吉林省长春市新解放学校2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（含答案）

新解放学校2022-2023学年高一下学期4月月考
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗。图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上 下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在中，设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，已知，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为：对应的点到原点的距离。已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列关于复数的说法中正确的有（ ）
A．复数的虚部为 B．复数的共轭复数是
C．复数的的模是 D．复数对应的点在第四象限
10．在中，已知，，，则角的值可能为（ ）
A． B． C． D．
11．下列命题正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台
B．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分一定还是棱柱
C．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体
D．当球心到平面的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆
12．设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．（为任意非零向量）
D．设在中，，，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知复数，，则______．
14．棱长为4的正方体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为______．
15．已知中，，，，则的外接圆面积为___________.
16．在平面向量中有如下定理：设点、、、为同一平面内的点，则、、三点共线的充要条件是：存在实数，使.试利用该定理解答下列问题：如图，在中，点为边的中点，点在边上，且，交于点，设，则__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知复数．
(1)若是实数，求x的值；
(2)若是纯虚数，求x的值.
18．（12分）已知平面向量，，
(1)若，求实数x的值；
(2)若，求实数x的值．
19．（12分）已知，是夹角为的单位向量，设．
(1)求；
(2)求的最小值．
20．（12分）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
21．（12分）如图，已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点A对应的复数为，对应的复数为，是与的交点.
(1)求B点对应的复数；
(2)求M点对应的复数；
(3)求平行四边形OACB的面积.
22．（12分）从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
条件①：；
条件②：
在中，分别为内角的对边，且_________
(1)求；
(2) 若点在上，,,求面积的最大值.
注：若条件①和条件②分别解答，则按第一个解答计分.
新解放学校2022-2023学年高一下学期4月月考
数学
参考答案：
1．B
2．A
3．D
4．D
5．A
6．B
7．C
8．C
9．BD
10．AC
11．CD
12．AD
13．
14．
15．
16．
17．(1) (2)
【详解】（1）因为复数为实数，
所以，得. ———————————————5分
（2）因为复数为纯虚数，
所以，———————————————3分
得. ———————————————2分
18．(1) (2)
【详解】（1）解：因为，且，
所以，——————————————4分
解得；——————————————2分
（2）解：因为，所以，
又且，所以，——————————————4分
解得．——————————————2分
19．(1) (2)
【详解】（1）由向量，是夹角为的单位向量，可得．
且——————————————3分
——————————————3分
（2），—————————————3分
，．
当且仅当时等号成立，
的最小值为．——————————————3分
20．(1)
(2)
【详解】（1）由及正弦定理得，
，—————————3分
又，则，∴，—————————3分
（2）余弦定理得—————————2分
.—————————2分
故的周长为.—————————2分
21．（1）；（2）；（3）10
【详解】(1)因为,分别表示复数,,
—————————2分
B表示的复数为—————————2分
(2)因为表示的复数为,
即点表示的复数为,————————2分
又,所以表示的复数为,
即点表示的复数为————————2分
（3），而，
因为
∴cos∠AOB＝，故sin∠AOB＝————————2分
故
即四边形OACB的面积为10. ————————2分
22．(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）解：选择条件①：
，
由题意可得，
由正弦定理得，————————————2分
由余弦定理可得，
因为，则，，————————————2分
故；————————————2分
选择条件②：因为，由正弦定理得，————————————2分
由余弦定理得，故 ，————————————2分
又A为三角形内角， .————————————2分
（2）解：由（1）得，则，
即，，————————————2分
，
———————2分
，
当且仅当时，的面积取最大值.————————————2分