福建省福州市多所学校2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 福建省福州市多所学校2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 731.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-22 07:27:40 | ||
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文档简介
福州市多所学校2022-2023学年高二下学期4月期中联考
数学科试卷
完卷时间：120分钟 满 分：150分
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知抛物线：上一点到轴的距离是3，则该点到抛物线焦点的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量的分布列为，2，3，，，则
A． B． C． D．
3. 函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
4. 将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种 B．25种 C．36种 D．52种
已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（ ）
A．0.925 B．0.03 C．0.075 D．0.95
如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为，则 （ ）
A．1 B．0 C．—1 D．2
已知双曲线的左右两个顶点分别为，为双曲线右支上的个点，关于原点对称，则直线
这条直线的斜率乘积为（ ）
A. B. C. D.
8. 若对任意的，且，都有成立，则实数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）
9．在等差数列中，已知，，是其前项和，则下列选项正确的是
A． B． C． D．
10. 若均为常数，则下列选项正确的
是
A． B．
C． D．
11. 下列选项正确的是（ ）
A．空间向量与向量共线
B．已知向量，，，若，，共面，则
C. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量为
D. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是.
12. 已知是自然对数的底，若则的值可以是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 2 D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 随机变量的概率分布列如下：
－1 0 1
其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝______．
已知⊙M：，直线：，点为直线上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，则切线段长的最小值为________．
15.若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是_________．
16. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛 棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，从上到下，逐层长宽各多1个，共层的堆积物(如下图)，可以用公式求出物体的总数，这就是沈括的“隙积术”，利用“隙积术”求得数列的前15项的和是________．（结果用数字表示）
解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10分）函数在点处的切线斜率为．
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间和极值．
（本小题12分）已知数列的前项和为且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求正整数的值．
19．（本小题12分）如图，在三棱柱中，平面，、分别为、的
中点，，．
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（3）求点D到平面ABE的距离．
20．（本小题12分）我校即将迎来“第二届科技艺术节”活动，其中一项活动是“数学创意作品”比赛，为了解不同性别学生的获奖情况，现从去年举办的“首届科技艺术节”报名参加活动的500名学生中，根据答题情况评选出了一二三等奖若干名，获奖情况统计结果如下：
性别 人数 获奖人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
（1）用频率估计概率，现分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（2）用频率估计概率，从上述200名男生和300名女生中随机各抽取1名，以表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，从报名参加活动的500名学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从上述200男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从上述300名女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小，并说明理由.
21.（本小题12分）已知椭圆:过点，且离心率为，设、分别为椭圆的左右顶点，、为椭圆的左右焦点，点为椭圆上不同于、的任意一点，点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）设直线与椭圆的另一个交点为点，若的值为定值，则称此时的点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.
(本小题12分)已知函数.
（1）若对恒成立，求k的取值范围；
（2）求证：对，不等式 恒成立.
高二数学
选择题。（每小题5分，共60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C C B C B A C ABD ABD ABC AC
填空题。（每小题5分，共20分）
13. 14. 1 15. 16. 1735
解析：设,则在R上单调递增,因为,则：
解析：法1：由题设，在数列中，
法2：运用公式：
解答题
17.（本题共10分）
解：（1）函数的导数为，........................1分
在点处的切线斜率为，.................................2分
，即，..................................3分
；..................................4分
（2）由（1）得，函数，
， ..................................5分
令，得，令，得， .................................7分
即的增区间为，减区间为．.................................8分
在处取得极小值，无极大值．（无极大值没写扣1分）.............................10分
（本题共12分）
解：(1)
.....................................................2分
.....................................................4分
又满足.....................................................5分
是公差为2的等差数列....................................................6分
....................................................7分
(2)由(1)得：....................................................8分
又
....................................................10分
解得：....................................................12分
19.（本题共12分）
解：（1）在三棱柱中，，为，的中点，∴，
∵平面，∴平面，...................................................1分
∵平面，∴，...................................................2分
在三角形中，，为中点，∴，...........................................3分
∵，平面，∴平面......................4分
（没写扣1分）
（2）如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
在直角三角形中，，，∴，
，，，，....................5分
，，，........................7分
（这里三个向量坐标错一个扣1分）
设平面的法向量为，
，令，则，，
所，............8分
设直线与平面所成角为，
所以......................10分
（3）设点到平面的距离为，所以....................................................12分
20.（本题共12分）
解：（1）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,
抽到的2名学生都获一等奖”，则，..................................2分
（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2..................................................3分
记事件为“上述200名男生中随机抽取1名,该学生获奖”,
事件为“上述300名女生中随机抽取1名,该学生获奖”.
由题设知,事件,相互独立,
且估计为...................................................4分
估计为..................................................5分
所以,..................6分
....................................7分
................................................8分
所以的分布列为
0 1 2
....................................9分
故的数学期望...............10分
（3），...................................................11分
理由：根据频率估计概率得
，由（2）知，，
故，
则...............................................12分
21. （本题共12分）
解：（1）椭圆:过点，且离心率为
所以，解得，所以椭圆的方程为；……………..3分
（对一个得1分）
（2），设边上的高为，
设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．
所以， …………………………………………..4分
当在椭圆上顶点时，最大为，故的最大值为，
于是也随之最大，最大值为，………..5分
由椭圆的对称性，此时内切圆圆心的坐标为 ……………………6分
点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点，
故可设
………………………………..8分
….12分
22. （本题共12分）
解：(1)因为在上恒成立
而，令得所以...........1分
①当，即时，，
所以在上单调递增，则，满足题意；................3分
②当，即时，设，
则的对称轴为，
所以在上存在唯一零点，当时，，
所以在上单调递减，故，不合题意.................6分
综上，k的取值范围为；.................7分
证明：由(1)知，当时，在上恒成立，
即，.......9分
令，则恒成立
在上单调递增..............................11分
对，不等式恒成立.......................12分
数学科试卷
完卷时间：120分钟 满 分：150分
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知抛物线：上一点到轴的距离是3，则该点到抛物线焦点的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量的分布列为，2，3，，，则
A． B． C． D．
3. 函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
4. 将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种 B．25种 C．36种 D．52种
已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是90%，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（ ）
A．0.925 B．0.03 C．0.075 D．0.95
如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为，则 （ ）
A．1 B．0 C．—1 D．2
已知双曲线的左右两个顶点分别为，为双曲线右支上的个点，关于原点对称，则直线
这条直线的斜率乘积为（ ）
A. B. C. D.
8. 若对任意的，且，都有成立，则实数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，漏选得2分，错选得0分）
9．在等差数列中，已知，，是其前项和，则下列选项正确的是
A． B． C． D．
10. 若均为常数，则下列选项正确的
是
A． B．
C． D．
11. 下列选项正确的是（ ）
A．空间向量与向量共线
B．已知向量，，，若，，共面，则
C. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量为
D. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是.
12. 已知是自然对数的底，若则的值可以是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. 2 D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 随机变量的概率分布列如下：
－1 0 1
其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝______．
已知⊙M：，直线：，点为直线上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，则切线段长的最小值为________．
15.若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是_________．
16. 北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”他想堆积的酒坛 棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有个，下底有个，从上到下，逐层长宽各多1个，共层的堆积物(如下图)，可以用公式求出物体的总数，这就是沈括的“隙积术”，利用“隙积术”求得数列的前15项的和是________．（结果用数字表示）
解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10分）函数在点处的切线斜率为．
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间和极值．
（本小题12分）已知数列的前项和为且
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求正整数的值．
19．（本小题12分）如图，在三棱柱中，平面，、分别为、的
中点，，．
（1）求证：平面BDE；
（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（3）求点D到平面ABE的距离．
20．（本小题12分）我校即将迎来“第二届科技艺术节”活动，其中一项活动是“数学创意作品”比赛，为了解不同性别学生的获奖情况，现从去年举办的“首届科技艺术节”报名参加活动的500名学生中，根据答题情况评选出了一二三等奖若干名，获奖情况统计结果如下：
性别 人数 获奖人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
（1）用频率估计概率，现分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
（2）用频率估计概率，从上述200名男生和300名女生中随机各抽取1名，以表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列和数学期望；
（3）用频率估计概率，从报名参加活动的500名学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从上述200男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从上述300名女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小，并说明理由.
21.（本小题12分）已知椭圆:过点，且离心率为，设、分别为椭圆的左右顶点，、为椭圆的左右焦点，点为椭圆上不同于、的任意一点，点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）设直线与椭圆的另一个交点为点，若的值为定值，则称此时的点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.
(本小题12分)已知函数.
（1）若对恒成立，求k的取值范围；
（2）求证：对，不等式 恒成立.
高二数学
选择题。（每小题5分，共60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C C B C B A C ABD ABD ABC AC
填空题。（每小题5分，共20分）
13. 14. 1 15. 16. 1735
解析：设,则在R上单调递增,因为,则：
解析：法1：由题设，在数列中，
法2：运用公式：
解答题
17.（本题共10分）
解：（1）函数的导数为，........................1分
在点处的切线斜率为，.................................2分
，即，..................................3分
；..................................4分
（2）由（1）得，函数，
， ..................................5分
令，得，令，得， .................................7分
即的增区间为，减区间为．.................................8分
在处取得极小值，无极大值．（无极大值没写扣1分）.............................10分
（本题共12分）
解：(1)
.....................................................2分
.....................................................4分
又满足.....................................................5分
是公差为2的等差数列....................................................6分
....................................................7分
(2)由(1)得：....................................................8分
又
....................................................10分
解得：....................................................12分
19.（本题共12分）
解：（1）在三棱柱中，，为，的中点，∴，
∵平面，∴平面，...................................................1分
∵平面，∴，...................................................2分
在三角形中，，为中点，∴，...........................................3分
∵，平面，∴平面......................4分
（没写扣1分）
（2）如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
在直角三角形中，，，∴，
，，，，....................5分
，，，........................7分
（这里三个向量坐标错一个扣1分）
设平面的法向量为，
，令，则，，
所，............8分
设直线与平面所成角为，
所以......................10分
（3）设点到平面的距离为，所以....................................................12分
20.（本题共12分）
解：（1）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,
抽到的2名学生都获一等奖”，则，..................................2分
（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2..................................................3分
记事件为“上述200名男生中随机抽取1名,该学生获奖”,
事件为“上述300名女生中随机抽取1名,该学生获奖”.
由题设知,事件,相互独立,
且估计为...................................................4分
估计为..................................................5分
所以,..................6分
....................................7分
................................................8分
所以的分布列为
0 1 2
....................................9分
故的数学期望...............10分
（3），...................................................11分
理由：根据频率估计概率得
，由（2）知，，
故，
则...............................................12分
21. （本题共12分）
解：（1）椭圆:过点，且离心率为
所以，解得，所以椭圆的方程为；……………..3分
（对一个得1分）
（2），设边上的高为，
设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．
所以， …………………………………………..4分
当在椭圆上顶点时，最大为，故的最大值为，
于是也随之最大，最大值为，………..5分
由椭圆的对称性，此时内切圆圆心的坐标为 ……………………6分
点是椭圆长轴上的不同于、的任意一点，
故可设
………………………………..8分
….12分
22. （本题共12分）
解：(1)因为在上恒成立
而，令得所以...........1分
①当，即时，，
所以在上单调递增，则，满足题意；................3分
②当，即时，设，
则的对称轴为，
所以在上存在唯一零点，当时，，
所以在上单调递减，故，不合题意.................6分
综上，k的取值范围为；.................7分
证明：由(1)知，当时，在上恒成立，
即，.......9分
令，则恒成立
在上单调递增..............................11分
对，不等式恒成立.......................12分
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