第一章 集合与常用逻辑用语 练习题（含解析）

高中数学集合与常用逻辑用语练习题
一、单选题
1．已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．命题“对于任意无理数x，都有是有理数”的否定是（ ）
A．对于任意有理数x，都有是有理数 B．对于任意无理数x，都有是无理数
C．存在无理数x，使得是无理数 D．存在无理数x，使得是有理数
3．已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件
4．集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
8．关于的方程，有四个命题：甲：该方程两根之和为；乙：是该方程的根；丙：是该方程的根；丁：该方程两根异号．如果有且只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．图中矩形表示集合，两个圆分别表示集合，，则图中阴影部分可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
10．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若，则实数a的取值集合为______．
12．右图为由电池、开关和灯泡组成的电路，假定所有零件均能正常工作，则电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
13．集合且，用列举法表示集合________
14．命题“”为真，则实数a的范围是__________
三、解答题
15．试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）方程的所有实数根组成的集合A；
（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.
16．已知集合，若中至少有一个元素，求实数的取值集合.
17．已知集合，．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
18．已知关于x的不等式的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.
(1)求M；
(2)若，对，有，求t的最小值.
试卷第11页，共33页
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参考答案
1．C
【分析】由列举法列出集合的所有元素，即可判断；
【详解】解：因为，，所以或或或，
故，即集合中含有个元素；
故选：C
2．C
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可
【详解】因为命题“对于任意无理数x，都有是有理数”是全称量词命题，
所以其否定为“存在无理数x，使得是无理数”，
故选：C
3．A
【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.
【详解】由，可得出，
由，得不出，
所以是的充分而不必要条件，
故选：A.
4．B
【分析】根据真子集的定义即可求解.
【详解】由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.
故选：B.
5．C
【分析】根据交集并集的定义即可求出.
【详解】，
，.
故选：C.
6．C
【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．
【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，
故选：C．
7．A
【分析】根据图中阴影部分表示求解即可.
【详解】由题知：图中阴影部分表示，
，则.
故选：A
8．C
【分析】由题意，可推断得乙丙丁不可能同时为真命题，所以甲是真命题，所以和不可能同时是该方程的根，则乙丙中有一个假命题，丁为真命题，然后分析甲乙丁为真命题和甲丙丁为真命题两种情况，即可得答案.
【详解】若和是该方程的根，则两根同号，
所以乙丙丁不可能同时为真命题，即甲是真命题；
因为该方程两根之和为，则和不可能同时是该方程的根，
所以乙丙中有一个假命题，丁为真命题；
若甲乙丁为真命题，是该方程的根，得另一根为，
此时方程为，符合题意；
若甲丙丁为真命题，是该方程的根，得另一根为，
此时两根同号，不符合题意，所以可知丙为假命题.
故选：C
9．B
【分析】两个阴影部分，分成两步完成，即，，再取并集，即可得到答案；
【详解】两个阴影部分，分成两步完成，即，，
图中阴影部分可以表示为.
故选：B
10．A
【分析】由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案.
【详解】解：不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，
当时，，不满足要求；
当时，，
若，则，解得.
故选：A.
11．
【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.
【详解】因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
故答案为：
12．充分不必要
【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.
【详解】当开关K1和K2有且只有一个闭合时，灯泡L亮
当灯泡L亮时，开关K1和K2有可能都闭合
即电路中“开关K1和K2有且只有一个闭合”是“灯泡L亮”的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
13．
【解析】由已知可得，则，解得且，结合题意，逐个验证，即可求解.
【详解】由题意，集合且，可得，则，
解得且，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，此时分母为零，不满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意；
综上可得，集合.
故答案为：.
14．
【分析】将问题转化为“不等式对恒成立”，由此对进行分类讨论求解出的取值范围.
【详解】由题意知：不等式对恒成立，
当时，可得，恒成立满足；
当时，若不等式恒成立则需，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：形如的不等式恒成立问题的分析思路：
（1）先分析的情况；
（2）再分析，并结合与的关系求解出参数范围；
（3）综合（1）（2）求解出最终结果.
15．（1）；（2）.
【解析】（1）用描述法表示集合，再解方程求出对应根，用列举法表示即可；
（2）用描述法表示集合，再列举出大于10且小于20的所有整数，用列举法表示集合即可.
【详解】（1）设，则x是一个实数，且.
因此，用描述法表示为.
方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为.
（2）设，则x是一个整数，即，且.因此，用描述法表示为.大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为.
【点睛】本题主要考查了用描述法以及列举法表示集合，属于基础题.
16．.
【分析】分类讨论集合中恰有一个元素和恰有两个元素的情况，即可得解.
【详解】集合中至少有一个元素，即中只有一个元素，或中有两个元素.
当中有一个元素时，，或即；
当中有两个元素时，由解得，且.
综上，得.
即实数的取值集合为.
17．（1）；（2）
【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式组，求出实数的取值范围；
（2）若，则，分和两种情况，分别列不等式可得实数的取值范围．
【详解】（1）因为，所以或．
又且，
所以，解得
所以实数的取值范围是．
（2）若（补集思想），则．
当时，，解得；
当时，，即，
要使，则，得．
综上，知时，，
所以时，实数的取值范围是．
18．(1)
(2)1
【分析】（1）分类讨论即可求得实数a的所有取值构成的集合M；
（2）先求得的最大值2，再解不等式即可求得t的最小值.
【详解】（1）当时，满足题意；
当时，要使不等式的解集为R，
必须，解得，
综上可知，所以
（2）∵，∴，
∴，（当且仅当时取“=”）
∴，
∵，有，∴，
∴，∴或，
又，∴，∴ t的最小值为1.
答案第11页，共22页
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