湖北省武汉市新洲区部分学校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题（含答案）

2022-2023学年度下学期期中
新洲区部分学校高中二年级目标检测
数学试题
考试用时：120分钟 满分：150分
2023.4
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数，是虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2.甲，乙，丙三人报考志愿，有，，三所高校可供选择，每人限报一所，则恰有两人报考同一所大学的概率为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.若，则圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4.已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（ ）
A. B. C. D.
5.锐角是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且，则等于（ ）
A.2 B. C. D.1
6.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知过双曲线的右焦点，且与双曲线的渐近线平行的直线交双曲线于点，交双曲线的另一条渐近线于点（，在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
8.对任意的，，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全对得5分，少选得2分，多选、错选不得分）
9.已知直线与圆交于，两点，且（其中为坐标原点），则实数的值可以是（ ）
A. B. C.2 D.
10.创新，是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭源泉.为支持“中小企业”创新发展，国家决定对部分创新型企业的税收进行适当减免，现在全国调查了100家中小企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）
A.年收入在万元的中小企业约有14家
B.样本的中位数大于400万元
C.估计当地中小型企业年收入的平均数为376万元
D.年收入的样本数据的80%分位数为480万元
11.如图，点是棱长为2的正方体中的线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A.不存在点满足
B.存在点，使平面
C.存在点，使异面直线与所成的角是60°
D.二面角的正弦值为
12.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的四等分点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，….下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A.第3个正方形面积为10.
B.
C.使得不等式成立的的最大值为3.
D.数列的前项和对任意恒成立.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣8名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排2个志愿者，则不同的安排方法共有______种.（用数字作答）
14.等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的正整数的值是，使前项和的正整数的最大值是______
15.若对任意的、，且，，则的最小值是______
16.球的内接正四面体中，、分别为、上的点，过作平面，使得、与平行，且、到的距离分别为2，3，则球被平面所截得的圆面的面积是______
四、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中，试问.
（1）一共有多少种不同的放法？
（2）恰有1个空盒的放法有多少种？
18.（本小题满分12分）
在二项式中，有.
（1）求二项式的展开式的常数项；
（2）若它的展开式中，常数项是其各项系数最大的项，求的取值范围.
19.（本小题满分12分）
设数列满足，，且对任意，函数满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
20.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，平面平面，和都是正三角形，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆：，上顶点和右顶点分别是、，椭圆上有两个动点、，且，如图所示，已知，且离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的最大值；并试探究直线与的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围.
2022-2023学年度下学期期中
新洲区部分学校高中二年级目标检测
数 学 试 题(参考答案)
考试用时：120分钟 满分：150分 2023．4
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．D 2．B 3．C 4．A 5．C 6．B 7．.B 8．A
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分，少选得2分，多选、错选不得分）
9．BC． 10．AC 11．BD 12．BCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14．6或7；12 15． 16．
四、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．(本小题满分10分)
【解析】（1）将5个不同的球放入编号为1，2，3，4，5的5个不同的盒中，
每个球有5种放法，则5个球有种不同的放法；
（2）①将5个球分为4组，有种分组方法，
②恰有1个空盒，则有且仅有2个球进了同一个盒子，在5个盒子中任选4个，放入四组球，有种情况，则共计种不同的放法．
18．(本小题满分12分)
【解析】(1)设为常数项，
则有，即，所以，常数项为第项，且．
(2)因为展开式中，常数项是其各项系数最大的项,所以第6项是系数最大的项，
所以有
由（1）得，
同理由（2）得，，所以．
19．(本小题满分12分)
【详解】（1）由，，又，
，所以
所以，是等差数列.
而，，，
（2）因为，所以
即
20．(本小题满分12分)
【详解】（1）如图，连接，交于点，连接，
由于四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，所以．又因为平面，平面，
所以平面．
（2）如图，取的中点，连接，，根据和都是正三角形，得，．又平面平面，平面平面，所以平面，于是．以为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
设，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．
设平面的法向量，则，即，
令，则，，所以．设二面角的大小为，由图易知为锐角，则，因此二面角的余弦值为．
21．(本小题满分12分)
【解析】（1）因为，所以，又，所以，，即，所以椭圆的标准方程为
（2）因为，所以，所以，设直线的方程为，
，，，，由得， 由△得，，， 直线方程为，所以，直线与之间的距离为，所以四边形的面积， 令，则，令，则，故当时，即时，四边形面积最大值为16；又因为，，所以
，故直线与的斜率之积是定值，且定值为．
22．(本小题满分12分)
【详解】（1）当时，，所以，又，，所以所求切线方程为，即．
（2），
所以，
当时，由，得，由，得，所以g(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间内单调递增，所以若g(x)有两个不同的零点，则必有，即；当时，，因为，当时，，所以，所以，
所以g(x)在区间内各有一个零点，故满足题意；
当时，因为，所以g(x)在区间内单调递减，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；
当时，因为当时，，当时，，所以g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以g(x)的极小值为，所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；
当时，因为当时，，当时，，所以g(x)在区间内单调递减，在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以g(x)的极小值为，
所以g(x)至多有一个零点，不符合题意．综上，的取值范围是．