江西省宜丰县中2022-2023学年高二下学期4月期中考试数学试题（含答案）

宜丰县中2022-2023学年高二下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题（40分）
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列中，若，，则的公差为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．已知等比数列中，，则（ ）
A．8 B．14 C．128 D．256
4．设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则 （ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
6．不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C． D．a＞2
7．若函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
8．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（20分）
9．已知正实数，满足，下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．的最小值为
10．已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（ ）
A．的对称中心为
B．的对称轴为直线
C．
D．不等式的解集为
11．已知等差数列的前n项和为，满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的前10项和为
12．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（20分）
13．函数在区间上的值域是______.
14．已知函数的导函数为，且，则______．
15．若，且，则的最大值为________.
16．已知数列满足，，，则数列的前30项和为 _______.
四、解答题（70分）
17．求解下列不等式的解集：
(1)； (2).
18．设函数，已知的解集为.
(1)求，的值；
(2)若函数在区间上的最小值为，求实数的值.
19．已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
20．已知数列满足
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求的前项和
21．如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中直径长为和两点在半圆弧上，满足.设.
(1)现要在景区内铺设一条观光道路，由线段和组成，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求的最大值；
(2)若要在景区内种植鲜花，其中在和内种满鲜花，在扇形内种一半面积的鲜花，则当为何值时，鲜花种植面积最大？
22．在如图所示的平面四边形中，的面积是面积的两倍，又数列满足，当时，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
宜丰县中2022-2023学年高二下学期4月期中考试
数学参考答案：
1．D 2．B 3．C 4．B 5．A
6．D【详解】不等式（）恒成立，显然不成立，
故应满足 ，解得，所以不等式（）恒成立的充要条件是，A、C选项不能推出，B选项是它的充要条件，可以推出，但反之不成立，故是的充分不必要条件.故选：D
7．A【详解】由图象知，的两根为2，4，且过点，
所以，解得，所以，
所以，故选：A
8．B【详解】解：构造，则在上显然递增，由得，即，，，令，则，由得，递增，由得，递减，，．故选：B．
9．BCD【详解】对于A,因为，即，解得，
又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A错误；
对于B，，即，解得（舍），
当且仅当时取得等号，故B正确；对于C,由题可得所以，解得，，
当且仅当即时取得等号，故C正确；对于D,
，当且仅当时取得等号，故D正确，故选:BCD.
10．BCD【详解】因为为偶函数，所以，所以图象关于直线对称，故A错误，B正确；又在上单调递增，所以在上单调递减，
所以，故C正确；由不等式结合的对称性及单调性，得，即，即，解得或，
所以不等式的解集为，故D正确，故选：BCD．
11．BCD【详解】根据等差中项，，解得，，解得，设等差数列的公差为，则，于是等差数列的通项公式为：，故A选项错误；
根据等差数列前n项和公式，，B选项正确；
根据B选项可知，，最大值在取得，故C选项正确；
，故的前10项和为：，D选项正确.故选：BCD
12．BCD【详解】对于A中，令，可得，当时，，单调递减，所以，即，所以，所以A不正确；对于B中，令，可得，当时，，单调递增，
所以，可得，即，即，所以B正确；
对于C中，令，可得，令，则，
当时，，则单调递减，所以，则在恒成立，所以函数单调递减，所以，即，所以，所以C正确；又，即，可得，即，所以D正确.故选：BCD.
13．
14．
15．【详解】由，且可得，
则，当且仅当，结合，即时取等号，即的最大值为，故答案为：
16．465【详解】当为奇数时，，是首项为1，公差为1的等差数列；
当为偶数时，，是首项为2，公差为3的等差数列；故答案为：465
17．(1) (2)
18．(1) (2)（1）由已知的解集为，则方程的根为，由韦达定理得，；
（2）由（1）得函数，由于开口向上的二次函数的最小值只能在区间端点或者对称轴处取到，若，即，不符，舍去；若，即，得，此时，对称轴为，故函数应该在时取到最小值，不符，舍去；若，即，得或 当时，，对称轴为，不符合在对称轴处取到最小值，舍去；当时，，对称轴，符合在对称轴处取到最小值.综合得.
19．(1) (2)或或.
【详解】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以时，则，即，解得或；
当时，
若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
20．(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）因为，所以，又，
所以，∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）知，，∴，∵，∴，
∴
令
两式相减，所以所以，又，∴
21．（1）取BC的中点M，AD的中点N，连接OM，ON，由垂径定理可得：OM⊥BC，ON⊥AD，
由题意得：，
，故，
则，
因为，所以，，
故当，即时，取得最大值，最大值为5；
（2），
，扇形COD的面积，
故，
则，
因为，所以，故当时，时，，当时，，故时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得极大值，也是最大值，故当时，鲜花种植面积最大.
22．（1）如图所示，过A作，垂足为，过作，垂足为，连接，交于点，由题意可得：，则，且，则，
可得：，∵三点共线，则，可得，则，，整理得：，即
故数列是以首项，公差为2的等差数列，则.
（2）由（1）可得：当时，则；
当时，可得，
则；综上所述：.答案第1页，共2页