四川省成都市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题（PDF版含答案）

2022~2023 学年度下期高 2024 届半期考试
数学试卷（理科）
考试时长：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题 5分，共 60分）
1．已知复数 z (m 1) (m 1)i, (m R)为纯虚数，则实数 m 的值为（ ）
（A） 1 （B）1 （C） 0 （D）1或 1
2．在极坐标系中，过点 (1,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）

（A） 1 （B） sin 1 （C） cos 1 （D）
2
3．利用分析法证明不等式M N 成立，只需证明P N 成立即可，则“P N 成立”是“M N 成
立”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要
4．已知 (x , y ) 是圆 x2 y20 0 r
2 上一点，则直线 x0x y0 y r
2 与圆 x2 y2 r2 相切，且(x , y ) 为切点，0 0
x2 y2
类似的，点 (x , y ) 是椭圆 1(a b 0)上一点，则以(x , y ) 为切点，与椭圆相切的切线方程0 0 0 0
a2 b2
为（ ）
x x y y x x y y
（A） x0x y0 y 1 （B） x x y y a
2b2 （C） 0 0 1 （D） 0 0 1 0 0
a2 b2 a2 b2
5．已知复数 z x yi, (x, y R)对应的点在第一象限，z 的实部和虚部分别是双曲线 C 的实轴长和虚
轴长，若 | z | 4，则双曲线 C 的焦距为（ ）
（A） 8 （B） 4 （C） 2 2 （D） 2
x2
6．函数 f (x) 的大致图像为（ ）
ex
y y y y
O x O x O x O x
（A） （B） （C） （D）
x / 4x
7．将圆 x2 y2 1经过伸缩变换 : 后得到的曲线方程为（ ）
y
/ 2y
2
2 2 2 2 x y
2
x2 y2
（A）16x 4y 1 （B） 4x 2y 1 （C） 1 （D） 1
16 4 4 2
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三、解答题（共 70 分）
17．（本小题 10分）已知曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 3，A, B 是曲线 C 上不同的两点，且
OA 2OB，其中O 为极点．
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点 B 的极径．
18.（本小题 12 分）某企业生产的某种乳制品的蛋白质含量 x（%）与生产成本 y（元）之间的数据
如下表：
x 0 0.69 1.39 1.79 2.40 2.56 2.94
y 19 32 40 44 52 53 54
已知生产成本 y 与产品蛋白质含量 x 之间具有线性相关关系.
（Ⅰ）求生产成本 y 关于蛋白质含量 x 的回归方程；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，若公司准备将生产成本提高到 60至 70 元，则判断生产的乳制品蛋
白质含量的取值范围．（精确到小数点后两位）
n
(xi x)(y y) i
参考公式： b i 1 .
n
(x x)2i
i 1
7 7
参考数据： x 1.68, (x x)2i 6.79, (xi x)(yi y) 81.41．
i 1 i 1
19．（本小题 12 分）函数 f (x) ex (x2 ax a) ．
（Ⅰ）若 x 1是函数 f (x)的极值点，求 a 的值，并判断 x 1是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）求函数 f (x)的单调区间．
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20．（本小题 12 分）在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PAB 为边长为 2的正三角形，且
平面 PAB 平面 ABCD，E 为线段 AD 的中点，PE 与平面 ABCD 所成角为 45 ．
（Ⅰ）求证：平面 PCE 平面 PBC ；
（Ⅱ）求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值． P
B C
A
E D
21．（本小题 12 分）已知过点 (0,2)的直线与抛物线 x2 4y 相交于A, B 两点，M 为线段AB 的中点，
过 M 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 N．
（1）若抛物线在 N 点处的切线的斜率等于 2，求直线 AB 的方程；
（2）设 D(0,11)，求 DAB 与 NAB面积之差的最大值．
1
22．（本题 12 分）已知函数 f (x) x (ln x)2 ．
x
（Ⅰ）求函数 f (x)的最小值；
n 1 2n 1
（Ⅱ）证明不等式 * ln （n N ）．
k k n
k 1 2 (2 1) 2 1
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2022~2023 学年度下期高 2024届半期考试
数学试卷（理科）（参考答案）
一、选择题（每小题 5分，共 60分）
BCADB ACDBB CA
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13． i 14． 2 3 15． (0,+ ) 16．①③④
三、解答题（共 70 分）
17．解：（Ⅰ）由 2 = x2 + y2 , cos = x， ……………2 分
得： x2 + y2 = 4x 3 ，
所以曲线 C 的直角坐标方程为 (x 2)2 + y2 =1， ……………5 分
（Ⅱ）设 B( , ) ，则由题意可知 A(2 , ) ，
4
2 = 8 cos 3
将 A,B 坐标代入方程 2 = 4 cos 3得： ，
2
= 4 cos 3
4 2 2 2
6
= 3，得 = ， ……………8 分
2
6
B 的极径为 ． ……………10 分
2
18.解：（Ⅰ）由题中数据可得 y = 42， ……………2分

设生产成本 y 关于蛋白质含量 x 的回归方程为 y = b x + a ，
7
(xi x)(y i y)
b = i=1
81.41
= =11.99， ……………4分
7
2 6.79 (xi x)
i=1

a = y b x = 42 11.99 1.68 = 21.86 ，
所以回归方程为 y =11.99x + 21.86， ……………6分
（Ⅱ）当 y = 60 时，由（1）得11.99x + 21.86 = 60.
解得 x 3.18， ……………8分
当 y = 70 时，由（1）得11.99x + 21.86 = 70.
解得 x 4.02 ， ……………10分
所以生产的乳制品蛋白质含量的取值范围为[3.18,4.02] . ……………12分
19．解：（Ⅰ） f / (x) = ex (x2 ax a + 2x a) = ex (x + 2)(x a)，
x =1是函数 f (x) 的极值点，
f / (1) = e(1+ 2)(1 a) = 0，
6
所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为 ． …………12 分
6
21．解：（1）设直线 AB 方程为 y = kx + 2， A(x1, y1), B(x2 , y2 )，
y = kx + 2
联立 2 x 4kx 8 = 0 ， x + x = 4k, x x = 8， …………2 分 2 1 2 1 2
x = 4y
N (2k,k 2 ) ， …………3 分
x2 / x函数 y = 的导函数为 y = ，
4 2
2k
所以抛物线在 N 点处的切线的斜率为 ，
2
2k
= 2，即 k =1
2
lAB : y = x+ 2； …………5 分
（2）由（1）问可得 | AB |= 1+ k 2 16k 2 +32 ，
| k 2 + 2 |
点 N (2k, k 2 ) 到直线 AB 的距离为 ，
1+ k 2
9
点 D(0,11)到直线 AB 的距离为 ，
1+ k 2
S = S S =18 k 2 DAB NAB + 2 2 k
2 + 2 (k 2 + 2) ， …………8 分
令 t = k 2 + 2 2 ，
S =18t 2t3 ，令函数 f (t) =18t 2t3 ，
f / (t) =18 6t 2 = 6(3 t 2 )，
所以函数 f (t)在区间[ 2, 3]上递增，在 [ 3,+ )上递减，
t = 3，即 k = 1时， DAB 与 NAB面积之差取得最大值12 3 ．…………12 分
/ 1 ln x 1 122．解：（Ⅰ） f (x) =1 2 = (x 2ln x) ，
x2 x x x
1 1 2 x2 2x +1 (x 1)2
令函数 g(x) = x 2ln x ，则 g / (x) =1+ = = 0，
x x2 x x x
所以函数 g(x)在区间 (0,+ ) 上单调递增， …………2 分
又 g(1) = 0 ，
当 x (0,1)时， g(x) 0，即 f / (x) 0 ，
当 x (1,+ )时， g(x) 0 ，即 f / (x) 0 ，
所以函数 f (x)在 (0,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增，
f (x) = f (1) = 2， …………4 分 min
1 1
（Ⅱ）由（Ⅰ）问知 x + (ln x)2 2，即 ( x )2 (ln x)2 ，
x x
1
所以当 x 1时， x ln x成立， …………5 分
x
n 1 2n+1
现用数学归纳法证明： ln
k n
k=1 2 (2k +1) 2 +1
4 2 3 1 1
当 n =1时， ln = 成立，
3 3 2 2 3 6
1 1 2k+1
假设当 n = k 时，不等式 + + ln 成立，
k
21 (21 +1) 2k (2k +1) 2 +1
1 1 1 2k+1 1
则当 n = k +1时， + + + ln + ，
21 (21 +1) 2k (2k
k
+1) 2k+1(2k+1 +1) 2 +1 2k+1(2k+1 +1)
1 1 1 2k+2
要证明 + + + ln ，
1 1 k k k+12 (2 +1) 2 (2 +1) 2k+1(2k+1 +1) 2 +1
2k+1 1 2k+2
ln + ln ， …………7 分
2k +1 2k+1(2k+1 2
k+1
+1) +1
2k+2 2k+1 1
ln ln ，
2k+1 +1 2k +1 2k+1(2k+1 +1)
2k+1 + 2 1 2k+1 + 2 k+1 2 x ln ，令 x = ，则 2 =
2k+1 +1 2k+1(2k+1 +1) 2
k+1 +1 x 1
1 x 1 1
ln x = ， ln x x
2 x 1 2 x x

x 1 x 1
1 x 1
x ，
x 2 x
1 1
，
x 2 x
x 2 x ， x 1 …………10 分
2k+1 + 2 6
x = (1, ) ，
2k+1 +1 5
x 1，成立，
1 1 1 2k+2
+ + + ln 成立，
k+1
21 (21 +1) 2k (2k +1) 2k+1(2k+1 +1) 2 +1
n 1 2n+1*
综上，对 n N ，均有不等式 ln 成立．…………12 分
2k k
n
k=1 (2 +1) 2 +1