第十八章：平行四边形练习题2021-2022学年内蒙古八年级下学期人教版数学期末试题选编 含解析
文档属性
| 名称 | 第十八章：平行四边形练习题2021-2022学年内蒙古八年级下学期人教版数学期末试题选编 含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 584.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-22 11:14:52 | ||
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文档简介
第十八章：平行四边形 练习题
一、单选题
1．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）在 ABCD中，若∠B＝70°，则∠D＝（ ）
A．35° B．70° C．110° D．130°
2．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在中，用直尺和圆规作图，作图痕迹如图所示，AG交BC于点E．若AB＝4，∠BAD＝60°，则AE的长为（ ）
A．6 B．2 C．4 D．8
3．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）在□ABCD中，O是AC、BD的交点，过点O 与AC垂直的直线交边AD于点E，若□ABCD的周长为22cm，则△CDE的周长为（ ）．
A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
4．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
5．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）在中，，，，点为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
7．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
8．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE长为（ ）
A．3 B．5 C．2.5 D．4
9．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）菱形的两条对角线分别是6cm，8 cm，则菱形面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点E是AD边的中点，连接OE，则OE的长为（ ）
A．10 B． C．5 D．4
11．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
12．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，正方形中，，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为________．
14．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）在中，已知，，则其周长为__________．
15．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是线段AO，BO的中点．若，，则的周长是______cm．
16．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，E为矩形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处．若AB＝10，AD＝6，则CE的长为_____．
17．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，在中，，D是AB中点，，，则DC=___________．
18．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在中，，E是BC的中点，，，P是BD上的动点，则的最小值为________．
19．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．
20．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是______．
21．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下面四个结论：（1）AE＝BF，（2）AE⊥BF，（3）AO＝OE，（4）S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确结论的序号是_____．
三、解答题
22．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．
(1)求证：；
(2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
(3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
23．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知AB=8cm，BC=10cm，求的长
24．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）如图，在中，，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作，连接AD、EC．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形ADCE是矩形．
25．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
26．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N．连接BM，DN．
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB=4，AD=8，求MD的长．
参考答案：
1．B
【分析】根据平行四边形对角相等的性质求解 ．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝70°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
2．C
【分析】由作图可得到及平分，根据等腰三角形的性质得出，，再根据平行四边形的性质得出，从而得出，于是得到，根据等腰三角形的判定和性质得到，然后由勾股定理得到，从而得出AE的长．
【详解】如图，连接BF与AE交于点H．
∵， 平分，
∴，， ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，由勾股定理得
，
∴．
故选C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定及勾股定理，熟练掌握相关的性质和定理是解决本题的关键．
3．C
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=11，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵ ABCD的周长22厘米，
∴AD+CD=11，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=11cm．
故选C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
4．C
【分析】易知OE是△ACD的中位线，则，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC，再根据直角三角形的性质可求得BO，从而求出△BOE的周长．
【详解】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
则△BOE的周长为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
5．B
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值是2.4．
故选B.
【点睛】题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
6．B
【分析】连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN＝NB＝x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN．
【详解】解：如图，连接BM，
由折叠可知，MN垂直平分BD，
又AB∥CD，
∴BON≌DOM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
设DN＝NB＝x，则AN＝8﹣x，
在RtABD中，由勾股定理得：BD＝＝，
在RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
根据菱形计算面积的公式，得
BN×AD＝×MN×BD，
即5×4＝×MN×，
解得MN＝．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，勾股定理，菱形的面积公式的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．
7．B
【分析】本题考查矩形的判定定理，牢记相关的内容即可选择出正确答案．
【详解】A：有一个角是直角的四边形，有可能是直角梯形，选项不符合题意．
B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，选项符合题意．
C：一组对边平行且相等的四边行是平行四边形，故选项不符合题意，
D：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故选项不符合题意，
故选：B
【点睛】本题考查矩形四边形的判定定理，要牢记相关的条件是解题的关键，学会去区别平行四边形，菱形，正方形以及其他非规则图形，是解题的关键．
8．C
【分析】根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOD中，AB==5，
则OE=AD=．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
9．B
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】解：∵菱形的两条对角线分别是6cm，8 cm，
∴菱形面积为．
故选：B
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
10．B
【分析】根据菱形的性质得到OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，AC⊥BD，利用勾股定理求出AD，再根据直角三角形斜边中线的性质求出OE即可．
【详解】∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，AC⊥BD，
∴AD＝＝5，
∵点E是边AD的中点，
∴OE＝AD=，
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟记菱形的性质是解题的关键．
11．D
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．
12．C
【分析】过N做NP⊥BC于P，则NP=DC，易证△BEC≌△PMN，即可得∠MCE=∠PNM，根据直角三角形内角和为180°即可求得∠ANM=90°-∠MCE．
【详解】解：过N做NP⊥BC于P，则NP=DC，
∵∠MCE+∠NMC=90°，∠MNP+∠NMC=90°，
∴∠MCE=∠MNP，
在△MNP和△ECB中，
，
∴△BEC≌△PMN，
∴∠MCE=∠PNM，
∴∠ANM=90°-∠MCE=50°．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明△BEC≌△PMN是解题的关键．
13．50
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF=BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积===50，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．
14．/
【分析】根据平行四边形的对边相等解答即可．
【详解】解：根据题意得：该平行四边形的周长为 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等．
15．
【分析】根据平行四边形的性质可知OC＝AC，OD＝BD，求出OC+OD，由三角形中位线定理求出AB的长，即可得出△OCD的周长．
【详解】解：解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC＝AC，OD＝BD，CD＝AB，
∵AC+BD＝24，
∴OD+OC＝12，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴CD＝AB＝2EF＝6，
∴△OCD的周长＝OC+OD+CD＝12+6＝18（cm）；
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，求出AB的长是解决问题的关键．
16．
【分析】根据折叠的性质可以得到EF＝BE，AF＝AB＝10，根据勾股定理可得DF＝8，求的CF＝2，再在Rt△CEF中，根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：∵将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处，AB＝10，
∴EF＝BE，AF＝AB＝10，
在矩形ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝6，
在Rt△ADF中，DF＝＝8，
∴CF＝2，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，
设CE=x，
∴（6﹣CE）2＝CE2+22，即（6﹣x）2＝x2+22，
解得x＝，
则CE＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠轴对称性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠轴对称性质，勾股定理，利用勾股定理建构方程是解题关键．
17．
【分析】由勾股定理求出的长，即可求得．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：，
是中点，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟记性质．
18．
【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知AE为的最小值．
【详解】∵平行四边形ABCD中：BC=2BE=2×2=4=AB，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC=PE+AP=AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值，
∵
∴
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE=CE，
∴AE⊥BC，
∴
故答案为
【点睛】考查了菱形的性质以及最短路线问题，等边三角形的判定与性质，勾股定理，根据轴对称的性质，将转化为是解题的关键.
19．2
【分析】过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′ 即为DQ+PQ的最小值．
【详解】解：如图，过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于点D′，再过点D′作D′P'⊥AD于点P'，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△ADF≌△AD′F，
∴AD′＝AD＝4，
∵点D′与点D关于AE对称，
∴QD＝QD′，
∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，
∴D′P'的长即为DQ＋PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP'＝P'D′，
∴在Rt△AP'D′中，P'D′2＋AP'2＝AD′2，即2D'P'2＝16，
∴P'D′＝2，即DQ＋PQ的最小值为2．
故答案为：2.
【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
20．17
【分析】根据勾股定理有，，，等量代换即可求正方形D的面积．
【详解】如图，
根据勾股定理可知，
∵，，，
∴，
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）；
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．
21．（1）、（2）、（4）．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠ADC=90°．
∵CE=DF，
∴AD-DF=CD-CE，
即AF=DE．
在△BAF和△ADE中，
，
∴△BAF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF，S△BAF=S△ADE，∠ABF=∠DAE，
∴S△BAF-S△AOF=S△ADE-S△AOF，
即S△AOB=S四边形DEOF．
∵∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠EAF+∠AFB=90°，
∴∠AOF=90°，
∴AE⊥BF；
连接EF，
在Rt△DFE中，∠D=90°，
∴EF＞DE，
∴EF＞AF，
若AO=OE，且AE⊥BF；
∴AF=EF，与EF＞AF矛盾，
∴假设不成立，
∴AO≠OE．
∴（1）、（2）、（4）是正确的，
故答案是：（1）、（2）、（4）．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的面积关系的运用及直角三角形的性质的运用，在解答中求证三角形全等是关键．
22．(1)见解析
(2)当点O运动到的中点时，四边形是矩形，见解析
(3)当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形，见解析
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出，，得出，同理得出，即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
（3）当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，由平行线的性质得出，得出，即可证明．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴．
（2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形．
∵当点O运动到的中点时，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形．
（3）解：当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定定理；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
23．
【分析】根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8-x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=(8-x)2，然后解方程即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF=(cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC=，则DE=，EF=，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的对边相等的性质，勾股定理的应用，是基础题，解题的关键是熟记性质并准确识图．
24．(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴ABDE，AB=DE；
∴∠B=∠EDC；
又∵AB=AC，
∴AC=DE，∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ACD；
∵在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BDAE，BD=AE，
∴AECD；
又∵BD=CD，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴ ∠AEF＝90°，
∴ 四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10－4＝6，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得:，
在Rt△ACE中，
由勾股定理得：，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）MD长为5．
【分析】（1）利用矩形性质，证明BMDN是平行四边形，再结合MN⊥BD，证明BMDN是菱形．
（2）利用BMDN是菱形，得BM=DM，设，则，在中使用勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵BD的垂直平分线MN
∴BO=DO，
∵在△DMO和△BNO中
∠MDO=∠NBO，BO=DO，∠MOD=∠NOB
∴△DMO ≌ △BNO（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD
∴BMDN是菱形
（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD=x，则MB=DM=x，AM=(8-x)
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8-x）2+42，
解得：x=5
答：MD长为5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，及勾股定理，熟练使用以上知识是解题的关键．
一、单选题
1．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）在 ABCD中，若∠B＝70°，则∠D＝（ ）
A．35° B．70° C．110° D．130°
2．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在中，用直尺和圆规作图，作图痕迹如图所示，AG交BC于点E．若AB＝4，∠BAD＝60°，则AE的长为（ ）
A．6 B．2 C．4 D．8
3．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）在□ABCD中，O是AC、BD的交点，过点O 与AC垂直的直线交边AD于点E，若□ABCD的周长为22cm，则△CDE的周长为（ ）．
A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm
4．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A．10 B． C． D．14
5．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）在中，，，，点为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A． B．2 C． D．4
7．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
8．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，BD＝8，则OE长为（ ）
A．3 B．5 C．2.5 D．4
9．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）菱形的两条对角线分别是6cm，8 cm，则菱形面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，点E是AD边的中点，连接OE，则OE的长为（ ）
A．10 B． C．5 D．4
11．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形．则四边形ABCD一定是 ( )
A．菱形 B．对角线互相垂直的四边形
C．矩形 D．对角线相等的四边形
12．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，正方形中，，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为________．
14．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）在中，已知，，则其周长为__________．
15．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是线段AO，BO的中点．若，，则的周长是______cm．
16．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，E为矩形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处．若AB＝10，AD＝6，则CE的长为_____．
17．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，在中，，D是AB中点，，，则DC=___________．
18．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在中，，E是BC的中点，，，P是BD上的动点，则的最小值为________．
19．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________．
20．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A，B，C的面积分别是，，，则正方形的面积是______．
21．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下面四个结论：（1）AE＝BF，（2）AE⊥BF，（3）AO＝OE，（4）S△AOB＝S四边形DEOF，其中正确结论的序号是_____．
三、解答题
22．（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．
(1)求证：；
(2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
(3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
23．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知AB=8cm，BC=10cm，求的长
24．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）如图，在中，，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作，连接AD、EC．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形ADCE是矩形．
25．（2022春·内蒙古乌兰察布·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
26．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N．连接BM，DN．
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB=4，AD=8，求MD的长．
参考答案：
1．B
【分析】根据平行四边形对角相等的性质求解 ．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝70°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
2．C
【分析】由作图可得到及平分，根据等腰三角形的性质得出，，再根据平行四边形的性质得出，从而得出，于是得到，根据等腰三角形的判定和性质得到，然后由勾股定理得到，从而得出AE的长．
【详解】如图，连接BF与AE交于点H．
∵， 平分，
∴，， ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，由勾股定理得
，
∴．
故选C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定及勾股定理，熟练掌握相关的性质和定理是解决本题的关键．
3．C
【分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=11，继而可得△CDE的周长等于AD+CD．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵ ABCD的周长22厘米，
∴AD+CD=11，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=11cm．
故选C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
4．C
【分析】易知OE是△ACD的中位线，则，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC，再根据直角三角形的性质可求得BO，从而求出△BOE的周长．
【详解】解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，E点为AD中点，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，，，
在Rt△ABE中，，
在Rt△ABC中，，
∴，
则△BOE的周长为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．
5．B
【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB2+AC2=BC2，
即∠BAC=90°．
又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF=AP．
∵M是EF的中点，
∴AM=EF=AP.
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，
∴EF的最小值是2.4．
故选B.
【点睛】题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段．
6．B
【分析】连接BM，利用折叠的性质证明四边形BMDN为菱形，设DN＝NB＝x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADN中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求MN．
【详解】解：如图，连接BM，
由折叠可知，MN垂直平分BD，
又AB∥CD，
∴BON≌DOM，
∴ON＝OM，
∴四边形BMDN为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），
设DN＝NB＝x，则AN＝8﹣x，
在RtABD中，由勾股定理得：BD＝＝，
在RtADN中，由勾股定理得：AD2+AN2＝DN2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
根据菱形计算面积的公式，得
BN×AD＝×MN×BD，
即5×4＝×MN×，
解得MN＝．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，勾股定理，菱形的面积公式的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．
7．B
【分析】本题考查矩形的判定定理，牢记相关的内容即可选择出正确答案．
【详解】A：有一个角是直角的四边形，有可能是直角梯形，选项不符合题意．
B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，选项符合题意．
C：一组对边平行且相等的四边行是平行四边形，故选项不符合题意，
D：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故选项不符合题意，
故选：B
【点睛】本题考查矩形四边形的判定定理，要牢记相关的条件是解题的关键，学会去区别平行四边形，菱形，正方形以及其他非规则图形，是解题的关键．
8．C
【分析】根据菱形的性质可得OB=OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOD中，AB==5，
则OE=AD=．
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
9．B
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解．
【详解】解：∵菱形的两条对角线分别是6cm，8 cm，
∴菱形面积为．
故选：B
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
10．B
【分析】根据菱形的性质得到OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，AC⊥BD，利用勾股定理求出AD，再根据直角三角形斜边中线的性质求出OE即可．
【详解】∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，AC⊥BD，
∴AD＝＝5，
∵点E是边AD的中点，
∴OE＝AD=，
故选：B．
【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟记菱形的性质是解题的关键．
11．D
【分析】根据三角形的中位线定理得到EH∥FG，EF=FG，EF=BD，要是四边形为菱形，得出EF=EH，即可得到答案．
【详解】解：∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，DC的中点，
∴EH=AC，EH∥AC，FG=AC，FG∥AC，EF=BD，
∴EH∥FG，EF=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
假设AC=BD，
∵EH=AC，EF=BD，
则EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，
即只有具备AC=BD即可推出四边形是菱形，
故选：D．
【点睛】题目主要考查中位线的性质及菱形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用三角形中位线的性质是解题关键．
12．C
【分析】过N做NP⊥BC于P，则NP=DC，易证△BEC≌△PMN，即可得∠MCE=∠PNM，根据直角三角形内角和为180°即可求得∠ANM=90°-∠MCE．
【详解】解：过N做NP⊥BC于P，则NP=DC，
∵∠MCE+∠NMC=90°，∠MNP+∠NMC=90°，
∴∠MCE=∠MNP，
在△MNP和△ECB中，
，
∴△BEC≌△PMN，
∴∠MCE=∠PNM，
∴∠ANM=90°-∠MCE=50°．
故选C．
【点睛】本题考查了正方形各边长、各内角相等的性质，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应角相等的性质，本题中证明△BEC≌△PMN是解题的关键．
13．50
【分析】过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF=BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积===50，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．
14．/
【分析】根据平行四边形的对边相等解答即可．
【详解】解：根据题意得：该平行四边形的周长为 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等．
15．
【分析】根据平行四边形的性质可知OC＝AC，OD＝BD，求出OC+OD，由三角形中位线定理求出AB的长，即可得出△OCD的周长．
【详解】解：解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC＝AC，OD＝BD，CD＝AB，
∵AC+BD＝24，
∴OD+OC＝12，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴CD＝AB＝2EF＝6，
∴△OCD的周长＝OC+OD+CD＝12+6＝18（cm）；
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，求出AB的长是解决问题的关键．
16．
【分析】根据折叠的性质可以得到EF＝BE，AF＝AB＝10，根据勾股定理可得DF＝8，求的CF＝2，再在Rt△CEF中，根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：∵将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处，AB＝10，
∴EF＝BE，AF＝AB＝10，
在矩形ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝6，
在Rt△ADF中，DF＝＝8，
∴CF＝2，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，
设CE=x，
∴（6﹣CE）2＝CE2+22，即（6﹣x）2＝x2+22，
解得x＝，
则CE＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠轴对称性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠轴对称性质，勾股定理，利用勾股定理建构方程是解题关键．
17．
【分析】由勾股定理求出的长，即可求得．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：，
是中点，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟记性质．
18．
【分析】根据菱形的性质，得知A、C关于BD对称，根据轴对称的性质，将转化为，再根据两点之间线段最短得知AE为的最小值．
【详解】∵平行四边形ABCD中：BC=2BE=2×2=4=AB，
∴平行四边形ABCD为菱形，
∴A、C关于BD对称，
∴连AE交BD于P，
则PE+PC=PE+AP=AE，
根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值，
∵
∴
∴△ABC为等边三角形，
又∵BE=CE，
∴AE⊥BC，
∴
故答案为
【点睛】考查了菱形的性质以及最短路线问题，等边三角形的判定与性质，勾股定理，根据轴对称的性质，将转化为是解题的关键.
19．2
【分析】过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′ 即为DQ+PQ的最小值．
【详解】解：如图，过点D作AE的垂线交AE于点F，交AC于点D′，再过点D′作D′P'⊥AD于点P'，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD＝∠AFD′，
∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，
∴△ADF≌△AD′F，
∴AD′＝AD＝4，
∵点D′与点D关于AE对称，
∴QD＝QD′，
∴DQ＋PQ＝QD′＋PQ＝PD′，
∴D′P'的长即为DQ＋PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′＝45°，
∴AP'＝P'D′，
∴在Rt△AP'D′中，P'D′2＋AP'2＝AD′2，即2D'P'2＝16，
∴P'D′＝2，即DQ＋PQ的最小值为2．
故答案为：2.
【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
20．17
【分析】根据勾股定理有，，，等量代换即可求正方形D的面积．
【详解】如图，
根据勾股定理可知，
∵，，，
∴，
∴正方形D的面积=49-8-10-14=17（cm2）；
故答案为：17．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．
21．（1）、（2）、（4）．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠ADC=90°．
∵CE=DF，
∴AD-DF=CD-CE，
即AF=DE．
在△BAF和△ADE中，
，
∴△BAF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF，S△BAF=S△ADE，∠ABF=∠DAE，
∴S△BAF-S△AOF=S△ADE-S△AOF，
即S△AOB=S四边形DEOF．
∵∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠EAF+∠AFB=90°，
∴∠AOF=90°，
∴AE⊥BF；
连接EF，
在Rt△DFE中，∠D=90°，
∴EF＞DE，
∴EF＞AF，
若AO=OE，且AE⊥BF；
∴AF=EF，与EF＞AF矛盾，
∴假设不成立，
∴AO≠OE．
∴（1）、（2）、（4）是正确的，
故答案是：（1）、（2）、（4）．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的面积关系的运用及直角三角形的性质的运用，在解答中求证三角形全等是关键．
22．(1)见解析
(2)当点O运动到的中点时，四边形是矩形，见解析
(3)当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形，见解析
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出，，得出，同理得出，即可得出结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等，即可得出结论；
（3）当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，由平行线的性质得出，得出，即可证明．
【详解】（1）解：
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴．
（2）解：当点O运动到的中点时，四边形是矩形．
∵当点O运动到的中点时，，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
由（1）可知，，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形．
（3）解：当点O运动到的中点时，且满足的直角三角形时，四边形是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到的中点时，四边形是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定定理；熟练掌握平行线的性质和矩形、菱形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
23．
【分析】根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8-x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=(8-x)2，然后解方程即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm，AD=BC=10cm，∠B=∠D=∠C=90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴AF=AD=10cm，DE=EF，
在Rt△ABF中，BF=(cm)，
∴FC=BC-BF=4(cm)，
设EC=，则DE=，EF=，
在Rt△EFC中，
∵EC2+FC2=EF2，
∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的对边相等的性质，勾股定理的应用，是基础题，解题的关键是熟记性质并准确识图．
24．(1)见解析；
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴ABDE，AB=DE；
∴∠B=∠EDC；
又∵AB=AC，
∴AC=DE，∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ACD；
∵在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BDAE，BD=AE，
∴AECD；
又∵BD=CD，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴ ∠AEF＝90°，
∴ 四边形AEFD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10－4＝6，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得:，
在Rt△ACE中，
由勾股定理得：，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）MD长为5．
【分析】（1）利用矩形性质，证明BMDN是平行四边形，再结合MN⊥BD，证明BMDN是菱形．
（2）利用BMDN是菱形，得BM=DM，设，则，在中使用勾股定理计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵BD的垂直平分线MN
∴BO=DO，
∵在△DMO和△BNO中
∠MDO=∠NBO，BO=DO，∠MOD=∠NOB
∴△DMO ≌ △BNO（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD
∴BMDN是菱形
（2）∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD=x，则MB=DM=x，AM=(8-x)
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8-x）2+42，
解得：x=5
答：MD长为5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，及勾股定理，熟练使用以上知识是解题的关键．