遂宁中学2022～2023学年度下期半期考试
高二理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.
2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.
3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1. 设命题，,则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题写出结果即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以：，.
故选：D.
【点睛】本题考查命题的否定，考查特称命题和全称命题，考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
2. 已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的定义即可得到答案.
【详解】由题意，，所以.
故选：D.
3. 设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A. 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 0.121
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平均变化率的公式求解即可.
【详解】，
所以函数在区间上的平均变化率为.
故选：A
4. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将椭圆方程化为标准形式，然后利用焦点在轴上列出不等式，求出实数的取值范围.
【详解】由方程，可得，
因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：D
5. 函数的单调减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求导得到，取解得答案.
【详解】，则，取，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力.
6. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
7. 已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A. 3 B. 5 C. D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】由，结合图形即得.
【详解】因为椭圆，
所以，，
则椭圆的右焦点为，
由椭圆的定义得：，
当点P在点处，取等号，
所以的最大值为5，
故选：B.
8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.
【详解】因为，所以，
由双曲线的定义可得，
所以，解得，
故的面积为．
故选：B.
9. 抛物线：的准线与轴交于点，点为焦点，若抛物线上一点满足，则以为圆心且过点的圆被轴所截得的弦长约为( )（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵，又，所以点P在以AF为直径的圆上，
设点P的横坐标为m，联立与得.
∵，∴，∴
故所求弦长为.
故选:A
10. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据命题是真命题，由，恒成立求解.
【详解】因为命题“，”是真命题，
所以，恒成立，
所以，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，
故选：B
11. 双曲线的右焦点为，设为双曲线上关于原点对称的两点,的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出点的坐标，根据已知条件求得点，再根据点的坐标满足双曲线方程，整理化简即可求得，再求离心率即可.
【详解】根据题意，作图如下：
设点在第一象限，因为原点在以为直径的圆周上，
所以又因为、分别是、的中点，所以，
则在直角三角形中，，即，
因为直线斜率为，即，
解得：，，即点的坐标为，
代入双曲线方程得，又，
解得，则离心率为.
故选：.
12. 若定义在上的函数满足，且的导函数的图象如图所示，记，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导函数的图象为直线，且，得到函数为过原点的二次函数，设，利用导函数图象，通过原函数的单调性得到，，再去绝对值分别求得，再比较大小.
【详解】因为导函数的图象为直线，且，
所以函数为过原点的二次函数，
设，
所以由导函数图象可知在上单调递增，在上单调递减，
则，
又由，得，
则，
，
所以，，
所以，
故选：C
【点睛】本题主要考查导数与原函数的关系，还考查了数形结合的思想和转化求解的能力，属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 抛物线的焦点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，
所以焦点坐标为，
故答案为：.
14. 在函数的图象上，点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据已知条件，结合导数几何含义和三角形面积公式，即可求解.
【详解】解：∵，
∴，
∴函数在点处的切线为，化简为，
令，，，，
故点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
故答案为：4.
15. 有限集S中的元素个数记作，设A、B是有限集合，给出下列命题：
（1）的充分不必要条件是；
（2）的必要不充分条件是；
（3）的充要条件是
其中假命题是（写题号）________________.
【答案】(1)(3)
【解析】
【分析】(1)分别判断充分性与必要性证明即可.
(2)根据元素与集合的关系以及充分与必要条件的定义判断即可.
(3)根据集合相等的定义判断即可.
【详解】(1)当时,即为集合的元素个数之和,即为.
又当时,中的元素个数和等于中的元素个数,故.
故是的充要条件.故(1)错误.
(2)当时,中的元素个数小于等于中的元素个数,故,
但当时也可能有不属于的元素.
故是的充分不必要条件,即的必要不充分条件是.
故(2)正确.
(3)当意为中的元素个数相等,并不一定有.故(3)错误.
故答案为：(1)(3)
【点睛】本题主要考查了集合的基本关系与充分必要条件等的判定,属于基础题.
16. 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.
【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义.
在中，由正弦定理得.
因为，所以，所以.
因为点在双曲线右支上，所以，
所以，得.
由双曲线的性质可得，
所以，化简得，
所以，解得.
因为，
所以.
即双曲线离心率的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若的单调递减区间为，求a的值.
【答案】（1）；（2）3.
【解析】
【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；
（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案
【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，
所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，
所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是
（2）由题意知.因为，所以.
由，得，
所以的单调递减区间为，
又已知的单调递减区间为，
所以，
所以，即.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.
18. 设：，：.
（1）若命题“，是真命题”，求的取值范围；
（2）若是充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到解集，根据题意列出不等式组，求出的取值范围；（2）先解不等式，再根据充分不必要条件得到是的真子集，进而求出的取值范围.
【小问1详解】
因为，由可得：，
因为“，”为真命题，
所以，
即，解得：.
即的取值范围是.
【小问2详解】
因，由可得：，
，
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
所以（等号不同时取），解得：，
即的取值范围是.
19. 已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
20. 设命题：实数使曲线表示一个圆；命题：直线的倾斜角为锐角；
（1）若为真命题，求取值范围；
（2）是否存在使得为假命题，若存在求的取值范围，若不存在说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）求得命题、为真时，实数的范围，再为真命题，求得的取值范围；
（2）要使为假命题，则为真命题，为假命题，可判断是否存在m.
【详解】（1）命题：实数使曲线表示一个圆，即表示圆，
则需，解得或，设集合，
命题：直线的倾斜角为锐角，则，解得或，设集合；
因为为真命题，所以，所以的取值范围为；
（2）要使为假命题，则需都为假命题，即为真命题，为假命题，由（1）得，而，
所以不存在使得为假命题.
21. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；
（2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用导数求得最小值即可求得结果.
【详解】解：（1）当时，，
∴，，
∴切线方程为，
即
（2）∵，
∴原条件等价于：在上，恒成立.
化为
令，
则
令，则
在上，，
∴在上，
故在上，；在上，
∴的最小值为，∴
22. 已知，，三点中有两点在椭圆上，椭圆的右顶点为，过右焦点的直线与交于点，，当垂直于轴时.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，在轴是否存在定点，使得，若存在，求出点，若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）在轴上存在定点或，使得
【解析】
【分析】（1）根据对称性可得点，在椭圆上，再由得到方程组，解得、，即可得解；
（2）设存在定点，过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分别为，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设直线，求出点坐标，同理可得点坐标，根据求出的值，即可得解.
【小问1详解】
根据椭圆的对称性可知，点，在椭圆上，
对于，令得，解得，所以，
则，
∴椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：设存在定点，设过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分别为，，
联立，
则由韦达定理有：，，
由的标准方程得，
设直线，当时，，
同理，设直线，当时，，
∴，，
∴
，解得，
故在轴上存在定点或，使得.遂宁中学2022～2023学年度下期半期考试
高二理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上.
2．选择题用2B铅笔在对应的题号涂黑答案.主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内.
3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡上交.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1. 设命题，,则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
3. 设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ）
A. 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 0.121
4. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数单调减区间是（ ）
A B. C. D.
6. 已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
7. 已知F是椭圆左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（ ）
A. 3 B. 5 C. D. 13
8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，P是C上位于第一象限的一点，且，则的面积为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
9. 抛物线：的准线与轴交于点，点为焦点，若抛物线上一点满足，则以为圆心且过点的圆被轴所截得的弦长约为( )（参考数据：）
A B. C. D.
10. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
11. 双曲线的右焦点为，设为双曲线上关于原点对称的两点,的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12. 若定义在上的函数满足，且的导函数的图象如图所示，记，，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 抛物线的焦点坐标是______.
14. 在函数的图象上，点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________.
15. 有限集S中的元素个数记作，设A、B是有限集合，给出下列命题：
（1）的充分不必要条件是；
（2）的必要不充分条件是；
（3）的充要条件是
其中假命题是（写题号）________________.
16. 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为_______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）若在区间上为增函数，求a的取值范围.
（2）若单调递减区间为，求a的值.
18. 设：，：.
（1）若命题“，是真命题”，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
19. 已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
20. 设命题：实数使曲线表示一个圆；命题：直线的倾斜角为锐角；
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）是否存在使得为假命题，若存在求的取值范围，若不存在说明理由.
21. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.
22. 已知，，三点中有两点在椭圆上，椭圆的右顶点为，过右焦点的直线与交于点，，当垂直于轴时.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，在轴是否存在定点，使得，若存在，求出点，若不存在，说明理由.
