高考数学串讲（五） 解三角形
一，基础知识
1，三角形中的常用公式
如图，中，，，，外接圆
半径为R，内切圆半径为，半周长为。
（1）正弦定理：。
变形：。
（2）余弦定理：
；；。
（3）面积：=。
2,等差数列与等比数列
(1),等差数列:
①,定义:.
②,通项公式:.
③,前项和公式:.
④,任意两项有.
⑤,对于任意正整数,若,则.反之不行.
⑥,若均是等差数列,则也是等差数列.()
(2),等比数列:
①,定义:.
②,通项公式:.
③,前项和公式:.④,任意两项有.
⑤,对于任意正整数,若,则.
⑥,无穷递缩等比数列所有项和公式:.
二，跟踪训练
1，（05湖南）已知在中，，，
求角A，B，C的大小。
2，（05湖北）在中，已知，，AC边上的中线
BD，求的值。
3，（05天津）在中，所对的边长分别为。设满足
和，求和的值。
4，（05全国III）中，内角A，B，C的对边分别为，已知成等比数列，
且。
（I）求的值；
（II）设，求的值。
5，（04广东）已知成公比为2的等比数列（），且
也成等比数列。求的值。
6，（04浙江）在中，角A，B，C的对边分别为，且。
（I）求的值；
（II）若，求的最大值。
7，（04北京）在中，，AC=2，AB=3，求的值和
的面积。
8，（04全国II）已知锐角中，，。
（I）求证：；
（II）设AB=3，求AB边上的高。
三，简明提示
1，由得，有
，得，由得
，有，得。
2，设E为BC的中点，连结DE，则DE//AB，且，设，有
，得或（舍去），有BC=2。
从而=，得。
又，而，于是。
3，由题设条件，应用两角差的正弦公式得
，即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得
故 ②
由①和②式得，
因此，，由两角和的正切公式
4，（I）由得，由得于是
。
（II）由，得，由，得，即。
又。得，，得。
5，解：∵α,β,γ成公比为2的等比数列，∴β=2α，γ=4α
∵sinα,sinβ,sinγ成等比数列
当cosα=1时，sinα=0,与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，
6，解：（I）
= = 。
（II）由，得，有。
又，得，当且仅当时，的最大值是。
7，解： 。
又，
8，（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解：，
即 ，将代入上式并整理得
解得，舍去负值得，
设AB边上的高为CD.
则AB=AD+DB=
由AB=3，得CD=2+. 所以AB边上的高等于2+.
A
B
C
a
b
c
PAGE
31高考数学串讲（二） 直线 平面 简单几何体
一，基础知识
1,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法
（1）,运用定义证明(有时要用反证法); （2）,运用平行关系证明;
（3）,运用垂直关系证明; （4）,建立空间直角坐标系,运用空间向量证明
2,空间中的角和距离的计算
（1）,求异面直线所成的角
①,(平移法)过P作,,则与的夹角就是与的夹角;
②,证明(或),则与的夹角为(或);
③,求与所成的角(),再化为异面直线与所成的角().
（2）,求直线与平面所成的角
①(定义法)若直线在平面内的射影是直线,则与的夹角就是与的夹角;
②,证明(或),则与的夹角为(或);
③求与的法向量所成的角,则与所成的角为或.
（3）,求二面角
①,(直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过P作AB的垂线,
交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则,故为所求的二面角.
②,(面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形F
的面积为,F在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).
③,(异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角
的平面角,EA在半平面内且于点A,BF在半平面内且FB
AB于B,而,,.
④,(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为
(同类)或(异类).
（4）,求异面直线的距离
①(定义法)求异面直线公垂线段的长;
②(体积法)转化为求几何体的高;
③(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;
④(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;
二，跟踪训练
1，（04湖北）如图，在棱长为1的正方体
中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点。
（I）试确定点F的位置，使得平面；
（II）当平面时，求二面角
的大小（结果用反三角函数值表示）
2，（04北京）如图，在正三棱柱中，
AB＝3，，M为的中点，P是BC上一
点，且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线
长为，设这条最短路线与的交点为N，求：
（I）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（II）PC和NC的长；
（III）平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。
3，（05天津）如图，在斜三棱柱中，
，AB=AC，，侧面
与底面ABC所成的二面角为，E，F分
别是棱，的中点。
（I）求与底面ABC所成的角；
（II）证明：平面；（III）求经过，A，B，C四点的球的体积。
4，（05广东）如图，在四面体中，已知PA=BC=6，
PC=AB=10，AC=8，PB=。F是线段PB上一点，
CF=，点E在线段AB上，且。
（I）证明：平面CEF；
（II）求二面角的大小。
5，（05湖南）如图1，已知ABCD是上，下底边长分别
为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴
折成直二面角，如图2。
（I）证明：；
（II）求二面角的大小。
三，简明提示
1，（I）设，得，当点F是CD的中点时，平面；
（II）二面角的大小为。
2，（I）；（II）；（III）。
3，（I）；（II）略；（III）半径，。
4，（I）由勾股定理得均为直角，得平面ABC，
再用等面积法证明，结合可证；
（II）为所求的二面角的平面角，。
5，（I）建立空间直角坐标系，可证得；（II）用法向量法可求得。
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
A
B
C
P
N
A1
B1
C1
M
A
B
C
F
A1
B1
C1
E
A
B
C
P
E
F
A
O
B
C
O1
D
图1
A
O
B
C
O1
D
图2
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14高考数学串讲（六） 高考解题三引
在高考解题时,若能恰到好处地引入一些有力的工具,会对解题带来很大的帮助.下面
我们来探讨一下几种常用解题工具的引入.
一,引入函数
函数是联系运动与静止,变化与定值的有力工具.解题时,若能恰到好处地引入她,会对
我们的解题工作带来很大的帮助.
问题1,(2005全国Ⅲ)若,,,则
A. B. C. D.
问题2,若实数满足;.求证:.
问题3,(2005华师附中测试题)已知函数,.
(Ⅰ)若,求证:.
(Ⅱ)是否存在实数,使方程有四个不同的实根 若若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.设质
解答:
问题1,解析:由题之模型,我们引入函数,可得.
有(1)当时,,为增函数;(2)当时,,为减函数.
于是得,删除A,D又,知,于是选C.
问题2,分析:将所证的不等式作差变形得,由,
我们设,这样引入了函数,现考虑它的单调性即可.
解:由;.设,引入函数
,可得.
而,得,,得0.(在时取等号)
所以在上为减函数,得=1,
即,于是得.
问题3,解:(Ⅰ)令.
则=
由,得,知在上为增函数.
又在处连续,得在上为增函数,
而,得=0,即.
(Ⅱ)由原方程得 ①,令,并变形得 ②
要方程①有四个不同实根,则要方程②有两个不同正根.
令,它们的图象如右图所示
当两曲线在点=处相切时,由,
得,于是,得切点为,这时
切线方程为,即,
与轴的交点为,要两曲线在轴右边有两个不同交点,
则,即.
所以当时,原方程有四个不同的实根.
评注:本题在解答过程中,3处引入了函数,从而为问题的解决带来了方便.
二,引入直角坐标系
直角坐标系实现了数与形之间的真沟通.引入她,可使我们的解题工作左右逢源.
问题4.(2005山东)设满足约束条件,则使得目标函数的值最大的点()是 .
问题5.(2004湖北)如图,在中,已知.若长为
的线段以点A为中点,问与的夹角取何值时
的值最大 并求出这个最大值.
问题6.(2005天津)某人在山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80
(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线,且点P在直
线上,与水平地面的夹角为,.试问,此人距水平地面多远时,观看塔的视角
最大(不计此人的身高)
问题7,(05重庆) 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；
（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.
解答;
问题4,(2,3) 引入平面直角坐,解决线性规划问题.
问题5,解:如图,建立平面直角坐标系,设,
,则A(0,0),B(,.且,
. 设点,则.
由,
,.
得=.
又,得.于是.
故当,即(与同向)时,最大,其最大值为0.
问题6,解:如图所示,建立平面直角坐标系,则A(200,0)
B(0,220),C(0,300).
直线的方程为,即.
设点,则.
由经过两点的直线的斜率公式得
,
.又由直线PC到直线PB的角的公式得
=.
要使达到最大,只须达到最小.由均值不等式得
.
当且仅当时,上式取得等号,故当时,最大.
这时,点P的纵坐标为.由此实际问题知,,
所以最大时,最大.
故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角最大.
问题7,解:（I）以B为原点,、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.
由于BC=1，BB1=2，AB=，∠BCC1=，
在三棱柱ABC—A1B1C1中有
B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），
设
又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，
则，故异面直线AB、EB1的距离为1.
（II）由已知有故二面角A—EB1—A1的平面角的大小为向量的夹角.
三,引入向量
向量既有方向,又有大小.她是研究现代数学的有力工具.在解高考题时,我们若能引入她,可使解题工作妙不可言.
问题8, 若异面直线所成的角为,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和1的两点,当时,线段AB的长为 .
问题9, 已知都是正数,且,,则函数的最小值是 .
问题10,(04广东)如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,
已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段
AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(I) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(II) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
解答
问题8,解:如图, 由,得
(1)当时,有,
得;
(2)当时,有,得.
问题9,由已知,我们作向量,则,
,.
又,得.
即,于是所求的最小值为1.
问题10,解: （I）以A为原点，
分别为x轴, y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,
则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)
于是,
设向量与平面C1DE垂直，则有
（II）设EC1与FD1所成角为β，则
.
t
y
o
A
B
C
B
x
C
y
A
Q
P
O
A
P
a
l
x
y
C
B
A
B
C
E
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
D1
a
b
A
B
E
F
2
1
D1
C1
B1
A1
F
E
D
C
B
A
x
y
z
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46高考数学串讲（三） 直线 圆 圆锥曲线
一，基础知识
椭圆 双曲线 抛物线
定义 与两个定点的距离的和等于常数 与两个定点的距离的差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定直线的距离相等
标准方程 (或), (或) (或)
参数方程 (或) (或) (或)
焦点 或 或 或
正数a,b,c,p的关系 () ()
离心率
准线 (或) (或) (或)
渐近线 (或)
焦半径 (或) (,),(点在左或下支) (或)
统一定义 到定点的距离与到定的距离之比等于定值 的点的集合 ,(注:焦点要与对应准线配对使用)
二，跟踪训练
1，（05广东）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
2，（05广东）在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落在线段DC上.
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值.
3,(04全国I)双曲线C：（）与直线：相交于两个不同
的点A，B．
（I）求双曲线C的离心率的取值范围；
（II）设直线与轴的交点为P，且，求的值。
4，（05重庆）已知椭圆的方程为，双曲线的左，右焦点分别为的左，右顶点，而的左，右顶点分别是的左，右焦点。
（I）求双曲线的方程；
（II）若直线：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与
的两个交点A和B满足（其中O为原点），求的取值范围。
5，（04广东）设直线与椭圆相交于A，B两点，又与双曲线
相交于C，D两点，C，D三等分线段AB。求直线的方程。
三，简明提示
1，（I）设，则消去得；
（II）
，当，即时，等号成立。
2，解：设点落在上的点处，则折痕所在的直线是线段的垂直平分线
(Ⅰ) 的方程为： ①
点的纵坐标恒为1，代入 ① 得点横坐标为，由：，得
折痕的方程为：得： （其中）②
(II) 若折痕所在直线与轴的交点的纵坐标大于1，则折痕与线段CD有交点
若折痕所在直线与直线的交点的纵坐标小于0，则折痕与线段AB有交点
对于折痕上的点（，）
当时，令，得：，又，所以
即：当时，折痕与线段AD有交点 ③
当时，折痕与线段DC有交点 ④
当时，令，得，又，所以
即：当时，折痕与BC的边有交点 ⑤
当时，折痕与线段AB有交点 ⑥
综合③、④、⑤、⑥。记折痕的长度为
（1） 当时，折痕的两个端点分别在AD、BC上
当时，有最大值=
（2） 当时，折痕的两个端点分别在AB、AD上
设，，则 （）
对求导数，则：
解，得（舍去）或，而
因此：的最大值
从而得到：
（3） 当时，折痕的两个端点分别在AB、CD上
当时，有最大值
综合（1）、（2）、（3），得，当时，有最大值。
3，（I）由，得 ①，有且，
，得的取值范围为；
（II）设，由，得，
有，得，，消去，得。
4，（I）设所求的方程为，则，有；
（II）由有两个不同解得 ①，由有两个不同解得
且 ②，由得，即或 ③
由①，②，③得的取值范围是。
5，解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为
y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：
依题意有，由得
若，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
由
故l的方程为
(ii)当b=0时，由(1)得
故l的方程为
再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
，
，
综上所述，故l的方程为、和。
O
（A）
B
C
D
x
y
PAGE
16高考数学串讲（一） 函数
一，基础知识
1，函数的基本性质：
（1）函数的单调性：①（或）单调递增（或单调递减）；
②单调递增（或单调递减）（或）。
（2）函数的周期性：，则称为的一个为期；若是所有
周期中一个最小的正周期，则称的周期是。
（3）函数的奇偶性：①是偶函数；
②是奇函数。（注：定义域需关于原点对称）。
（4）函数的连续性：在处连续（常数）。
（5）函数图像的对称性：若满足的图像
关于直线对称。
2，函数的图像：①，②，③，④，
⑤，⑥，⑦，⑧的图像。
3，函数的定义域与值域：
①定义域与值域的关系：与互换；
②极值：是的一个极值；
③最值：(i)对于定义域D内的任意,存在,使得,则;
对于定义域D内的任意,存在,使得,则
(ii)在闭区间内连续,则必有最大值与最小值.
(iii) 恒成立或
4，根的分布：若在闭区间内连续，且，
则至少存在一点，使得。
二，跟踪训练
1，（04广东）设函数。
（I）证明：当，且时，；
（II）点P（）（）在曲线上，求曲线在点P处的切线与轴
和轴的正向所围成的三角形面积表达式（用表示）。
2，（04广东）设函数，其中常数为整数。
（I）当为何值时，；
（II）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点
，使。
试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。
3，（05广东）设函数在上满足，，
且在闭区间上，只有。
（I）试判断函数的奇偶性；
（II）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。
4，（05全国III）已知函数。
（I）求的单调区间和值域；
（II）设，函数。若对于任意，总存在
，使得成立，求的取值范围。
5，（05辽宁）函数在区间内可导，导函数是减函数，且。
设，是曲线在点处的切线方程，并设函数
。
（I）用，，表示；
（II）证明：当时，；
三，简明提示
1，（I）由，，可证。
（II）切线方程为，。
2，（I），由，得；
（II）由，，，及
可证。
3，（I）是的对称轴，若是奇函数，有
=，与在上只有矛盾！同理可知它也不是
偶函数；得是非奇非偶函数。
（II）由
，又在上只有，知在上只有2个解，在上只有个解，在上只有400个解，共802个解。
4，（I）当时，是减函数；当时，是增函数。
的值域是。
（II）当时，，有为减函数，，
又，则，得。
5，（I）；
（II）令，得；
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2高考数学串讲（四） 应用问题
一，基础知识
1，概率与统计
（1）等可能性事件的概率（古典概型）。
试验由个基本事件组成，所有结果等可能出现，如果某个事件A包含的结果有个，
那么事件A的概率为。
（2）互斥事件的概率：；
对立事件的概率：。
（3）相互独立事件的概率：①若与互相独立，则；
②如果在一次试验中某事件发生的概率是，则在次独立重复试验中这个事件
恰好发生次的概率为：。
（4）离散型随机变量的分布列与期望：
设离散型随机变量的分布列为：（）
则的期望。
其中①；②。
2，求函数最值的常用方法
（1）一次函数：①根据函数的单调性求解；②运用线性规划的方法求解。
（2）二次函数：①运用配方法求解；②运用数形结合求解。
（3）其它函数：
①配方法：如，求函数的最小值。
配成。
②求导法，运用函数的单调性求解。
③判别式法：如，求的最大值和最小值。
④不等式法：（i），则；（ii）。
⑤换无法：当时，求函数的最小值。
⑥数形结合法。
二，跟踪训练
1，（05江西）A，B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现
正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，规定掷硬币的次数达9次时，或
在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止。设表示游戏终止时掷硬币的次数。
（I）求的取值范围；
（II）求的数学期望。
2，（05广东）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求ξ的数学期望
3，（05湖南）某城市有甲，乙，丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别为
0．4，0．5，0．6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（I）求ξ的分布列及数学期望；
（II）记“函数在区间上单调递增”为事件A，求事件A的概率。
4，（05重庆）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张
券中任抽2张，求：
（I）该顾客中奖的概率；
（II）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布和期望。
5，（04广东）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)。
6，（04辽宁）甲方是一农场，乙方是一工厂。由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入。在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年
利润（元）与年产量（吨）满足函数关系。
若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格），
（I）将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；
（II）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元）。在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格
是多少？
三，简明提示
1， 解：（I）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：
（II）
2，解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 … n-1 n
p …
(II) 的数学希望为
…(1)
…(2)
(1) －(2)得
。
3，解（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件
，。由已知，相互独立，。
客人游览的景点数的可能取什为0，1，2，3，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值
为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3。
=，。则。
（II）由，得，从而。
4，解：（Ⅰ），即该顾客中奖的概率为.
（Ⅱ）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.
0 10 20 50 60
P
故有分布列：
从而期望
5，解：如图，
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
6，解（I）乙方的实际年利润为
=。当时，取得最大值。
（II）设甲方净收入为元，则，将代入得
，得，
令得。
当时，；当时，。所以时，取得最大值。
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30高考数学串讲（共6讲）
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