第4章 三角形 小结与复习 课件(共21张PPT) 北师版数学七年级下册

(共21张PPT)
第四章
三角形小结与复习
一.三角形的有关性质
1.不在同一直线上的三条线段首尾_________所组
成的图形叫作三角形. 以点A，B，C为定点的三
角形记为______，读作“三角形ABC”.
顺次相接
△ABC
2.三角形三个内角的和等于______.
180°
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按角分
按边分
不等边三角形
等腰三角形
5.三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边.
三角形任意两边之差小于第三边.
3. 三角形的分类
4.直角三角形的两个锐角互余.
6.三角形的三条角平分线交于一点；
三角形三条中线交于一点；
三角形的三条高所在的直线交于一点.
二.全等三角形
1.全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等
3.三角形的稳定性的依据：
SSS
2.全等三角形的判定
ASA
SSS
SAS
AAS
考点一 三角形的三边关系
例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解： 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得8－3考点讲练
【分析】根据三角形的三边关系满足8－3解答即可.
1.已知等腰三角形的两边长分别为10 和4 ，则三角形
的周长是　　．
24
【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
针对训练
考点二 三角形的内角和
例2 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，
所以∠ACB＝180°－∠A－∠B
＝180°－50° －70°＝60°.
因为CD是∠ACB的平分线，
所以∠BCD＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°.
因为DE∥BC，
所以∠EDC＝∠BCD＝30°，
∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.
2.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B－∠A=∠C-∠B，则∠B= .
90°
针对训练
考点三 三角形的角平分线、中线、高
例3 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．
解析：因为点D是AC的中点，所以AD＝ AC，
因为S△ABC＝12，
所以S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
因为EC＝2BE，S△ABC＝12，
所以S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4.
因为S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)
＝S△ADF－S△BEF，
所以S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
2
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
方法归纳
3.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，
若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数
是 ，∠FBC的度数是 .
4.如图，在△ABC中，两条角平分线
BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，
那么∠A的度数是 .
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
20°
40°
84°
针对训练
例4 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
试说明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
解：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角
形全等”进行判定．
考点四 全等三角形的判定与性质
例5 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,
试说明：∠DEC=∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
【分析】
欲证∠DEC=∠FEC
由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE
只需要证明△DEG ≌ △DCG.
A
B
C
D
F
E
G
解： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °.
在△AGE和△AGC中，
∠AGE=∠AGC，
AG=AG，
∠EAG=∠CAG，
∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)，
∴ GE =GC.
在△DGE和△DGC中，
EG=CG，
∠ EGD=∠CGD=90 °，
DG=DG.
∴△DGE ≌△DGC(SAS).
∴∠DEG=∠DCG.
∵EF//BC,
∴∠FEC=∠ECD，
∴∠DEG =∠FEC.
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
方法总结
5.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是( )
A.AB=DE,AC=DF,BC=EF
B. ∠A= ∠ D, ∠ B= ∠ E,AC=DF
C.AB=DE,AC=DF, ∠A= ∠D
D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
D
针对训练
考点五 本章中的思想方法
方程思想
例6 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3= ∠C,求∠1的度数.
A
B
C
D
)
)
)
)
2
4
1
3
解：设∠1=x,根据题意可得∠2=x.
因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2，
所以∠3=2x, ∠4=x，
又因为∠3=∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，x+2x+2x=180 °,
解得x=36°, 所以∠1=36 °.
在角的求值问题中，常常利用内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
方法总结
分类讨论思想
例7 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则三角形的周长是　　　　　．
解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底，
所以要分两种情况讨论：
第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；
第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
26或22
化归思想
A
B
C
D
O
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论： ∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.
性质
判定：SAS、ASA、AAS、SSS
三
角
形
高、角平分线、中线
性质
等腰（等边）三角形的性质与判定
全等三角形
用尺规作三角形
任意两边之和大于第三边，
任意两边差小于第三边
内角和为180°
课堂小结