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专题16 圆
【考情预测】
该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考生来说也是难点，分值为12分左右。预计2023年浙江各地中考肯定还是考查的重点在选择、填空题中考查三角形的外心、正多边形、弧长、扇形面积，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【考点梳理】
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr 点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
八、正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
九、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
【重难点突破】
考点1. 圆的基本认识
【解题技巧】
1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
3．在同一个圆中，直径是最长的弦．
4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．
5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．
【典例精析】
例1.（2021·湖南娄底市·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
【答案】
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，圆心角所对的弧长比半径大，
，故答案是：．
【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．
例2.（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【答案】C
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2，
∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，故选C．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·甘肃兰州市·中考模拟）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
【解析】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B．
变式2．（2022·黑龙江·大庆市九年级期末）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
【答案】
【分析】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，由勾股定理可得的长度，由三角形中位线定理可知，可以推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆．
【详解】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，∴，
，，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，
点M的运动路径长，故答案为：．
【点睛】本题考查了轨迹、点按一定规律运动所形成的的圆形为点运动的轨迹、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、圆的周长的计算等知识点，解答本题的关键是作出辅助线，正确寻找点的运动轨迹．
变式3．（2023·山东临沂市·中考模拟）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
【答案】
【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.
【详解】解：根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），∴OA==，∵圆O的半径为1，∴AB=OA-OB=，
∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，故答案为：.
【点睛】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
考点2. 垂径定理
【解题技巧】
1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．
2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．
【典例精析】
例1.（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
【答案】7.5
【分析】如详解中图所示，将题中主视图做出来，用垂径定理、勾股定理计算即可.
【详解】如下图所示，设球的半径为rcm，则OG=EG-r=EF-GF-r=EF-AB-r=32-20-r=（12-r）cm，
∵EG过圆心，且垂直于AD，∴G为AD的中点，则AG=0.5AD=0.5×12=6cm，
在中，由勾股定理可得，，即，解方程得r=7.5，
则球的半径为7.5cm．
【点睛】本题考查了主视图、垂径定理和勾股定理的运用，准确做出立体图形的主视图是解题的关键．
例2.（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．
【详解】解：∵是的直径，弦于点E，∴
在中，，∴
∴，故选项A错误，不符合题意；
又 ∴ ∴，故选项B正确，符合题意；
又 ∴
∵ ∴，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴，故选项D错误，不符合题意；故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．
【变式训练】
变式1．（2022·安徽·中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】D
【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，
则，，∵PA＝4，PB＝6，∴，
∴，∴，
在中，，
在中，，故选：D
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
变式2．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
【答案】7
【分析】根据垂径定理可得垂直平分，根据题意可得平方，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，
A、B、C是上的点，，，
D为OC的中点，，四边形是菱形，，
．故答案为：7．
【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的性质与判定，掌握垂径定理是解题的关键．
变式3．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
【答案】26
【分析】令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，根据勾股定理求出OC2+BC2=OB2，进而求出半径．
【详解】解：如图，由题意，得OD垂直平分AB，∴BC=10厘米，令圆O的半径为OB=r，则OC=r-2，
在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2，∴（r-2）2+102=r2，解得r=26．故答案为：26．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，熟练地掌握圆的基本性质是解决问题的关键．
考点3. 弧、弦、圆心角、圆周角
【解题技巧】
1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．
2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．
【典例精析】
例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【答案】B
【分析】利用圆周角直接可得答案．
【详解】解： ∠BOC＝130°，点A在上， 故选B
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．
例2．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC=50°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，进而可以得到答案．
【详解】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO=90°，∠AEO=90°，
∵∠DOE=130°，∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，故选：B．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【变式训练】
变式1．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．
【详解】解：连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于，∴ ∴ 故选：B．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
变式2．（2021·浙江中考真题）如图，已知点是的外心，∠，连结，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题意，据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．
【详解】的外接圆如下图
∵∠∴ 故选：C．
【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解．
变式3．（2022·四川雅安·中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____．
【答案】##144度
【分析】先求解 再利用圆的内接四边形的性质求解 再利用圆周角定理可得的大小.
【详解】解：∠DCE＝72°，
四边形ABCD是⊙O内接四边形，
故答案为：
【点睛】本题考查的是邻补角的含义，圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，熟练掌握圆中的圆周角定理与圆的内接四边形的性质是解本题的关键.
变式4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得，从而得到∠ADB=∠BDC，故①正确；根据点是上一动点，可得不一定等于，故②错误；当最长时，DB为圆O的直径，可得∠BCD=90°，再由是等边的外接圆，可得∠ABD=∠CBD=30°，可得，故③正确；延长DA至点E，使AE=AD，证明△ABE≌△CBD，可得BD=AE，∠ABE=∠DBC，从而得到△BDE是等边三角形，可得到DE=BD，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，∴，∴∠ADB=∠BDC，故①正确；
∵点是上一动点，∴不一定等于，∴DA=DC不一定成立，故②错误；
当最长时，DB为圆O的直径，∴∠BCD=90°，
∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，
∴BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴，故③正确；
如图，延长DA至点E，使AE=DC，
∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD，
∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC，
∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD，
∵DE=AD+AE=AD+CD，∴，故④正确；∴正确的有3个．故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
考点4.点、直线与圆的位置关系
【解题技巧】
1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．
2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．
【典例精析】
例1.（2022·浙江柯桥·九年级期末）已知O与点P在同一平面内，如果O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在O上 B．点P在O内 C．点P在O外 D．无法判断点P与O的位置关系
【答案】C
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d 【详解】解：∵⊙O的直径为6，∴r=3，∵OP=4>3，∴点P在⊙O外，故选：C．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d =r时，点在圆上，当d例2.（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
【变式训练】
变式1．（2021·上海中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可
【详解】
∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1∴圆A的半径为5
∵<5∴点D在圆A内 在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上 故选：C
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，掌握点与圆的位置关系是关键
变式2．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为_________．
【答案】2．
【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC=，可求OA=2，OD=，在Rt△AOD中，由勾股定理，可证△OAC∽△DAO，由相似三角形性质可求即可．
【详解】解：过O作OE⊥AB于C，∵AB为弦，∴AC=BC=，
∵直线与相交于A，B两点，
∴当y=0时，，解得x=-2，∴OA=2，∴当x=0时，，∴OD=，
在Rt△AOD中，由勾股定理，
∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，∴△OAC∽△DAO，
即，∴AB=2AC=2，故答案为2．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．
变式3．（2021·青海中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．
【答案】或
【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】设的半径为 当点在外时，根据题意得： ∴
当点在内时，根据题意得： ∴ 故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
考点5. 切线的性质与判定
【解题技巧】
有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．
【典例精析】
例1．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．
【答案】或
【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
【详解】解：连接OA，
①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，设圆的半径=r，∴OA=r，OC=4-r，
∵AC=4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=，即AD=AO=；
②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AO AC=OC AD，∴AD=，∵AO=，AC=2，OC=4-r=，∴AD=，
综上所述，AD的长为或，故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
例2．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作，垂足为F．
(1)求证：；(2)若，，求AD的长．
【答案】(1)见解析(2)1
【分析】（1）连接OE，根据已知条件和切线的性质证明四边形OFCE是矩形，再根据矩形的性质证明即可；（2）根据题意，结合（1）可知，再由直角三角形中“30°角所对的直角边是斜边的一般”的性质，可推导，最后由计算AD的长即可．
(1)解：如图，连接OE，
∵AC切半圆O于点E，
∴OE⊥AC，
∵OF⊥BC，，
∴∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°．
∴四边形OFCE是矩形，
∴OF＝EC；
(2)∵，
∴，
∵，OE⊥AC，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及含30°角的直角三角形性质等知识，正确作出辅助线并灵活运用相关性质是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则______度．
【答案】85
【分析】连结OO′，先证△BOO′为等边三角形，求出∠AOB=∠OBO′=60°，由与的边相切，可求∠CBO==30°，利用三角形内角和公式即可求解．
【详解】解：连结OO′，∵将绕点按顺时针方向旋转得到，
∴BO′=BO=OO′，∴△BOO′为等边三角形，∴∠OBO′=60°，
∵与的边相切，∴∠OBA=∠O′BA′=90°，∴∠CBO=90°-∠OBO′=90°-60°=30°，
∵∠A′=25°∴∠A′O′B=90°-∠A′=90°-25°=65°∴∠AOB=∠A′O′B=65°，
∴∠OCB=180°-∠COB-∠OBC=180°-65°-30°=85°．故答案为85．
【点睛】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键．
变式2．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
【答案】
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，∵分别与相切于点C，D，∴，
∵，，
∴，∴的长=（cm），故答案为：．
．
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
变式3．（2022·山东潍坊·中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于P，Q两点，与直线交于B，C两点，恰有，连接．
(1)求证：为的切线；(2)筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到，参考值：）．
【答案】(1)答案见解析(2)
【分析】（1）连接 并延长交 于，根据为的直径可以得到 ，继而得到 ，根据可证，可以得到，利用等量代换即可证明为的切线；（2）根据，解出 ，根据 为的直径得到 ，进而得出，，又根据 得出，故可得到 ，过作交于，于是在等腰中，根据锐角三角函数求出长，进而求出最大深度．
(1)证明：连接 并延长交 于，连接BM，
为的直径，，，
，，又∵∠D=∠D，，，
又，，，为的切线；
(2)解：如图所示，
，，，
是的直径，， ， ，
，，
，， ，
，过作交于，
为等腰直角三角形，，，
．
【点睛】本题主要考查圆的切线的判断，等腰三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握公式定理并且灵活应用是解题的关键．
考点6. 三角形的内切圆与外接圆
【典例精析】
例1．（2021·浙江拱墅·二模）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝___．（用含a的代数式表示）
【答案】
【分析】过点O作OF∥BD交AB于点F，连接BD，通过三角形内心的性质可得出∠FAO=∠EAC，然后证明△FBO≌△EBO，然后根据成比例线段的性质，根据＝a，得出，BF=BE，，从而得到＝．
【详解】解：过点O作OF∥BD交AB于点F，连接BD，∴∠AOF=∠ADB=∠ACE，
∵点O是△ABC的内心，∴∠FAO=∠EAC，
∴∠AFO=180°-∠FAO-∠AOF=180°-∠EAC-∠ACE=∠AEC，∴∠BFO=∠BEO，
在△FBO和△EBO中，，∴△FBO≌△EBO（AAS），∴OF=OE，BF=BE，
∵∠OBD=∠OBE+∠CBD=∠ABO+∠CAD，∠OBD=∠ABO+∠BAO=∠BOD，
∴OD=OB，∴，∴，∴，
∵∠BAE=∠OAE，∴，∴，
∵＝a，∴，∴，
∵BF=BE，∴， ∴＝．故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的内心的性质，成比例线段的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理．关键是成比例线段的性质的应用．
例2．（2022·山东潍坊·中考真题）（多选题）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线．下列说法正确的是（ ）
A．射线一定过点O B．点O是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则 D．点O不是三条边的垂直平分线的交点
【答案】AC
【分析】根据三角形内切圆的性质逐个判断可得出答案．
【详解】A、以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线，由此可得BP是角平分线，所以射线一定过点O，说法正确，选项符合题意；
B、边DE、EF、DF分别是圆的弦长，所以点O是△DEF三条边的垂直平分线的交点，选项不符合题意；C、当是等边三角形时，可以证得D、F、E分别是边的中点，根据中位线概念可得，选项符合题意；D、边DE、EF、DF分别是圆的弦长，所以点O是△DEF三条边的垂直平分线的交点，选项不符合题意；故选：AC．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的特点和性质，解题的关键是能与其它知识联系起来，加以证明选项的正确．
【变式训练】
变式1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
【答案】C
【分析】延长ID到M，使DM=ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题．
【详解】解：延长ID到M，使DM=ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，∴∠IAC=∠IAB，∠ICA=∠ICB，
∵∠DIC=∠IAC+∠ICA，∠DCI=∠BCD+∠ICB，
∴∠DIC=∠DCI，∴DI=DC=DM，∴∠ICM=90°，
∴CM==8，∵AI=2CD=10，∴AI=IM，
∵AE=EC，∴IE是△ACM的中位线，∴IE=CM=4，故选：C．
【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、三角形的中位线定理、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
变式2．（2022·山东烟台·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
【答案】(1)见解析(2)2
【分析】（1）连接OA,过点A作AD⊥AO即可；（2）连接OB，OC．先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论．
(1)解：如图，切线AD即为所求；
(2)如图：连接OB，OC．∵AD是切线，∴OA⊥AD，∴∠OAD＝90°，
∵∠DAB＝75°，∴∠OAB＝15°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝15°，
∴∠BOA＝150°，∴∠BCA＝∠AOB＝75°，
∵∠ABC＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC＝2，∴∠BCO＝∠CBO＝30°，
∵OH⊥BC，∴CH＝BH＝OC cos30°＝，∴BC＝2．
【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
变式3．（2022·四川德阳·中考真题）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据点是的内心，可得，故①正确；连接BE，CE，可得∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），从而得到∠CBE+∠BCE=60°，进而得到∠BEC=120°，故②正确； ，得出，再由点为的中点，则成立，故③正确；根据点是的内心和三角形的外角的性质，可得，再由圆周角定理可得，从而得到∠DBE=∠BED，故④正确；即可求解．
【详解】解：∵点是的内心，
∴，故①正确；如图，连接BE，CE，
∵点是的内心，∴∠ABC=2∠CBE，∠ACB=2∠BCE，
∴∠ABC+∠ACB =2（∠CBE+∠BCE），∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BCE=60°，∴∠BEC=120°，故②正确；
∵点是的内心，∴，∴,
∵点为的中点，∴线段AD经过圆心O，∴成立，故③正确；
∵点是的内心，∴，
∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∴，
∵∠CBD=∠CAD，∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD，
∴，∴∠DBE=∠BED，∴，故④正确；
∴正确的有4个．故选：D
【点睛】本题主要考查了三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识，熟练掌握三角形的内心问题，圆周角定理，三角形的内角和等知识是解题的关键．
考点7. 正多边形与圆
【解题技巧】
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
【典例精析】
例1．（2022·甘肃武威·中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
【答案】D
【分析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
【详解】连接CF与AD交于点O，∵为正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
例2．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】(1)(2)是正三角形，理由见解析(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．
(1)解：∵正五边形．∴，
∴，
∵，∴(优弧所对圆心角)，
∴；
(2)解：是正三角形，理由如下：连接，
由作图知：,∵，∴，
∴是正三角形，∴，∴，
同理，∴，即，∴是正三角形；
(3)∵是正三角形，∴．
∵，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
【变式训练】
变式1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
变式2．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
【答案】D
【分析】连接、，证出是等边三角形，根据勾股定理求出，再由弧长公式求出弧的长即可．
【详解】解：连接、，
六边形为正六边形，，
，为等边三角形，，
，，
的长为．故选：D．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
变式3．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
【答案】
【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： 可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，
由正六边形是轴对称图形可得：
由正六边形是中心对称图形可得：
∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，
由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而
则 故答案为：
【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键．
考点8. 弧长和扇形面积
【解题技巧】
1）．弧长公式：；2）．扇形面积公式：或．
【典例精析】
例1．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可．
【详解】解：．故选：D
【点睛】本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键．
例2.（2022·湖北十堰·中考真题）如图，扇形中，，，点为上一点，将扇形沿折叠，使点的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】2π+4–4
【分析】连接AB，在Rt△AOB中，由勾股定理，求得AB=，由折叠可得：，，则，设OC=x，则=2-x，在Rt△CO中，由勾股定理，得，解得：x=，最后由S阴影=S扇形-2S△AOC求解即可．
【详解】解：连接AB，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=，
由折叠可得：，，∴，
设OC=x，则=2-x，在Rt△CO中，由勾股定理，得
，解得：x=，
S阴影=S扇形-2S△AOC=
==2π+4–4，故答案为：2π+4–4．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，利用折叠的性质和勾股定理求出OC长是解题关键．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
【答案】π
【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．
【详解】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为，
∴它的弧长为：
故答案为：
【点睛】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式
变式2．（2022·贵州遵义·中考真题）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据阴影部分面积等于半圆减去四边形的面积和弓形的面积即可求解．
【详解】解：在正方形中，，
的半径为：
过点，根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，
又阴影部分面积为：
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
变式3．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是_______．
【答案】
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影=S ABCD S扇形ADE S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵， ∴AD= ∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，∴EB=AB AE= ，
∴S阴影=S ABCD S扇形ADE S△EBC =
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考点9. 圆锥的相关问题
【解题技巧】
【典例精析】
例1．（2022·浙江宁波·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：；
【详解】 ，故选B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可．
例2．（2022·四川广安·中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
【答案】C
【分析】由圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式、分别求出答案，再进行判断，即得到答案．
【详解】解：根据题意，∵底面圆半径DE=2m，
∴圆柱的底面积为：；故A正确；
圆柱的侧面积为：；故B正确；
圆锥的母线为：；故C错误；
圆锥的侧面积为：；故D正确；故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．
【变式训练】
变式1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥侧面展开图的面积，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，
∴圆锥侧面展开图的面积为，故选B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的面积，勾股定理．解题的关键在于明确圆锥侧面展开图的面积，其中为圆锥底面半径，为圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长．
变式2．（2022·山东聊城·中考真题）若一个圆锥体的底面积是其表面积的，则其侧面展开图圆心角的度数为______________．
【答案】120°##120度
【分析】根据圆锥的底面积是其表面积的，则得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．
【详解】解：设底面圆的半径为，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n°．
由题意得，，
∵个圆锥体的底面积是其表面积的，∴，．
由得，故．
由得：，解得．故答案为：120°．
【点睛】此题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．
变式3．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据扇形的弧长公式进行计算，即可求出母线的长度．
【详解】解：根据题意，圆锥形烟囱帽的底面周长为：；
∵圆锥的侧面展开图为半圆形，∴，∴；
∴它的母线长为；故选：D
【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式进行计算．
变式4．（2022·江苏宿迁·中考真题）将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．
【答案】2
【分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆锥底面周长cm，
∴这个圆锥底面圆的半径cm，故答案为：2．
【点睛】本题考查扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．
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专题16 圆
【考情预测】
该板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会考查综合题，对多数考生来说也是难点，分值为12分左右。预计2023年浙江各地中考肯定还是考查的重点在选择、填空题中考查三角形的外心、正多边形、弧长、扇形面积，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。
【考点梳理】
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr 点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形
公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d=r d由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、三角形与圆
1．三角形的外接圆相关概念
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．
2．三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．
八、正多边形的有关概念
正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．
正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．
正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
九、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再用规则图形的公式求解．
【重难点突破】
考点1. 圆的基本认识
【解题技巧】
1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
3．在同一个圆中，直径是最长的弦．
4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．
5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．
【典例精析】
例1.（2021·湖南娄底市·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．
例2.（2021·江苏徐州市·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【变式训练】
变式1．（2022·甘肃兰州市·中考模拟）有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式2．（2022·黑龙江·大庆市九年级期末）如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
变式3．（2023·山东临沂市·中考模拟）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．
考点2. 垂径定理
【解题技巧】
1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．
2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．
【典例精析】
例1.（2022·湖北荆州·中考真题）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为______cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
例2.（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2022·安徽·中考真题）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A． B．4 C． D．5
变式2．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，A、B、C是上的点，，垂足为点D，且D为OC的中点，若，则BC的长为___________．
变式3．（2022·四川自贡·中考真题）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径为____________厘米．
考点3. 弧、弦、圆心角、圆周角
【解题技巧】
1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．
2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．
【典例精析】
例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
例2．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
变式1．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·浙江中考真题）如图，已知点是的外心，∠，连结，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
变式3．（2022·四川雅安·中考真题）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为 _____．
变式4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点4.点、直线与圆的位置关系
【解题技巧】
1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．
2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．
【典例精析】
例1.（2022·浙江柯桥·九年级期末）已知O与点P在同一平面内，如果O的直径为6，线段OP的长为4，则下列说法正确的是（ ）
A．点P在O上 B．点P在O内 C．点P在O外 D．无法判断点P与O的位置关系
例2.（2021·浙江嘉兴市·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【变式训练】
变式1．（2021·上海中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
变式2．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为_________．
变式3．（2021·青海中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．
考点5. 切线的性质与判定
【解题技巧】
有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．
【典例精析】
例1．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．
例2．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知在Rt△ABC中，，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作，垂足为F．
(1)求证：；(2)若，，求AD的长．
【变式训练】
变式1．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则______度．
变式2．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）
变式3．（2022·山东潍坊·中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与直线交于P，Q两点，与直线交于B，C两点，恰有，连接．
(1)求证：为的切线；(2)筒车的半径为，．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到，参考值：）．
考点6. 三角形的内切圆与外接圆
【典例精析】
例1．（2021·浙江拱墅·二模）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝___．（用含a的代数式表示）
例2．（2022·山东潍坊·中考真题）（多选题）如图，的内切圆（圆心为点O）与各边分别相切于点D，E，F，连接．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线．下列说法正确的是（ ）
A．射线一定过点O B．点O是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则 D．点O不是三条边的垂直平分线的交点
【变式训练】
变式1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，点E为弦的中点，连接，，，当，，时，的长为（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．3.5
变式2．（2022·山东烟台·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．
(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长．
变式3．（2022·四川德阳·中考真题）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点7. 正多边形与圆
【解题技巧】
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
【典例精析】
例1．（2022·甘肃武威·中考真题）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边长为（ ）
A．2mm B． C． D．4mm
例2．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1)求的度数．(2)是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【变式训练】
变式1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．4， B．3，π C．2， D．3，2π
变式3．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____．
考点8. 弧长和扇形面积
【解题技巧】
1）．弧长公式：；2）．扇形面积公式：或．
【典例精析】
例1．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（ ）
A． B． C． D．
例2.（2022·湖北十堰·中考真题）如图，扇形中，，，点为上一点，将扇形沿折叠，使点的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为_________．
【变式训练】
变式1．（2022·浙江温州·中考真题）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
变式2．（2022·贵州遵义·中考真题）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是_______．
考点9. 圆锥的相关问题
【解题技巧】
【典例精析】
例1．（2022·浙江宁波·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·四川广安·中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（ ）
A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2
【变式训练】
变式1．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是( )
A． B． C． D．
变式2．（2022·山东聊城·中考真题）若一个圆锥体的底面积是其表面积的，则其侧面展开图圆心角的度数为______________．
变式3．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2022·江苏宿迁·中考真题）将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．
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专题16 圆 考场演练
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·四川南充·中考真题）如图，为的直径，弦于点E，于点F，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据邻补角得出∠AOF=180°-65°=115°，利用四边形内角和得出∠DCB=65°，结合圆周角定理及邻补角进行求解即可．
【详解】解：∵∠BOF=65°，∴∠AOF=180°-65°=115°，
∵CD⊥AB，OF⊥BC，∴∠DCB=360°-90°-90°-115°=65°，
∴∠DOB=2×65°=130°，∴∠AOD=180°-130°=50°，故选：C．
【点睛】题目主要考查邻补角的计算及圆周角定理，四边形内角和等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
2．（2022·四川自贡·中考真题）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【分析】因为为⊙的直径，可得，，根据圆内接四边形的对角互补可得的度数，即可选出答案．
【详解】∵为⊙的直径，∴，
又∵，∴，
又∵四边形内接于⊙，∴，
∴，故答案选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键．
3．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连结OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，再证△APD≌△BPD（SAS），然后证明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB， 利用勾股定理求出OP=，最后利用三角函数定义计算即可．
【详解】解：连结OA ∵、分别与相切于点A、，
∴PA=PB，OP平分∠APB，OP⊥AP，∴∠APD=∠BPD，
在△APD和△BPD中，，∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，
∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，
在Rt△AOP中，OP=，∴sin∠ADB=．故选A．
【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键．
4．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因为PA、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和即可求出∠APB．
【详解】连接OB，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，
∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故选：C
【点睛】本题考查切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题．
5．（2022·四川自贡·中考真题）为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接OT，根据切线的性质求出求，结合利用含 的直角三角形的性质求出OT，再利用勾股定理求得PT的长度即可．
【详解】解：连接OT，如下图．
∵与⊙相切于点，∴ ．∵，，∴，
∴．故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，求出OT的长度是解答关键．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由切线性质得出，根据三角形的内角和是、对顶角相等求出，即可得出答案；
【详解】解：PA与⊙O相切于点A，AD是⊙O的直径，，，
，，，
，，，故选：A．
【点睛】本题考查圆内求角的度数，涉及知识点：切线的性质、对顶角相等、等腰三角形的性质、三角形的内角和是，解题关键根据切线性质推出．
7．（2022·湖南娄底·中考真题）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD=，同时在Rt△BOD中，OD=，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案．
【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，在等边三角形ABC中AD⊥BC，OB平分∠ABC，∴∠OBD=∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=，在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=，
∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为．故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键．
8．（2022·四川雅安·中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．3
【答案】C
【分析】利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG．
【详解】∵圆O的周长为，设圆的半径为R，∴∴R=3
连接OC和OD，则OC=OD=3∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=，∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，∴故选 C
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．
9．（2022·浙江丽水·中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，，交于点，
∵ ，∴是直径，∴，
∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∴，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ，
∴改建后门洞的圆弧长是(m)，故选：C
【点睛】本题考查弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
10．（2022·四川德阳·中考真题）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求得圆锥的底面周长，即侧面的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：根据题意得：圆锥侧面展开图的弧长为，
∴圆锥侧面展开图的面积是．故选：C
【点睛】本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图是扇形是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
11．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得．
【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC，∴，，
∴，∴，即，
∵线段AB是半圆O的直径，∴，
在中，根据勾股定理得，，故选A．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
12．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．4
【答案】A
【分析】连接，根据可得为的直径，又根据得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出．
【详解】解：连接，
，， 为的直径，
，，在中,，
．.故选：A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。
13．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．
【详解】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．
∵是的直径，垂直于弦于点，∴
∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD ∵
∴，解得∴BC=2OD=2x=2故选：C
【点睛】本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．
14．（2022·山东泰安·中考真题）如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为（
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，根据OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，从而得到AE=AD=2，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，
∵OA=OC，∴∠ACE=∠CAB，∵，∴∠ACD=∠ACE，
∴，∴AE=AD=2，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，
∴，∴⊙的半径为．故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的关键．
15．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可．
【详解】解：如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2×=60°，∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，∴OD=，
∴阴影部分的面积为，故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
16．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案．
【详解】解：是等边三角形，
，，故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
17．（2022·广西玉林·中考真题）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．
【答案】1
【分析】据题意结合图象得出AB=AD=1，，利用扇形面积与弧长的关系式进行求解即可．
【详解】解：根据图象可得：AB=AD=1，，
∴，故答案为：1．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及面积公式是解题关键．
18．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．
【答案】
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
，，，，
，，，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）图1是一款带毛刷的圆型扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为40cm，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，，且A，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为______cm．扫地机器人在遇到障碍物时会自转，毛刷碰到障碍物时可弯曲．如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角（）时，不能清扫到的面积（图中阴影部分）为______．
【答案】
【分析】当O、P、D、C四点共线时，CD最长，连接OB，根据勾股定理求出OP，然后根据CD=CP-PD求解即可；当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角时，QA和QB是⊙O的切线，则∠OAM=∠OBN=90°，∠AQO=∠BQO=30°，，，，由勾股定理得，可知，，，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，OB，
∵，且A，，三点共线，∴垂直平分，∴，
∴当O、P、D、C四点共线时，CD最长， ∵OB=OD=，PB= CP=，
∴在中，由勾股定理得OP=，
∴CD=CP-PD=CP-（OD-OP）=cm；
如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角时，QA和QB是⊙O的切线，
则∠OAM=∠OBN=90°，∠AQO=∠BQO=30°，，
∴∠AOQ=∠BOQ=60°，∴，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，，
∴
，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了圆的切线，垂径定理，圆周角，勾股定理，等边对等角，三角形外角的性质，正弦，扇形的面积等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
【答案】62
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是90°，可得，由，可得，进而可得．
【详解】解：连接，
∵AB是的直径，∴，，，
故答案为：62
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
21．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
【答案】30°##30度
【分析】根据垂径定理得出∠AOB=∠BOD，进而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．
【详解】∵OC⊥AB，OD为直径，∴，∴∠AOB=∠BOD，
∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=∠AOD=30°，故答案为：30°．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键．
22．（2022·浙江金华·中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】
【分析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r 6）2＋82，求出r即可．
【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，∴，∴，
∴四边形ACBD为矩形，∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r 6）2＋82，解得：，即的半径为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
23．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．
【答案】△ADC、△BDC、△ABD
【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．
【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：，则外接圆半径，
图中D点到O点距离为：，图中E点到O点距离为：，
则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．
【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键．
24．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
【答案】12
【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
【详解】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
25．（2022·四川成都·中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
【答案】
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是，故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
26．（2022·四川广元·中考真题）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 _____．
【答案】##
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，由题意易得，则有，然后根据特殊三角函数值及扇形面积公式可进行求解阴影部分的面积．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，如图所示：
由题意可得：，∴，
∴，
∴弓形AB的面积为，
∴阴影部分的面积为；故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形面积、轴对称的性质及三角函数，熟练掌握扇形面积、轴对称的性质及三角函数是解题的关键．
27．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E．（1）求证：；（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连结，利用圆的切线性质，间接证明：，再根据条件中：且，即能证明：；（2）由（1）可以证明：为直角三角形，由勾股定求出的长，求出，可得到的度数，从而说明为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出，半径,最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：（1）证明：如图，连结．
与相切，．
是圆的直径，．．
．．．
（2）由（1）可知，，
，，，
是等边三角形．, ，．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质.
28．（2022·河南·中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
【答案】(1)见解析 (2)50 cm
【分析】（1）根据切线的性质可得，，根据，可得，过点作，根据平行线的性质可得，，进而即可得证；
（2）过点作的平行线，交于点，交于点，由（1）得到，在，中，求得,进而求得，根据即可求解．
(1)证明：⊙O与水平地面相切于点C， ，
，，AB与⊙O相切于点B，，
，过点作，
，，，
，即∠BOC＋∠BAD＝90°．
(2)如图，过点作的平行线，交于点，交于点，
，则四边形是矩形，
， ，，
在中，，，（cm)，
在中，，cm，(cm)，
(cm)，(cm)，
cm，(cm)．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．
29．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接．(1)求证：；(2)若⊙与相切，求的度数；
(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)证明见详解(2)(3)作图见详解
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明；（2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解；（3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线，的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论．
(1)
证明：∵是的直径，∴，∴，
∵，∴．
(2)∵与相切，∴，又∵，∴．
(3)如下图，点就是所要作的的中点．
【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键．
30．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．(2)求证：AD平分∠BDO．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）连接，由，得，由弧长公式即得的长为；
（2）根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分．
(1)解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴，．
(2)证明：，，切于点，，
，，，，平分．
【点睛】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．
31．（2021·浙江中考真题）如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，．
（1）求的度数；（2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）连结，根据圆周角性质，得；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含角的直角三角形性质，得；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）连结，
是的直径，，
（2），，∴
，，且是直径 ．
【点睛】本题考查了圆、含角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·湖北鄂州·中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
【答案】C
【分析】连接OA，OE，设OE与AB交于点P，根据，，得四边形ABDC是矩形，根据CD与切于点E，OE为的半径得，，即，，根据边之间的关系得，，在，由勾股定理得，，进行计算可得，即可得这种铁球的直径．
【详解】解：如图所示，连接OA，OE，设OE与AB交于点P，
∵，，，∴四边形ABDC是矩形，
∵CD与切于点E，OE为的半径，
∴，，∴，，
∵AB=CD=16cm，∴，∵，
在，由勾股定理得， 解得，，
则这种铁球的直径＝，故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
2．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
【答案】C
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故选项A、B都正确；
∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确；
∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
3．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．
【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，
因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，
所以此时最大，等于圆O的直径，∵BM＝4，BN＝2，∴，
∴MQ=OQ=，∴OM=，∴，故选 C．
【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．
4．（2022·广东深圳·中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．
【详解】解：如图取中点O，连接．
∵是圆O的直径．∴．∵与圆O相切．∴．
∵．∴．∵．∴．
又∵．∴．∵，，．
∴．∴．∵点O是的中点．∴．
∴．∴故答案是：1∶2．故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．
5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，由旋转得AD=AC，可求出 ,由圆周角定理得得 ，由三角形外角的性质得 由垂径定理得EF=2，根据勾股定理得，根据求解即可．
【详解】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，
则，由旋转得，∴∠，
∵∠∴∠∴∠∴∠
又∠∴∠
∴∠∴∴
∵∴∠∴∠
∴故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．
6．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．
【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，∴．同理：．
又∵F是劣弧BD的中点，∴．∴．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．∴所在的范围是；故选：B．
【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
7．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=．
【详解】解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
有题意可知，∴，∴S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=，
∵OD⊥AB，AB为弦，∴AD=BD=，∴AD=OAcos30°，
∴OA=，∴S圆=．故答案为A．
【点睛】本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．
8．（2023·浙江·校考二模）如图1，矩形ABCD中，点E， F分别在边AB， CD上且EF⊥AB，AE＝2EB．将一个量角器摆放在矩形中，使它的0°线MN与EF重合，半圆与BC相切，现将该量角器绕点F顺时针旋转（如图2所示），使得它的半圆与EF交于点P，过点M作GH⊥MF，分别交边AE，AD于G，H，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接FG，FH，证明Rt△EFG≌Rt△MFG，Rt△DFH≌Rt△MFH全等，设MG=EG=x，列勾股定理，得到r和x的关系，再根据角度的关系得到∠AGH=∠MFE，利用三角函数可得答案．
【详解】解：如图1，连O与切点H，OH⊥BC， 设半径为r，EF=BC=2r，
∵AE=2EB， ∴AE=2r，AB=3r， 如图2，连接FG，FH，
∵EF=MF=DF=2r， 又∵FG=FG， ∴Rt△EFG≌Rt△MFG（HL），
同理，Rt△DFH≌Rt△MFH（HL）， ∴MG=EG，MH=DH， 设MG=EG=x，
∵ ， ∴MH=3x=HD，AG=2r-x，AH=2r-3x， ∴（2r-x）2+（2r-3x）2=（4x）2，
解得或（舍去）， 连MP，MF是直径， ∴∠MPF=90°，
∵∠AGH+∠MGE=180°，∠MFE+∠MGE=180°， ∴∠AGH=∠MFE，
∴ ， 故选：D．
【点睛】本题综合考查了切线的性质及判定定理，勾股定理的运用，相似三角形的应用，解直角三角形的应用，准确地连接辅助线找到相似或者勾股定理的等量关系是解决本题的关键．
9．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（ ）
A．4 B．4.5 C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得，从而在在中，利用勾股定理求出的长，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，最后根据垂线段最短可知，当时，最小，从而可得的面积最小，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点，∴，
在中，，
∵是的直径，∴，∵，∴，
∴，∴，∴的面积=，
∴当最小时，的面积最小，∴当时，最小，
∵的面积，∴，
∴，∴的面积的最小值，故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆，圆周角定理，坐标与图形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长BA与弦CD的延长线交于点P，已知PD=AB，下列结论：①若=+，则AB=CD；②若∠B=60°，则∠P=20°；③若∠P=30°，则= 1；④的值可能等于．其中正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】①求得∠COD=90°，利用勾股定理得到CD=OD，即可判断；②证明△OBC是等边三角形，利用等边对等角，即可判断；③证明△ODC是等边三角形，得到PD=OD=OC=OB=CD=OA，设PD=OD=OC=OB=CD=OA=R，PA=x，证明△PAD∽△PCB，利用相似三角形的性质列方程求得x，即可判断；④利用反证法，即可判断．
【详解】解：①连接OC、OD，
∵=+，++=180°，∴=90°，
∴∠COD=90°，∴CD=OD，∴AB=2OD=CD=CD；故①正确；
②连接OC、OD，∵∠B=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°，
∵PD=AB，∴PD=OD=OC=OB，∴∠P=∠DOP，∠ODC=∠OCD，
∴∠ODC=∠OCD=2∠P，∴2∠P+∠OCD=3∠P=∠COB=60°，∴∠P=20°；故②正确；
③连接OC、OD，∵∠P=30°，由②知∠ODC=∠OCD=2∠P=60°，∴△ODC是等边三角形，
∵PD=AB，∴PD=OD=OC=OB=CD=OA，∴设PD=OD=OC=OB=CD=OA=R，PA=x，
∵∠PDA+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠PDA=∠B，∴△PAD∽△PCB，
∴，即PC PD=PA PB，∴2R R=x (x+2R)，整理得x2+2Rx-2R2=0，
解得x=(-1)R，∴=-1，故③正确；
④假设=成立．由③知△PAD∽△PCB， ∴，∴PD=PB，
∵PD=AB，∴PD=PA，∴PD+OD=PA+OA=PO，
∴点D与点A重合，不符合题意，∴假设=不成立．故④不正确；
综上，正确的有①②③，故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，反证法，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
11．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
【答案】##
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可．
【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，
过圆心O，，
设的半径为 ∴
整理得： 解得：
不符合题意，舍去，∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
12．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．
（1）若，则的长为______（结果保留）；（2）若，则______．
【答案】
【分析】（1）根据圆周角定理求出∠AOD=70°，再利用弧长公式求解；
（2）解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性质求出DE，BE，可得结论．
【详解】解：（1）∵，∴的长；故答案为：；
（2）连接，
∵是切线，是直径，∴，∴，
∵是直径，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握各性质及判定定理，正确寻找相似三角形解决问题是解题的关键．
13．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是_________________．
【答案】①②④
【分析】根据点AB为CD的垂直平分线，得出BD=BC，AD=AC，根据等边对等角得出∠BDC=∠BCD，利用平行线性质可判断①正确；利用△ADB≌△ACB（SSS）得出∠EAB=∠CAB，利用圆周角弧与弦关系可判断②正确；根据等弧所对的圆周角相等可得∠AEF≠∠ABE，从而可得△AEF与△ABE不相似，即可判断③；连结OB，利用垂径定理得出OB⊥CE，利用平行线性质得出OB⊥BD，即可判断④正确．
【详解】解：∵点C是上一点，与点D关于对称，
∴AB为CD的垂直平分线，∴BD=BC，AD=AC，∴∠BDC=∠BCD，
∵，∴∠ECD=∠CDB，∴∠ECD=∠BCD，∴CD平分∠BCE，故①正确；
在△ADB和△ACB中，∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，∴△ADB≌△ACB（SSS），
∴∠EAB=∠CAB，∴，∴BE=BC=BD，故②正确；
∵AC≠AE，∴≠，∴∠AEF≠∠ABE，∴△AEF与△ABE不相似，故③错误；
连结OB，∵，CE为弦，∴OB⊥CE，
∵，∴OB⊥BD，∴BD为的切线．故④正确，
∴其中所有正确结论的序号是①②④．故答案为①②④．
．
【点睛】本题考查轴对称性质，线段垂直平分线性质，角平分线判定，三角形全等判断于性质，垂径定理，切线判断，掌握轴对称性质，线段垂直平分线性质，角平分线判定，三角形全等判断于性质，垂径定理，切线判断是解题关键．
14．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
【答案】
【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的位置，进而求出点P的运动路径长．
【详解】解：为的直径，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，且在△ABC的内部，
如图，记以AB为直径的圆的圆心为，连接交于点，连接
∴当点三点共线时，即点P在点处时，CP有最小值，
∵∴ 在中，
∴∠∴∴两点距离最小时，点P的运动路径长为
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P的路径是解答本题的关键．
15．（2022·浙江杭州·中考真题）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=_________度；的值等于_________．
【答案】 36
【分析】由等腰三角形的性质得出∠DAE=∠DEA，证出∠BEC=∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO=∠BCO，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，证出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE=a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，
∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴∠BEC=∠BCE，
∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO=∠BCO，
又∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，
∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∴∠CEB=2x，
∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠B=36°；
∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，
∴CE2=EO BE，设EO=x，EC=OC=OB=a，∴a2=x（x+a），
解得，x=a（负值舍去），∴OE=a，∴AE=OA-OE=a-a=a，
∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴，
∴．故答案为：36，．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在廓形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为_______；折痕的长为_______．
【答案】 60°##60度
【分析】根据对称性作O关于CD的对称点M，则点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再结合切线的性质和垂径定理求解即可．
【详解】作O关于CD的对称点M，则ON=MN
连接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N
∵将沿弦折叠∴点D、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上
∵将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．
∴ME⊥OA，MF⊥OB∴
∵∴四边形MEOF中
即的度数为60°；∵，
∴（HL）∴
∴∴
∵MO⊥DC∴
∴ 故答案为：60°；
【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是解题的关键．
17．（2022·浙江温州·温州市第二实验中学校考二模）飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置A，B，C，D，E如图2所示，是它们的运行轨道，弧AC度数为120°，点B到点C和点A的距离相等，于M，AD交BE于N，交CE于H，连结CD，AE．已知一架飞机从M飞到N的直线距离为8千公里，则轨道的半径为______千公里．当时，则线段AE，CD的长度之和为______千公里．
【答案】
【分析】如图，连接BC，AB，OA，OB，OC，MN，AC，AC与OB的交点记为点P，证明都为等边三角形，四边形OCBA为菱形，再证明 可得 再利用三角函数可得圆的半径，过作于 设 由 可得 再利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：如图，连接BC，AB，OA，OB，OC，MN，AC，AC与OB的交点记为点P，
弧AC度数为120°， 优弧的度数为
而
都为等边三角形， ∴四边形OCBA为菱形，
弧AC度数为120°，
为等边三角形， 同理： 则
过作于 设
即 同理
即 解得： （负根舍去）
故答案为：
【点睛】本题考查的是弧与圆心角，圆周角的关系，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，菱形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，本题综合程度较高，属于中考压轴题．
18．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为______；作弦于H，则CH的最大值为________．
【答案】 8 ##
【分析】先根据平行线的性质可得，过点作于点，设，再解直角三角形可得，利用勾股定理可得，然后根据垂径定理可得，解直角三角形可得，令，则，利用二次函数的性质即可得的最大值，最后根据的面积为即可得出答案．
【详解】解：的半径为4，，，
，，如图，过点作于点，设，
，，
由垂径定理得：，，
令，则，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，
的面积为，
则当取得最大值时，的面积最大，最大值为，故答案为：8，．
【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形的应用、二次函数的性质，熟练掌握解直角三角形的方法和二次函数的性质是解题关键．
19．（2023·浙江温州·校联考模拟预测）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结．
(1)求证：是等腰直角三角形．
(2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由．
(3)当Р是的中点时，．
①求的长．
②若点Q是外接圆的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)①；②或6
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，求出，结合，得到，即可证得是等腰直角三角形．
（2）延长交于点H，得到，利用证得，进而证明，推出，证得，即可得到结论．
（3）①由，求出，结合P是的中点求出的长．
②由，得到，存在或，分两种情况画图求解即可．
【详解】（1）解：如图1，在正方形中，，
∵点E在的外接圆上，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（2）如图2，延长交于点H．
∵，
∴，即，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）①由（2）知．
∵，
∴．
∵P是的中点，
∴，
②∵，
∴，
∴存在或（点P在的左侧）．
当时如图3，，
∴．
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴．
当时如图4，连结．
由第一种情况可知是圆的直径，
∴，
∴，
∴，∴．
综上所述，的长是或6．
【点睛】此题是图形综合题，考查了正方形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正确理解题意，综合掌握各知识点是解题的关键．
20．（2022·浙江宁波·中考真题）如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足交于点G，，连结，．设．
(1)用含的代数式表示．
(2)求证：．
(3)如图2，为的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当时，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①3；②
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）由（1）的结论，、证即可；
（3）①通过角的转换得，即可求的长；②连结，证，设，则，由相似的性质即可求解；
(1)
∵，①
又∵，②
②-①，得2，
∴．
(2)
由（1）得，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
(3)
①∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴在中，，
∵为的直径，
∴．
∴．
∴与的度数之比为3∶2．
∴与的的长度之比为3∶2，
∵，
∴．
②如图，连结．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
设与的相似比为k，
∴．
∵，
∴设，则，
∴，
，
∴，
由，得，
解得，（舍），
∴，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的性质、三角函数、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
21．（2022·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设．
(1)求半圆O的半径．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作于点R，连结．
①当为直角三角形时，求x的值．
②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①或；②
【分析】（1）连接OD，设半径为r，利用，得，代入计算即可；
（2）根据CP=AP十AC，用含x的代数式表示 AP的长，再由（1）计算求AC的长即可；
（3）①显然，所以分两种情形，当 时，则四边形RPQE是矩形，当 ∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H， 则四边形PHER是矩形，分别根据图形可得答案；
②连接，由对称可知，利用三角函数表示出和BF的长度，从而解决问题．
(1)
解：如图1，连结．设半圆O的半径为r．
∵切半圆O于点D，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，即半圆O的半径是．
(2)
由（1）得：．
∵，
∴．
∵，
∴．
(3)
①显然，所以分两种情况．
ⅰ）当时，如图2．
∵，
∴．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
ⅱ）当时，过点P作于点H，如图3，
则四边形是矩形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由得：，
∴．
综上所述，x的值是或．
②如图4，连结，
由对称可知，
∵BE⊥CE，PR⊥CE，
∴PR∥BE，
∴∠EQR=∠PRQ，
∵，，
∴EQ=3-x，
∵PR∥BE，
∴，
∴，
即：，
解得：CR=x+1，
∴ER=EC-CR=3-x，
即：EQ= ER
∴∠EQR=∠ERQ=45°，
∴
∴，
∴．
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，三角函数等知识，利用三角函数表示各线段的长并运用分类讨论思想是解题的关键．
22．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，以为直径的与相切于点A，点C在左侧圆弧上，弦交于点D，连接．点A关于的对称点为E，直线交于点F，交于点G．
(1)求证：；
(2)当点E在上，连接交于点P，若，求的值；
(3)当点E在线段上，，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）设CD与AB相交于点M，由与相切于点A，得到，由，得到，进而得到，由平行线的性质推导得，，，最后由点A关于的对称点为E得到即可证明．
（2）过F点作于点K，设AB与CD交于点N，连接DF，证明得到，再证明得到；最后根据及得到和，最后根据平行线分线段成比例求解．
（3）分情况进行讨论．
(1)
证明：如图，设CD与AB相交于点M，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴．
(2)
解：过F点作于点K，设AB与CD交于点N，连接DF，如下图所示：
由同弧所对的圆周角相等可知：，
∵为的直径，且，由垂径定理可知：，
∴，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴，即，
∴，
由同弧所对的圆周角相等可知：，且，
∴，
∴，
∵，AB与CD交于点N，
∴．
∵，，
∴，
∴，设KE=2x，EN=5x，
∵点A关于的对称点为E，
∴AN=EN=5x，AE=AN+NE=10x，AK=AE+KE=12x，
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
(3)
解：分类讨论如下：
情况一：当E在线段AO上时，如下图1所示，设AB与CD交于点N，连接BC，此时，
设AN=NE=x，则AE=2x，OE=OA-AE=1-2x，
∵，
∴，
∴．
∵为的直径，为的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，，，
∴，即，化简解得，
即．
情况二：当E在线段AO上时，如下图2所示，此时，
设AN=NE=x，则AE=2x，OE=OA-AE=1-2x，
由情况一中可知，．
∵，
∴，
∵（2）中已证，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
在中，
∵，，，，
∴，解得，
∵，
∴，故，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的相关性质，相似三角形，勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键．
23．（2021·江苏南京市·中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
【答案】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解析．
【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出∠AOC，进而证明出△OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；
（2）①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；②如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长．
【详解】解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径；设∠AOC=n°，
∵圆锥的母线长为， 的长为，∴，∴；
连接OA、CA，∵，∴是等边三角形，
∵B为母线的中点，∴，∴．
（2）① 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+l
② 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；
求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，由题可知，，GF=h， OB=b，由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出∠COG，作BE⊥OG，垂足为E，
因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，
接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，
将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，因为两点之间线段最短，∴A、G、B三点共线，
利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，
将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．
【点睛】本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法．
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专题16 圆 考场演练
【考场演练1】热点必刷
1．（2022·四川南充·中考真题）如图，为的直径，弦于点E，于点F，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川自贡·中考真题）如图，四边形内接于⊙，为⊙的直径，，则的度数是（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
3．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·四川眉山·中考真题）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川自贡·中考真题）为⊙外一点，与⊙相切于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，是的直径，点P在的延长线上，与相切于点A，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖南娄底·中考真题）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·四川雅安·中考真题）如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A．3 B． C． D．39．（2022·浙江丽水·中考真题）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·四川德阳·中考真题）一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
12．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（ ）
A． B．8 C． D．4
13．（2022·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，垂直于弦于点，的延长线交于点．若，，则的长是（ ）
A．1 B． C．2 D．4
14．（2022·山东泰安·中考真题）如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为（
A． B． C． D．
15．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·广西玉林·中考真题）数学课上，老师将如图边长为1的正方形铁丝框变形成以A为圆心，为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形的面积是_____________．
18．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm．
19．（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）图1是一款带毛刷的圆型扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为40cm，毛刷的一端为固定点，另一端为点，，毛刷绕着点旋转形成的圆弧交于点A，，且A，，三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与交于点，则的最大长度为______cm．扫地机器人在遇到障碍物时会自转，毛刷碰到障碍物时可弯曲．如图3，当扫地机器人在清扫角度为60°的墙角（）时，不能清扫到的面积（图中阴影部分）为______．
20．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，AB是的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
21．（2022·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是______．
22．（2022·浙江金华·中考真题）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
23．（2022·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．
24．（2022·黑龙江绥化·中考真题）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．
25．（2022·四川成都·中考真题）如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
26．（2022·四川广元·中考真题）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 _____．
27．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E．（1）求证：；（2）若，求的长．
28．（2022·河南·中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
29．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接．(1)求证：；(2)若⊙与相切，求的度数；
(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹）
30．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．(1)若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．(2)求证：AD平分∠BDO．
31．（2021·浙江中考真题）如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，．
（1）求的度数；（2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长．
【考场演练2】重难点必刷
1．（2022·湖北鄂州·中考真题）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD=16cm，AC=BD=4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm
2．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
3．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．
4．（2022·广东深圳·中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，为圆切线，为切点，则和面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·浙江·校考二模）如图1，矩形ABCD中，点E， F分别在边AB， CD上且EF⊥AB，AE＝2EB．将一个量角器摆放在矩形中，使它的0°线MN与EF重合，半圆与BC相切，现将该量角器绕点F顺时针旋转（如图2所示），使得它的半圆与EF交于点P，过点M作GH⊥MF，分别交边AE，AD于G，H，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（ ）
A．4 B．4.5 C． D．
10．（2022·浙江杭州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长BA与弦CD的延长线交于点P，已知PD=AB，下列结论：①若=+，则AB=CD；②若∠B=60°，则∠P=20°；③若∠P=30°，则= 1；④的值可能等于．其中正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
11．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为_____．
12．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．
（1）若，则的长为______（结果保留）；（2）若，则______．
13．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是_________________．
14．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，若，，点从点出发，在内运动且始终保持，当，两点距离最小时，动点的运动路径长为______．
15．（2022·浙江杭州·中考真题）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD=ED，则∠B=_________度；的值等于_________．
16．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在廓形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为_______；折痕的长为_______．
17．（2022·浙江温州·温州市第二实验中学校考二模）飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置A，B，C，D，E如图2所示，是它们的运行轨道，弧AC度数为120°，点B到点C和点A的距离相等，于M，AD交BE于N，交CE于H，连结CD，AE．已知一架飞机从M飞到N的直线距离为8千公里，则轨道的半径为______千公里．当时，则线段AE，CD的长度之和为______千公里．
18．（2022·浙江宁波·统考一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，，过P的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为______；作弦于H，则CH的最大值为________．
19．（2023·浙江温州·校联考模拟预测）如图1，在正方形中，P是边上的动点，E在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结．
(1)求证：是等腰直角三角形．(2)如图2，连结，过点E作于点F，请探究线段与的数量关系，并说明理由．(3)当Р是的中点时，．①求的长．②若点Q是外接圆的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
20．（2022·浙江宁波·中考真题）如图1，为锐角三角形的外接圆，点D在上，交于点E，点F在上，满足交于点G，，连结，．设．(1)用含的代数式表示．(2)求证：．(3)如图2，为的直径．①当的长为2时，求的长．②当时，求的值．
21．（2022·浙江温州·中考真题）如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设．(1)求半圆O的半径．(2)求y关于x的函数表达式．(3)如图2，过点P作于点R，连结．①当为直角三角形时，求x的值．②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值．
22．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，以为直径的与相切于点A，点C在左侧圆弧上，弦交于点D，连接．点A关于的对称点为E，直线交于点F，交于点G．(1)求证：；(2)当点E在上，连接交于点P，若，求的值；(3)当点E在线段上，，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长．
23．（2021·江苏南京市·中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
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