2022-2023学年度春学期四校期中联考试卷
高二数学
参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9.BCD 10.ACD 11.AC 12.AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.50 14.36 15. 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17.解：（1）可能的取值为0，1，2，3．
，，，，
概率分布为
0 1 2 3
………………………..5分
（概率每个1分，表格1分）
设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事件；
“另一个小球也是黑球”为事件
则
由条件概率公式可得
从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为
…………..10分
18.解：（1）能被5整除的个数有个； ……………..3分
（2）在组成的五位数中，所有奇数的个数有个； ………..6分
（3）在组成的五位数中，数字1和3相邻的个数有个；……..9分（4）（4）比30421小的五位数，若万位为1或2，其余位置任意排，即，
若万位为3，比30421小的有5个
从小到大排列，30124排第54个. .………..12分
19.解：（1）因为展开式的二项式系数和为512，
所以，解得， ………..2分
因为，所以， ………..4分
（2）在中，令，则，
令，可得，
所以………..7分
（3）
，
，
因为（）能被6整除，而，即被6整除余数为5，
所以被6整除的余数为5 ………..12分
20.解：（1））因为，
所以， ………..1分
故
因为在上单调递增，
所以在上恒成立， ………..3分
，
所以 ………..5分
（2）因为，，所以，
所以，
，
令，解得，， ………..8分
x
0 — 0
极大值 极小值
所以函数的极大值为，极小值为． ………..12分
21.解：（1）三箱水蜜桃中坏果总数恰有3个坏果的情况有：有一箱有2个坏果，一箱有1个坏果，另外一箱没有坏果，或者三箱各有一个坏果，
三箱水果中坏果总数恰有3个坏果的概率为………………………..4分
（2）由题意可知：可取0,1,2
则 ,
,
,
所以的分布列为：
0 1 2
………………………..9分（一个概率1分，列表没有扣2分）
期望为………………………..12分
22.解：（1）的定义域为，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令解得，所以在上单调递增；
令解得，所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递减； ………..3分
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）在恒成立
化简得 ………..4分
法一：令，定义域为，
.
①当时，单调递增，的值域为R，不符合题意；
②当时，，也不符合题意； ………..5分
③当时，令，则 恒成立，
所以在上单调递增.
当时，，又，根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，有，此时；（零点未找扣两分） ………..8分
当时，，又，根据零点存在定理以及函数的单调性可知，有，即有唯一解，有，此时.
综上所述，对，都有唯一解，有，此时.
又当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增.
所以，
故只需. ………..10分
令，上式即转化为，设，则.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以，当时，有最大值，所以，
所以.
又，所以，所以.
由，解得．
综上所述 ………..12分
法二：恒成立
令故在上单调递增，
所以
问题转化为在恒成立 ………..6分
设，
当时，恒成立，在上单调递增，又
所以时，，不符合题意； ………..7分
当时，在上单调递减，上单调递增，
所以，
当时，都有均不符合题意，
当时，，此时在恒成立 ………..11分
综上所述： ………..12分
（直接猜对答案给1分）2022-2023 学年度春学期四校期中联考试卷
高二数学
本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答
案，然后再写上新答案.不按以上要求作答无效.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
2 2
1.若Cn 15，则An
A. 30 B. 20 C. 12 D. 6
2.下列求导运算正确的是
1 1
A. sin x cos x B.
x
ln x C. a
xa x 1 D. x
x 2 x
3.一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸 z（单位：mm）服
从正态分布 N 180, 2 ，且P z 190 0.9,P z 160 0.04，则P 190 z 200
A．0.1 B．0.04 C．0.05 D．0.06
4.已知函数 f x 与 g x 的部分图像如图所示，则
A. g 1 0 f 1
B. 0 f 1 g 1
C. f 1 0 g 1
D. f 3 g 3
5.学校有8 个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则不同的分
配方案种数为
A．45 B．84 C． 21 D．42
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6.已知在 7 个电子元件中，有 2 个次品，5 个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，
直到 3 个次品都找到为止，则经过 3 次测试恰好将 2 个次品全部找出的概率为
1 2 1 4
A. B. C. D.
21 21 42 21
7.在某地区进行流行病调查，随机调查了 100 名某种疾病患者的年龄，发现该 100 名患者中有 30
名的年龄位于区间 40，50 内.已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间 40，50 内人
口占该地区总人口的 20% .现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间 40，50 内，则此人患该疾
病的概率为
A. 0.05% B. 0.125% C. 0.225% D. 0.325%
3
3 1
8.已知 a e 2 , b ln , c ，则
2 3
A． a b c B．b c a C．c a b D．a c b
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
n
9.若 3 2x （ n N ）的展开式中第 5 项的二项式系数最大，则 n的可能取值为
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10.已知随机变量 的分布列如下表所示，且满足 E( ) 0 ，则下列选项正确的是
1 0 2
1
P a b
2
A． D( ) 1 B． D(| |) 1 C．D(2 1) 4 D．D(3| | 2) 5
11. 红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜
色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配
出绿色.现有红黄蓝颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两
人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C 表示事件
“乙调配出紫色”；则下列说法正确的是
1 1
A． P(A) B． P(C | A)
15 4
4
C． P(BC) D.事件 B与事件C 相互独立
45
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2 x
12. 若二次函数 f (x) 2x 3的图象与曲线C : g(x) ae 3(a 0)存在公切线，则实数 a 的可
能取值为
1 8 e
A． B. e C. D.
2 e2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填写在答．题．卡．相．应．的．
位．置．上．.
1
13.已知 x (2x 1)
5
的展开式中含 x2 的项的系数为____▲____．
x
14.甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端且甲和乙不相邻，则不
同的排列方式有___▲___种.
15.已知函数 f x ln x x2 f 1 ，则 f x 在（1 ，f 1 ）处的切线方程为___▲____．
16.某工厂的某种产品成箱包装，每箱 100 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检
验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 10 件作检验，再根据检验结果决
定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 p 0 p 1 ，且各件产品
是否为不合格品相互独立．记 10 件产品中恰有 3 件不合格品的概率为 f p ，则 f p 取最大值
时， p ____▲____．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10 分）一只口袋中装有形状、大小都相同的 10 个小球，其中有红球 1 个，黑球 4 个，白球
5 个．
（1）从中 1 次随机摸出 3 个球，记白球的个数为 X，求随机变量 X 的概率分布；
（2）从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率.
18.（12 分）用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数．
（1）在组成的五位数中，能被 5 整除的个数有多少？
（2）在组成的五位数中，所有奇数的个数有多少
（3）在组成的五位数中，数字 1 和 3 相邻的个数有多少
（4）在组成的五位数中，若从小到大排列，30421 排第几个
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19.（12 分）已知 f (x) (2x 3)
n
展开式的二项式系数和为 512，
n
且 (2x 3) a0 a1(x 1) a2 (x 1)
2 a nn (x 1) ．
（1）求 a2 的值；
（2）求 a1 a2 a3 an 的值；
（3）求 f (20) 20被 6 整除的余数．
20.（12 分）设函数 f x x a x b x c ，其中实数a,b,c 满足2b a c ．
(1)若b 0且 f x 在 2，4 上单调递增，求 a 的取值范围；
(2)若b a 3，求函数 f x 的极值；
21.（12 分）水蜜桃是生活中常见的水果之一，适量食用可以增高人体血红蛋白的含量，补充人体
的维生素和膳食纤维，但水蜜桃的外皮较薄，往往小的划痕都容易造成它的腐烂变质。某水果批
发市场，在水蜜桃成熟以后进行装箱，每一箱 10 个．根据以往经验，该种水果每箱含有 0，1，
3 3 1
2 个坏果的概率分别为 ， ， ．
5 10 10
(1)现随机取三箱该水蜜桃，求三箱水蜜桃中坏果总数恰有 3 个的概率；
(2)现随机打开一箱该水蜜桃，并从中任取 2 个，设 X 为坏果的个数，求 X 的分布列及期望．
22.（12 分）已知函数 f (x) a ln x x， a R .
(1)讨论函数 f x 的单调性；
x
(2)若 x(e a 1) f (x) 1恒成立，求实数 a 的取值范围.
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