广东省东莞市第四高级中学2022-2023学年高一下学期数学第11次测试（Word版含答案）

东莞市第四高级中学2022-2023学年高一下学期数学第11次测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数满足是虚数单位,则（ ）
A．1 B． C． D．2
2．如果与是一组基底，则下列不能作为基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．在中， ，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，
A．9 B． C． D．
5．已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能
6．在中，、、，分别为的内角、、的对边，、、.则（ ）
A． B．
C．或 D．
7．已知平面向量，满足，，其中，为不共线的单位向量.若对符合上述条件的任意向量，恒有，则，夹角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足若,，则的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
二、多选题
9．(多选)下列关于长方体的叙述中正确的是( )
A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体
B．长方体中相对的面互相平行
C．长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离
D．长方体中两相对面之间的棱互相平行且等长
10．已知中，是边的中点，动点满足，则（ ）
A．的值可以等于2
B．的值可以等于2
C．的值可以等于
D．的值可以等于3
11．下列命题正确的有（ ）
A．复数满足，则的虚部为
B．若为复数，则
C．若，且，则的取值范围是
D．已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
12．下列选项中哪些是正确的（ ）
A．在任意三角形中恒成立
B．在中，角所对的边长分别为，若，则，反之也成立.
C．已知向量，则在上的投影向量为
D．
三、填空题
13．如图，三棱柱中，底面，，是上一动点，则的最小值是_______．
14．复数z满足条件∣z+i∣+∣z-i∣=2， 则∣z +i-1∣的最大值为______
15．在中，分别是角的对边，已知成等比数列，且，则的值为________.
16．在中，，D为BC上一点，E为AD上一点，F为EC上一点，且，，，，则____________．
四、解答题
17．已知复数（是虚数单位），.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围.
18．已知平面向量，且与共线.
（1）求的值；
（2）与垂直，求实数的值.
19．如图①是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r分米的半圆，及矩形ABCD组成，其中AD的长为a分米，如图②所示．为了美观，要求r≤a≤2r．已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分(箱体)的制作费用为每平方分米1百元，上半部分(箱盖)制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y百元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)当r为何值时，该首饰盒的制作费用最低？
20．在△中，，其中，，分别为角所对的边长．
（1）求证：；
（2）若，且为钝角，求．
21．设A，B，C是△ABC的三个内角，△ABC的外心为O，内心为I．
(1)如图1，若，．
①试用，表示；
②求的值．
(2)如图2，时，与共线．
①求证：；
②求的值．
22．在中，角，，所对的边分别为，，.且满足，，且.
(1)若，求外接圆半径；
(2)若设边上的角平分线长为2，求的面积的最小值.
参考答案：
1．C
2．C
3．A
4．B
5．C
6．D
7．B
8．B
10．AD
11．AD
【分析】直接利用复数的几何意义，复数的定义，复数的运算判断A，B，C，D的结论．
【详解】对于A：复数满足，即，则的虚部为，故A正确；
对于B：若为复数，设，则，，故B错误；
对于C：若，且，整理得：，
设，整理得，利用圆心到直线的距离，
整理得：，故C错误；
对于D：知复数满足，则复数表示为或两点的垂直平分线，故D正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查了复数的几何意义，复数的定义，复数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12．BC
【分析】A应用三角恒等变换化简证恒成立，注意均不能为直角；B由判断；C根据投影向量的定义求在上的投影向量；D应用和角正弦公式化简分子即可.
【详解】A：由
，
显然，均不能为直角，对斜三角形成立，错误；
B：由正弦定理知，故，则，反之也成立，正确；
C：在上的投影向量为，正确；
D：由，
所以，错误.
故选：BC
13．
14．
15．
【分析】利用成等比数列得到，再利用余弦定理可得，而根据正弦定理和成等比数列有，从而得到所求之值.
【详解】∵成等比数列，∴.又∵，∴.
在中，由余弦定理 ，
因，∴.
由正弦定理得，
因为， 所以 ，
故.
故答案为 .
【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
16．
【分析】先利用表达，利用数量积为0得到，设，利用余弦定理求出，作出辅助线，设出，平方后求出，得到F为EC上靠近点E的三等分点，求出，得到答案.
【详解】设，
，，
则
，
解得：或（舍去），
所以，即，
，故，
在三角形中，，
解得：，，
在三角形中，，
取中点为，因为，所以，
设，
且，所以，
即，两边平方得：
，
即，
整理得：，
即，解得：，
，所以M为FC的中点，F为EC上靠近点E的三等分点，
所以，
所以，故.
故答案为：
【点睛】本题解题关键在于作出辅助线，利用数量积为0先得到，再结合余弦定理和数量积运算法则求出，难度大，综合性强.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）化简复数，令实部为即可得的值.
（2）根据点的位置确定，可以确定实部和虚部的符号，即可得的取值范围.
（1）
复数
，
∵是纯虚数，∴，
解得，
∴的值为.
（2）
∵复数在复平面内对应的点位于第一象限，
∴,
解得，
∴的取值范围是.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）求出的坐标，利用向量共线的坐标表示即可求解；
（2）由（1）可知，计算、的坐标，利用向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）由题意得：，
因为与共线
所以，
解得；
（2）由（1）可知，于是，
而，
由于，
从而，
解得：
19．(1)，r∈；
(2).
【分析】(1)根据容积为4立方分米即可用r表示出a，再根据题意即可表示出y关于r的函数表达式；
(2)令y＝f(r)，根据导数正负判断f(r)的单调性即可判断其最小值，从而求解问题.
（1）由题意可知，∴，由r≤a≤2r，得．∴，即y，定义域为；
（2）令，∴，令，即，解得，当时，，为增函数，当时，，为减函数．又∵，∴在上为增函数，∴当时，首饰盒的制作费用最低．
20．（1）证明见解析； （2）．
【分析】（1）由余弦定理求得，由，得，再由得，命题得证．
（2）由正弦定理得及，故．
因为为钝角，，故，故有（或，舍），从而求得的值．
【详解】（1）由余弦定理，得．
因，．
由，得，命题得证．
（2）由正弦定理，得．
因，故，于是．
因为为钝角，所以．
所以,（或，不合题，舍）．
解得．
21．(1)①；②
(2)①见解析；②1
【分析】（1）①由已知可得△ABC的外心O为的中点，且为的角平分线，利用等面积法求得内切圆的半径为，从而可求得，从而可得答案；
②将用表示，再根据数量积得运算律即可得解；
（2）①如图，设的外接圆半径、内切圆半径分别为，，记中点为，于，结合条件可得，即可得证；
②由①得，则，再根据三角形内角关系结合三角恒等变换化简即可得出答案.
（1）
解：①因为，，
所以△ABC的外心O为的中点，且为的角平分线，，
故，，，
因为△ABC的内心为I，
所以点在上，
设内切圆的半径为，
则，
即，所以，
所以，即，
所以；
②由①得，
，
故
；
（2）
①证明：如图，设的外接圆半径、内切圆半径分别为，，记中点为，于，
由与共线，知，又，，，
，
则，
所以；
②解：由①得，
所以，
即，
即
所以．
【点睛】本题考查平面向量数量积运算以及线性运算，三角恒等变换的应用，综合性比较强，考查数学运算和数学抽象，属于难题．
22．(1)2；
(2)
【分析】（1）由可得，再借助正弦定理边化角求出，最后通过求出；
（2）在三个三角形中分别应用正弦定理得到，借助基本不等式求出的最小值，即可求得的面积的最小值.
【详解】（1）由可得，由正弦定理得，,可得，又，，由得，又，，.
（2）由（1）可知，，设，则，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，所以，得，解得，当且仅当时取等，，所以的面积的最小值为.