第八章 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（解析版）
A基础练习
一、选择题
1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为( B )
A．48 B．64
C．16 D．96
[解析] 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( A )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
[解析] 因为侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，所以S表＝a2＋3××2＝a2．
3．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( B )
A．6a2 B．12a2
C．18a2 D．24a2
[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，∴增加了S2－S1＝12a2．
4．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( B )
A．1∶9 B．1∶8
C．1∶4 D．1∶3
[解析] 因为平行于棱锥底面的截面将棱锥的高分成1∶2两部分，易得两个棱锥的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B．
5．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1∶V2＝( A )
A．7∶5 B．6∶5
C．8∶3 D．4∶3
[解析] 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh．因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝S，
所以V1＝h＝Sh，V2＝V－V1＝Sh．所以V1∶V2＝7∶5．
二、填空题
6．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为____．
[解析] 设长方体从一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝．
7．已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 cm，则该三棱台的表面积为__5＋9__cm2．
[解析] 正三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 cm，故三棱台的表面积为3××(2＋4)×＋×2×＋×4×2＝5＋9．
8．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是__2＋(答案不唯一)__．(只需写出一个可能的值)
[解析] 由四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，如图，可取三条侧棱长均为2，底面边长BC＝BD＝2，CD＝1．
其表面积为2××2×＋2××1×
＝2＋．
故其表面积的一个可能值为2＋．
三、解答题
9．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
[解析] 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′．
∵S侧＝2S底，∴3×a×h′＝2×a2．
∴a＝h′．
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2．
∴32＋2＝h′2．
∴h′＝2，∴a＝h′＝6．
∴S底＝a2＝×62＝9，
S侧＝2S底＝18．
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27．
10．如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积．
[解析] ∵VM是棱锥的高，
∴VM⊥MC．
在Rt△VMC中，
MC＝＝＝3(cm)，
∴AC＝2MC＝6(cm)．
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝2(cm)．
S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)，
∴V锥＝S底h＝×8×4＝(cm3)．
∴棱锥的体积为 cm3．
B提升练习
一、选择题
1．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 如图所示，正方体的A′，C′，D，B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体棱长为a，
则正四面体棱长为a．
所以正方体表面积S1＝6a2，
正四面体表面积为S2＝4××(a)2＝2a2，所以＝＝．
2．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( B )
A．80 B．240
C．320 D．640
[解析] 由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，则该等腰梯形的高为＝8．
∴等腰梯形的面积为×(4＋16)×8＝80，∴该棱台的侧面积S＝3×80＝240．故选B．
3．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为( A )
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．以上都不是
[解析] 斜高h′＝＝，
S1＝(C＋C′)h′＝(3×2＋3×4)×＝9，
S2＝×22＋×42＝5，所以S1＞S2．
4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为( A )
A．32 B．48
C．64 D．
[解析] 如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高，则OE＝PE，因为OE＝AB＝2，所以PE＝4，则S侧＝4××4×4＝32．
二、填空题
5．某几何体的直观图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为__20＋4__．
[解析] 由直观图可知，该几何体的上部为一正四棱锥，下部为一正方体，正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方形，其边长为2，正四棱锥的高为1，所以此几何体的表面积为5×2×2＋4××2×＝20＋4．
6．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____．
[解析] 由题知原来正方体棱长为，则正方体的体积为2，又截去的8个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长且棱长为，故截去体积为8××××2＝，则此二十四等边体的体积V＝2－＝．
三、解答题
7．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
[解析] 设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc，又S△A′DD′＝bc，且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a．
∴V三棱锥C－A′DD′＝S△A′DD′·CD＝abc．
则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－abc＝abc．
故V棱锥C－A′DD′∶V剩＝∶＝1∶5．
8．已知正三棱锥S－ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm2．
(1)求正三棱柱的高．
(2)求棱柱上底面截得的棱锥与原棱锥侧面积之比．
[解析] (1)如图，设正三棱柱高为h，底面边长为x，
则＝，所以x＝(15－h)． ①
又S三棱柱侧＝3x·h＝120．所以xh＝40． ②
解①②得或
故正三棱柱的高为10 cm或5 cm．
(2)由棱锥的性质得
＝2＝或＝2＝．第八章 8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（原卷版）
A基础练习
一、选择题
1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
3．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a2 B．12a2
C．18a2 D．24a2
4．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于( )
A．1∶9 B．1∶8
C．1∶4 D．1∶3
5．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1∶V2＝( )
A．7∶5 B．6∶5
C．8∶3 D．4∶3
二、填空题
6．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为____．
7．已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长是 cm，则该三棱台的表面积为____cm2．
8．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是____ (答案不唯一)__．(只需写出一个可能的值)
三、解答题
9．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
10．如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积．
B提升练习
一、选择题
1．若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )
A． B．
C． D．
2．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( )
A．80 B．240
C．320 D．640
3．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为( )
A．S1＞S2 B．S1＜S2
C．S1＝S2 D．以上都不是
4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为( )
A．32 B．48
C．64 D．
二、填空题
5．某几何体的直观图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为____．
6．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为1，则该二十四等边体的体积为____．
三、解答题
7．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．
8．已知正三棱锥S－ABC，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm2．
(1)求正三棱柱的高．
(2)求棱柱上底面截得的棱锥与原棱锥侧面积之比．
