湖北省部分普通高中联盟2022-2023学年度下学期期中联考
高二数学答案及评分标准
一、选择题。（每小题 5 分，共 8 小题，总分 40 分。）
1 2 3 4 5 6 7 8
A B B D C C A D
二、选择题。（每小题 5 分，共 4 小题，总分 20 分。）
9 10 11 12
ACD CD BCD BD
三、填空题。（每小题 5 分，共 4 小题，总分 20 分。）
13. x 2（填3x 4y 2 0也对）
4
14.
5
8
15.
5
3
16.
e
四、解答题。（第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分，共 6 小题，总分 70 分。）
3 2 2
17.（10 分）（1） f x x 3x 1， f x 3x 6x，..............。。。。。.......1 分
∵ f 1 3, f 1 9，则切点坐标为 1, 3 ，切线斜率 k 9，.................3 分
∴函数 y f x 的图象在 x= 1处的切线方程为 y 3 9 x 1 ，即9x y 6 0.......5 分
（2）令 f (x) > 0，解得 x 2或 x 0，
故 f x 在 , 0 , 2, 上单调递增，在 0,2 上单调递减，.......................7 分
则 f x 在 x=0处取得极大值，
在 x 2处取得极小值，.......................................................9 分
极大值为 f 0 1，
极小值为 f 2 23 3 22 1 8 12 1 3.................................10 分
1
18.（12 分）（1）解：因为 S 2n n n,
所以 n 2时， S n 1 2 n 1 , ..........................................2 分n 1
两式作差得，an 2n，所以 n 2时，an 2n，..................................4 分
又 n 1时，得 a1 2，符合上式，..............................................5 分
所以 an 的通项公式为 an 2n．...............................................6 分
1 1 1 1 1 1 1
（2）解：由（1）知bn a a ，..........8 分n n 1 2n 2(n 1) 4 n(n 1) 4 n n 1
所以Tn b1 b2 b3 bn
1
1 1 1 1 1 1 1 1
4 2
2 3
3 4
.................................10 分
n n 1
1 (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ) (1 )
4 2 2 3 3 4 n n 1 4 n 1 4( n 1) ，
即数列 bn 的前 n项和 n ．..........................................12 分Tn 4 n 1
19.（12 分）（1）因为 an 3an 1 2 n 2, n N* ，
所以 an 1 3 an 1 1 ，.......................................................3 分
又 a1 1 2，................................................................4 分
所以 an 1 是以 2为首项，以 3为公比的等比数列；..............................5 分
（2）由（1）知 an 1 2 3
n 1
，故 an 2 3
n 1 1，.................................6 分
所以bn 2n 1 2 3n 1 2 3n 1 1 4 2n 1 3n，..............................7 分3
故 S
4
n 3 3 5 3
2 7 33 2n 1 3n ，..................................8 分3
4 2 3 n n 1
则3Sn 3 3 5 3 2n 1 3 2n 1 3 ，3
两式相减得 2S
4
n 3 3 2 3
2 2 33 2 3n 2n 1 3n 1 ..................10 分3
n
4 18 2 3n 1 8n 3 ，................................11 分9 2n 1 3n 13 1 3
n
所以 Sn 4n 3 .............................................................12 分
2
20.（12 分）（1）证明:因为四边形 ABCD是圆柱OO1的轴截面,所以 AD 平面 ABP ,
因为 BP 平面 ABP ,所以 AD BP ,.........................................................................................2分
因为 AB为底面圆的直径,所以 BP AP ,
因为 AP 平面 PAD , AD 平面 PAD ,且 AP AD A ,........................................................4 分
所以 BP 平面 PAD ,得证;.........................................................................................................5分
（2）由圆柱OO1的底面圆的半径 OA=2,圆柱的高为 2 3 ,
即 AD 2 3, AB 4 ,当三棱锥 D-APB体积最大时,
即底面△APB面积最大,即PO AB ,
连接OO1 ,可知OO1 平面 ABP ,................................................................................................6 分
以O为原点,OP,OB,OO1方向分别为 x, y, z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:
故可知: A 0, 2,0 ,D 0, 2,2 3 ,B 0,2,0 ,P 2,0,0 ,
所以G 1, 1, 3 ,AG 1,1, 3 , AP 2,2,0 ,AB 0,4,0 ,..................................................7分
记平面 PAG法向量m x1, y1, z1 ,
m
AP 0 2x1 2y1 0
所以 ,即 ,取 x1 1 ,可得m 1, 1,0 ,.........................................9 分
m AG 0 x1 y1 3z1 0
记平面 BAG法向量 n x2 , y2 , z2 ,
n AB 0 4y 0
所以
2
,即 ,取 x2 3 ,可得 n 3,0, 1 ,................................10 分
n AG 0 x2 y2 3z2 0
m n 3 6 6
所以 cos m,n m n 2 4 4 ,故平面 PAG与平面 BAG夹角的余弦值为 ......12分 4
3
F p 21.（12 分）（1）由题意，得 ,0 ，因为 | AB | 4，AB x轴，..................................1 分
2
p p 2 p
不妨设 A , 2 ,B , 2 ，代入抛物线，得 2 2 p p 2 p 0 ，.........................3 分
2 2 2
所以抛物线 的方程为 y2 4x；..............................................................................................4 分
（2） A 1,2 ,B 1, 2 ，准线为 x= 1，K 1,0 ，
y2 y2
设C 1 , y1 ,D 2 , y2 , y1 2, y2 2,
4 4
y 2 y1 2 4 2 x 1 x 1 直线 AC为 y1 1 y1 2 ①，................................................................5 分
4
y 2
直线 BD为 y 2 22 x 1
4
x 1 ②，.........................................................6 分
y2 1 y2 2
4
x y1y2 y1 y
2
y1 y2 4 y1y2 y1 y2 2 y1 y①② E , 2 联立 ，解得
2 y y
，即 ，.............................7 分
1 2 y1 y2 4 y1 y2 4
y
y1 y2 4
y 2 y2 2 4 2 x 1 x 1直线 AD 为 y2 y2 2 ③，.................................................................81 分
4
y 2 4
直线 BC为 y 2 12 x 1 x 1 ②，..........................................................9 分y1 1 y1 2
4
x y1y2 y2 y 1
y2 y1 4 G y1y2 y2 y1
2
, y y 联立③④ 1 2，解得 2 y y ，即 ，...........................10 分 1 2 y2 y1 4 y y 4
y
2 1
y2 y1 4
2 y1 y2
EK K y1 y2 4
2 y y
直线 的斜率 1 2
EK y1y2 y1 y2 1 y1y2 4
y1 y2 4
2 y1 y2
2 y y
直线 GK的斜率K y2 y1 4
1 2
GK y1y
，
2 y2 y1 1 y1y2 4
y2 y1 4
则直线 EK的斜率与直线 GK的斜率相同，所以 E、G、K三点共线.................................12 分
4
22.（12 分）（1） f x lnx a 定义域为 0, ， f (x) 1 a x a 2 ，x x x x2
当 a 0时， f (x) 0在 0, 上恒成立，所以 f x 在 0, 上单调递增；...................2 分
当 a 0时，当 x (0,a)时， f (x) 0；当 x (a, )时， f (x) 0，所以 f x 在 (0,a)上单
调递减，在 (a, ) 单调递增........................................................................................................5 分
a
（2）由题意知： lnx 2在 x 0,e2
x
上恒成立，
即：a 2x xlnx在 0,e2 上恒成立，......................................................................................6 分
令 g x 2x xlnx，则 g x 1 ln x，由 g (x) 0，得 x e，............................................8 分
当 x (0,e)时， g (x) 0，当 x (e,e2]时， g (x) 0，.........................................................9 分
g x 在 (0, e)上单调递增，在 (e,e2 ]上单调递减，.............................................................10 分
g x g e 2e elne emax ，............................................................................................11 分
只需 a e，所以实数 a e,+ 的取值范围是 .........................................................................12 分
5湖北省部分普通高中联盟2022-2023学年度下学期期中联考
高二数学试卷
考试时间：2023年4月21日上午8：00-10：00 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项:
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。
2、回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等比数列的前项和是，且，则（ ）
A．32 B．30 C．28 D．24
4．如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（ ）
B．
C． D．
5．等比数列的前项和为，，，则为（ ）
A．28或21 B．32 C．28 D．21
6．已知为等差数列的前n项和，若，，则当取得最大值时，n的取值为（ ）
A．18 B．16 C．9 D．7
7．函数的大致图像为（ ）
A．B．C． D．
8．设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．已知是椭圆上一点，是左 右焦点，下列选项中正确的是（ ）
A． B．椭圆的焦距为2
C．椭圆的离心率 D．的面积的最大值是2
10．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（ ）
A.在区间上，单调递增 B．在区间上，单调递增
C.在区间上，单调递增 D．在区间上，单调递增
11．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A． B．
C． D．不存在正整数，使得为质数
12．已知函数，则（ ）
A．当时，函数的极大值为
B．若函数图象的对称中心为，则
C．若函数在上单调递增，则或
D．函数必有3个零点
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．写出过点且与圆相切的一条直线的方程______．
14．设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，且，则_________.
15．若，是双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则______．
16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________.
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知函数.
(1)求函数的图象在处的切线方程；
(2)求的极值.
18．已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，为数列的前n项和，求．
20．如图,四边形ABCD是圆柱的轴截面,点P是圆柱的底面圆周上的一个动点,G是DP的中点,圆柱的底面圆的半径OA=2,圆柱的高为.
(1)求证:BP⊥平面PAD;
(2)当三棱锥D-APB体积最大时,求平面PAG与平面BAG夹角的余弦值.
21．点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K．
(1)求抛物线的方程；
(2)设C、D是抛物线上异于A、B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E、G、K三点共线．
22．已知函数（为常数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
