四川省成都市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（文）试题（PDF版含答案）

2022~2023 学年度下期高 2024 届半期考试
数学试卷（文科）
考试时长：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．已知复数 z (m 1) (m 1)i, (m R)为纯虚数，则实数 m 的值为（ ）
（A） 1 （B）1 （C） 0 （D）1或 1
2．在极坐标系中，以极点为圆心，1 为半径的圆的极坐标方程为（ ）

（A） cos 1 （B） sin 1 （C） 1 （D）
4
3．利用分析法证明不等式M N 成立，只需证明 P N 成立即可，则“ P N 成立”是“M N 成
立”的（ ）
（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要
4．已知 (x 是圆 20 , y0 ) x y
2 r2 上一点，则直线 x0x y
2 与圆 2 2
0 y r x y r
2 相切，且 (x , y ) 为切点，0 0
x2 y2
类似的，点 (x0 , y 是椭圆0 ) 1(a b 0)上一点，则以 (x0 , y ) 为切点，与椭圆相切的切线方程 2 2 0a b
为（ ）
x x y y x x y y
（A） x0x y y 1 （B）0 x0x y y a
2b2 （C） 0 0 1 （D） 0 00 1
a2 b2 a2 b2
5．已知复数 z x yi, (x, y R)对应的点在第一象限，z 的实部和虚部分别是双曲线 C 的实轴长和虚
轴长，若 | z | 4 ，则双曲线 C 的焦距为（ ）
（A）8 （B） 4 （C） 2 2 （D） 2
x2
6．函数 f (x) 的大致图像为（ ）
ex
y y y y
O x O x O x O x
（A） （B） （C） （D）
7．已知函数 f (x) x3 f / (1)x2 ，则 f / (1) （ ）
3 3
（A） （B） （C）3 （D） 3
2 2
x / 4x
8．将圆 x2 y2 1经过坐标变换 : 后得到的曲线方程为（ ）
/
y 2y
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三、解答题（共 70 分）
17．（本小题 10 分）已知曲线 C 的极坐标方程为 2 4 cos 3，A, B 是曲线 C 上不同的两点，且
OA 2OB，其中O 为极点．
（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点 B 的极径．
18.（本小题 12 分）某企业生产的某种乳制品的蛋白质含量 x（%）与生产成本 y（元）之间的数据
如下表：
x 0 0.69 1.39 1.79 2.40 2.56 2.94
y 19 32 40 44 52 53 54
已知生产成本 y 与产品蛋白质含量 x 之间具有线性相关关系.
（Ⅰ）求生产成本 y 关于蛋白质含量 x 的回归方程；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，若公司准备将生产成本提高到 60至 70 元，则判断生产的乳制品蛋
白质含量的取值范围．（精确到小数点后两位）
n
(xi x)(yi y)
参考公式：b i 1 .
n
(xi x)
2
i 1
7 7
参考数据： x 1.68, (xi x)
2 6.79, (xi x)(yi y) 81.41．
i 1 i 1
19．（本小题 12 分）函数 f (x) ex (x2 ax a) ．
（Ⅰ）若 x 1是函数 f (x)的极值点，求 a 的值，并判断 x 1是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）求函数 f (x)的单调区间．
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20.（本小题 12 分）在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PAB 为边长为 2 的正三角形，且
平面 PAB 平面 ABCD，E 为线段 AD 的中点，PE 与平面 ABCD 所成角为 45 ．
（Ⅰ）证明： EP EC ；
（Ⅱ）求证：平面 PCE 平面 PBC ． P
F
B C
A E D
21．（本小题 12 分）已知过点 (0,2)的直线与抛物线 x2 4y 相交于 A, B 两点，M 为线段 AB 的中点，
过 M 作 x 轴的垂线与抛物线交于点 N．
（1）若抛物线在 N 点处的切线的斜率等于 2，求直线 AB 的方程；
（2）设 D(0,11) ，求 DAB 与 NAB面积之差的最大值．
1 1
22．（本小题 12 分）函数 f (x) ln x ax2 (a 2)x a 3，其中 a 1．
2 2
（Ⅰ）若函数 f (x)在区间[x1, x2 ]上单调递减，求 x2 x 的最大值； 1
（Ⅱ）曲线 C： y f (x)在 (1,1) 处的切线为 l ，若直线 l 与曲线 C 有且仅有一个公共点，求 a 满足的
条件．
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2022~2023 学年度下期高 2024 届半期考试
数学试卷（文科）（参考答案）
一、选择题（每小题 5分，共 60分）
BCADB ADCDB AC
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13． i 14． 2 3 15． (0,+ ) 16．①③④
三、解答题（共 70 分）
17．解：（Ⅰ）由 2 = x2 + y2 , cos = x， ……………2 分
得： x2 + y2 = 4x 3 ，
所以曲线 C 的直角坐标方程为 (x 2)2 + y2 =1， ……………5 分
（Ⅱ）设 B( , ) ，则由题意可知 A(2 , ) ，
4
2 = 8 cos 3
将 A,B 坐标代入方程 2 = 4 cos 3得： ，
2
= 4 cos 3
2 6 4 2 2 = 3，得 = ， ……………8 分
2
6
B 的极径为 ． ……………10 分
2
18.解：（Ⅰ）由题中数据可得 y = 42， ……………2分

设生产成本 y 关于蛋白质含量 x 的回归方程为 y = b x + a ，
7
(xi x)(yi y) 81.41
b = i=1 = =11.99， ……………4分
7 6.79
(xi x)
2
i=1

a = y b x = 42 11.99 1.68 = 21.86 ，
所以回归方程为 y =11.99x + 21.86， ……………6分
（Ⅱ）当 y = 60 时，由（1）得11.99x + 21.86 = 60.
解得 x 3.18， ……………8分
当 y = 70 时，由（1）得11.99x + 21.86 = 70.
解得 x 4.02 ， ……………10分
所以生产的乳制品蛋白质含量的取值范围为[3.18,4.02] . ……………12分
19．解：（Ⅰ） f / (x) = ex (x2 ax a + 2x a) = ex (x + 2)(x a)，
x =1是函数 f (x) 的极值点，
y = kx + 2
联立 x
2 4kx 8 = 0 ， x + x = 4k, x x = 8， …………2 分
2 1 2 1 2
x = 4y
N (2k,k 2 ) ， …………3 分
x2 x
函数 y = 的导函数为 y / = ，
4 2
2k
所以抛物线在 N 点处的切线的斜率为 ，
2
2k
= 2，即 k =1
2
l ； …………5 分 AB : y = x+ 2
（2）由（1）问可得 | AB |= 1+ k 2 16k 2 +32 ，
| k 2 + 2 |
点 N (2k, k 2 ) 到直线 AB 的距离为 ，
1+ k 2
9
点 D(0,11)到直线 AB 的距离为 ，
1+ k 2
S = S S =18 k 2 + 2 2 k 2 + 2 (k 2 + 2) ， …………8 分 DAB NAB
令 t = k 2 + 2 2 ，
S =18t 2t3 ，令函数 f (t) =18t 2t3
f / (t) =18 6t 2 = 6(3 t 2 )，
所以函数 f (t)在区间[ 2, 3]上递增，在 [ 3,+ )上递减，
t = 3，即 k = 1时， DAB 与 NAB面积之差取得最大值12 3 ．…………12 分
2
22．解：（Ⅰ） f /
1 ax (a + 2)x +1
(x) = + ax (a + 2) = ，
x x
= (a + 2)2 4a = a2 + 4 0 ，且 a 1，
ax2 (a + 2)x +1= 0 在 (0,+ ) 上有两个不同的根 x1, x ， 2
据题可得 ax2 (a + 2)x +1 0 的解集为[x1, x ， 2 ]
2 1
x1 + x2 =1+ , x1x2 = ，
a a
4
x2 x1 = (x + x
2
1 2 ) 4x1x2 = 1+ 5
a2
所以 x x 的最大值为2 1 5 ．
（Ⅱ） f / (1) = 1，
所以直线 l : y = x+ 2，
又直线 l 与曲线 C 有且仅有一个公共点，
1 1
ln x + ax2 (a + 2)x + a +3 = x + 2 在 (0,+ ) 上有唯一根 x =1
2 2
1 1
令函数 g(x) = ln x + ax2 (a +1)x + a +1，
2 2
1 ax2/ (a +1)x +1 (x 1)(ax 1)g (x) = + ax (a +1) = = ，
x x x
当 a =1时，函数 g(x)在 (0,+ ) 上单调递增，且 g(1) = 0，满足条件，
1 1
当 a 1时，函数 g(x)在 (0, ) 上单调递增，在 ( ,1)上单调递减，在 (1,+ )上单调递增，
a a
1
当 x → 0时， g(x) → ，所以 x0 (0, ) ，使 g(x ) = 0，所以不满足条件， 0
a
综上得 a 满足的条件为 a =1．