湖南省怀化市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

怀化市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
时量：120分钟满分：150分
一 单选题（每小题5分，共40分）
1.已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数是虚数单位，则（ ）
A.0 B.1 C.2 D.4
3.若，则（ ）
A.2 B.2或3 C.3 D.4
4.若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.湖南省从2020年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，新高考“”模式指的是，“3"即语文 数学 外语3门统一高考科目：“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治 地理 化学 生物学中选择2门.则新高考模式下考生选择政治历史地理三个科目的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.，当时展开式的二项式系数表示形式
借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ）
A.5，9 B.5，10 C.6，10 D.6，9
7.已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.第24届冬奥会奥运村有智能餐厅，人工餐厅，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.6；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去餐厅用餐的概率为（ ）
A.0.6 B.0.75 C.0.45 D.0.55
二 多选题（每小题5分，部分选对记2分，选错或不选记0分，共20分）
9.已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，那么的可能取值为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.8
10.关于的展开式，下列判断正确的是（ ）
A.展开式共有8项
B.展开式的各二项式系数的和为128
C.展开式的第7项的二项式系数为49
D.展开式的各项系数的和为
11.下列计算正确的有（ ）
A. B.
C. D.
12.已知随机变量服从正态分布，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.的方差为2
三 填空题（每小题5分，共20分）
13.不等式的解集是__________.
14.二项式的展开式中，第4项为__________.
15.函数在点处的切线方程为__________.
16.如图，西米组长需要到怀化五中竞辉楼的5楼上政治课，已知竞辉楼只有东和西两处楼梯，请问西米组长从1楼开始有__________种不同的路径到达5楼.
四 解答题（共70分）
17.（10分）在中，内角所对的边分别是，已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
18.（12分）有3名男生，4名女生，全排成一行，下列情形各有多少种排法？
（1）甲不在中间也不在两端；
（2）甲 乙两人必须排在两端；
（3）男女相间.
19.（12分）端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.
（1）求既有豆沙粽又有白粽的概率；
（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列与数学期望.
20.（12分）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
21.（12分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置.
22.（12分）近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4手机SOC芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义.可以说国产先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技术是买不来的 求不来的，自主研发才是最终的出路.研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲 乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2道试题，试回答下列问题.（所选的题全部答完后再判断是否被录用）
（1）求甲和乙各自被录用的概率；
（2）设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的值，使得？并说明理由.
怀化市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题
参考答案
一 单选题（每小题5分，共40分）
1.B 2.C 3.B 4.A 5.A 6.C 7.D 8.D
二 多选题（每小题5分，部分选对记2分，选错或不选记0分，共20分）
9.ABC 10.ABD 11.ABD 12.AB
三 填空题（每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.16
四 解答题（共70分）
17.（10分）
解：（1）由余弦定理可得，
即，解得.
（2）由得.
.
故的面积为.
18.（12分）【详解】（1）先排甲有4种，再排其余人有种，故共有（种）排法.
（2）先排甲 乙，再排其余5人，共有（种）排法.
（3）（插空法）先排3名男生有种方法，再将4名女生插空，有种方法，故共有（种）排法.
19.（12分）【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为.
（2）的可能取值为，
则，
所以的分布列如下：
0 1 2
所以.
20.（12分）【详解】（1）的定义域为，且，
令得或，令得，
所以递增区间为，递减区间；
（2）
-3 -1 1 3
+ 0 - 0 +
-49 单调递增 极大值11 单调递减 极小值-1 单调递增 59
函数最大值为59，最小值为-49.
21.（12分）【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，且每次移动是相互独立，则.
（1）质点回到原点，则，
，
所以质点回到原点的概率是；
（2）当质点位于4的位置时，则，
，
所以质点位于4的位置的概率是.
22.（12分）【详解】（1）设甲答对题目的个数为，由题意，得，
则甲被录用的概率为，乙被录用的概率为.
（2）的可能取值为，
则，
设，则.
当时，为增函数.
又，
所以存在唯一的的值，使得，即