加文艺活动与体育活动的居民人数如下表：
男性 女性 合计
文艺活动 15 30
体育活动 20 10
合计
(1)补全上表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为参加活动类型与性别有关？
(2)在参加活动的男性居民中，用分层抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人来自参加文艺活动和体育活动各一人的概率．
附：
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中．
20．为了培养孩子的终身锻炼习惯，小明与小红的父亲与他们约定周一到周日每天的锻炼时间不能比前一天少．为了监督两人锻炼的情况，父亲记录了他们某周内每天的锻炼时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的锻炼时间a忘了记录，但知道，．
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
序号x 1 2 3 4 5 6 7
小明的锻炼时间y/min 16 20 20 25 30 36 a
小红的锻炼时间z/min 16 22 25 26 32 35 35
(1)求这一周内小明锻炼的总时间不少于小红锻炼的总时间的概率；
(2)根据小明这一周前6天的锻炼时间，求其锻炼时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日锻炼时间a的值．
参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
，
参考数据：；．
21．曲线上任意一点到定点的距离比到直线的距离大2.
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率为1的直线与曲线交于A、B两点，为坐标原点，求的面积.
22．已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据分层抽样计算即可得解.
【详解】由题意，所选人员类型不同，应该选用分层抽样选取样本，
故初中生应抽取（人），
故选：B
2．B
【分析】由题意可得数列递推公式为，，两式联立消去，得到的递推公式，由可求得，从而可知的值
【详解】解：由题意可得，
消去，得，
由，得，从而可得，
故选：B
3．C
【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而要证明题的否定为：“都大于0”，从而得出结论．
【详解】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，
而命题：“实数中至少有一个不大于0”的否定为“都大于0”，
故选：．
【点睛】本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．
4．A
【分析】先根据指数函数的单调性解不等式，再利用几何概型的概率公式即可得解.
【详解】由，得，则所求概率.
故选：A.
5．D
【分析】求得，令，即可求得单调增区间.
【详解】由题意知，f′(x)＝ex－e，
令f′(x)>0，解得x>1，
故的单调增区间为.
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，属简单题.
6．A
【分析】求出在上恒成立时的取值范围，结合充分条件和必要条件即可得出答案.
【详解】在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
，所以.
因为，而推不出，
所以“”是“在上恒成立”的充分而不必要条件.
故选：A.
7．A
【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为“直线和直线垂直，
所以或.
当时，直线和直线垂直；
当直线和直线垂直时，不一定成立.
所以是直线和直线垂直的充分不必要条件，
故选：A．
8．B
【分析】根据正三角形可得及点坐标，将点代入椭圆方程，可得，，进而可得离心率.
【详解】
由于是面积为的正三角形，
过点作轴于，则为的中点，
所以，，
所以，解得，
所以，
将点的坐标代入椭圆方程，得，
即，
解得，，
，
，
故选：B．
9．B
【分析】求出导函数，即可得到结果.
【详解】∵，∴
∴，
∴曲线在处的切线的倾斜角是，
故选：B
10．A
【解析】根据椭圆的右焦点为，且离心率为，求出椭圆方程，由三角形的三个顶点都在椭圆上，利用点差法求解.
【详解】因为椭圆的右焦点为，且离心率为，
所以，解得 ，
所以椭圆方程为：，
设 ，
则，
两式相减得：，
即，
同理，
又直线 的斜率之和为1，
所以，
故选：A
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
11．D
【分析】根据导数的正负与函数的增减以及极值点的定义判断.
【详解】A.由图象知：当时，函数f（x）递增，所以，故正确；
B.由图象知：当或时，函数f（x）递增，所以，故正确；
C.由图象知：当或时，函数f（x）分别取得极小值和极大值，故正确；
D.由图象知：函数f（x）在处取得极大值，故错误；
故选：D
12．D
【分析】如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，利用双曲线的定义，得到，的横坐标，设直线的倾斜角为，得到，进而利用锐角三角函数，得到，最后求出，再利用对勾函数的性质得到的取值范围
【详解】
设焦距为 ，由题可知，故，如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，易得. 因为，所以，又，得，所以点横坐标为，同理可得点横坐标也为. 设直线的倾斜角为，易得，则，所以，故，因为，由对勾函数性质可得.
故选： D.
13．
【分析】根据抛物线的标准方程求出，即可求出焦点坐标.
【详解】由已知条件得，，即，故抛物线的焦点坐标为.
故答案为：.
14．
【分析】根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求解.
【详解】，
故在(1，1)处的切线的方程为：，即.
故答案为：.
15．x＝4或3x+4y＝0
【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，
由题意得，
解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4
此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.
故答案为：x＝4或3x+4y＝0.
16．①②④
【详解】（）恒过定点（0，0）
（2）∵，，
∴是奇函数；
（3）当时，
（4）∵，，
∴，
，
故．
所以正确的结论是①②④
点睛: 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断与是否具有等量关系．
在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式＋＝0(奇函数)或－＝0(偶函数)是否成立．
17．(1)极大值为，极小值为
(2)
【分析】（1）由求得，由此求得的极值.
（2）由，结合判别式来求得的取值范围.
（1）
，
，
所以在区间递增；
在区间递减.
所以的极大值为，极小值为.
（2）
依题意在上恒成立，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求过点与圆的切线斜率，由题意，可得答案；
（2）将直线方程与圆的方程联立，整理一元二次方程，写出韦达定理，利用数量积的值，建立方程，解得斜率，可得答案.
【详解】（1）根据题意设方程为，即.
∵圆的半径，
∴圆心到切线的距离为，解得.
即k的取值范围为.
（2）将直线的方程代入圆的方程，得.
设，，则
，.
∴.
∴，解得或（舍去）.
∴直线的方程为.
故圆心在直线上，∴.
19．(1)列联表见解析，可以认为参加活动类型与性别有关
(2)
【分析】（1）根据表中所给的数据补全列联表，并根据公式作卡方计算；
（2）按照分层抽样的规则抽取人数，再利用计数原理求概率.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
男生 女生 合计
文艺活动 15 30 45
体育活动 20 10 30
合计 35 40 75
，
所以在犯错的概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动类型与性别有关；
（2）因为男性居民中参加文艺活动的15名，参加体育的有20名，用分层抽样方法抽取7人，则抽取的比例为： ，所以参加文艺活动的应抽取 人，参加体育活动的应抽取 人，
从这7人中随机选取2人，其中1人来自文艺活动，1人来自体育活动的方式有种 ， 故所求概率；
综上，在犯错的概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动类型与性别有关；接受采访的2人来自文艺活动和体育活动各1人的概率为 .
20．(1)
(2)；38 min
【分析】（1）根据古典概型的概率公式可求出结果；
（2）根据公式求出和可得线性回归方程，再代入可的结果.
(1)
因为且，所以a的取值共有25种情况，
又当小明锻炼的总时间不少于小红时，有，
即，得，
所以小明锻炼的总时间不少于小红时，a的取值共有17情况，
所以这一周内小明锻炼的总时间不少于小红的概率为．
(2)
由题设可知，
，，
所以，，
所以y关于序号x的线性回归方程为．
当时， min，
估计小明周日锻炼时间a的值为38 min．
21．（1）；（2）.
【解析】（1）把已知条件转为曲线上任意一点到定点的距离等于到直线的距离相等，根据抛物线的定义，即可求出曲线的方程；
（2）求出过点且斜率为1的直线方程，与抛物线方程联立，消元，得到一元二次方程，结合韦达定理，即可求出结论.
【详解】（1）曲线上任意一点到定点的距离比到直线的距离大2.
则曲线上任意一点到定点的距离等于到直线的距离，
曲线的轨迹就是以为焦点，为准线的抛物线，
其方程为；
（2）过点且斜率为1的直线方程为，
联立，消去，得，
设，
.
【点睛】本题考查抛物线的定义求方程，考查抛物线与直线的位置关系，以及相交弦有关的面积问题，属于中等题.
22．(1)的极大值为，无极小值
(2)
【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性即可求极值；
(2)利用导数讨论单调性求出函数的最小值即可求的取值范围.
【详解】（1），
令，解得：，令，解得：，
故在上递增，在上递减，
∴的极大值为，无极小值.
（2）若对任意，都有成立，
则对任意恒成立，
令，则，
令，，则，
∴在上递增，即，∴在上恒成立，
∴在上递增，故，故，即的取值范围是.
答案第1页，共2页
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