湖南省长沙市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

长沙市名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A．1 B． C．5 D．
3．已知函数，若，则实数a的值是（ ）
A．－3或5 B．3或－3 C．5 D．3或－3或5
4．数列为正项等比数列，前n项和为，且满足，，则（ ）
A．36 B．35 C．32 D．31
5．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排6名航天员开展实验，每个舱中都有2人，则不同的安排方法有（ ）
A．72种 B．90种 C．360种 D．540种
6．函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．在区间，上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点，中心对称
7．直线分别与x轴，y轴交于M，N两点，点A在圆C：上运动，则△AMN面积的最大值为（ ）
A．8 B． C．14 D．
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，且AB＝BC，则（ ）
A．三棱锥S-ABC的体积为12 B．该圆锥的体积为12π
C．该圆锥的表面积为14π D．该圆锥的母线长为5
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知，若根据2×2列联表得到的观测值为4.153，则有95%的把握认为两个分类变量有关
B．已知向量，，则
C．随机变量X服从正态分布，且，则
D．已知一组数据，，，，，的方差是5，则数据，，，，，的标准差是12
11．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等差数列 B．若，则是等比数列
C．若是等差数列，则 D．若是等比数列，则
12．蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆C：相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．二项式的展开式中，常数项为 （用数值表示）．
14．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则p的值为 ．
15．蟋蟀鸣叫是大自然优美和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率x（单位：次/分钟）与气温y（单位：℃）有较强的线性相关关系．某同学在当地通过观测，得到如下数据，并建立了y关于x的线性回归方程．当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为 ．
x（次/分钟） 24 36 40 60
y（℃） 26 28.6 30 35.4
16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，、为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则
①平面DEF截得球的截面面积最小值为 ；
②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且△ABC的面积为，求c的值．
18．（本小题满分12分）
在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并进行解答．已知等差数列的前n项和为，， ， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．（本小题满分12分）
已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点．
（1）求证：FH∥平面PBD；
（2）求直线FH与平面PBC所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
明德中学开展了120周年校庆知识问答竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为，，，由此得到总体的频率统计表：
分数区间
频率 0.1 0.4 0.3 0.2
（1）视样本的频率为概率，在该校所有参赛学生中任取3人，记取出的3人中分数在的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）若从总体中利用分层抽样的方式随机抽取10名学生进行进一步调研．从这10名参赛学生中依次抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在的概率．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：与椭圆C交于A，B两点，点P是y轴上的一点，过点A作直线PB的垂线，垂足为M，是否存在定点P，使得为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知．
（1）证明：当时，在上单调递增；
（2）当时，关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．
长沙市名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学参考答案
一、单项选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
B D A D B C C A
二、多项选择题
9 10 11 12
ABD ABC BC ACD
三、填空题
13．24 14．6 15．33 16．① ②
四、解答题
17．【解析】
（1）最小正周期为，
（2），
即，
所以，k∈Z，
所以，k∈Z，
因为，
所以，
由三角形面积公式，且，
解得，
由余弦定理，
解得．
18．【解析】
（1）由于是等差数列，设公差为d，当选①②时：，解得，
所以的通项公式，．
选①③时：，
解得．
所以的通项公式，．
选②③时：，
解得，
所以的通项公式，．
（2）由（1）知，，，
所以，
所以．
19．【解析】
（1）证明：E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，
∴EF∥PB，FG∥BD，
∵平面PBD，平面PBD，
∴EF∥平面PBD，同理可证FG∥平面PBD，
∵，EF、平面EFG，
∴平面EFG∥平面PBD，
∵平面EFG，
∴FH∥平面PBD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、，
，，，
设平面PBC的法向量为，
则，
取，可得，
∴，
所以，直线FH与平面PBC所成角的正弦值为．
20．【解析】
（1）由题意知，该市所有参赛学生中分数在的概率为，且，
所以X的可能取值有0、1、2、3，
故，，
，．
故X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
．
（2）得分位于的共有4人，得分位于的有3人，
记事件A：第一次抽出1名学生分数在区间内，记事件B：后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间内，
则，，
由条件概率公式可得．
21．【解析】
（1）由题知，，，，
所以椭圆C为，
由点在椭圆上得，
解得，
故椭圆方程为．
（2）设，，，
由，
得，
∴，，，
所以
，
所以，
解得，
所以存在定点，
使得为定值．
22．【解析】
（1）证明：因为，
所以，
因为，
所以，
又，所以，
所以在上单调递增．
（2）当时，，
即，
所以，
即在上恒成立．
令，
则，
令，
则．
因为，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以．
①当，即时，在上，，
即，
所以在上单调递增，
所以对，，
即在上恒成立，符合；
②，即时，，
又，
若，则在上，，
即，
所以在上单调递减，
所以，不合题意；
若，则存在，
使得，
所以在上，，
即，
所以在上，单调递减，
所以对，不合题意．
综上所述，实数k的取值范围为．