2022-2023学年山东省青岛市莱西市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

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2022-2023学年山东省青岛市莱西市八年级（下）期中数学试卷（五四学制）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
2. 下列方程中是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
3. 要使二次根式有意义，则的值可以为( )
A. B. C. D.
4. 方程的根是( )
A. B. C. 或 D. 或
5. 用配方法解方程时，下列配方错误的是( )
A. 化为
B. 化为
C. 化为
D. 化为
6. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
7. 下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
8. 已知，，则等于( )
A. B. C. D.
9. 为响应“足球进校园”的号召，某校组织足球比赛，赛制为单循环形式每两个队之间都要比赛一场，计划安排场比赛，则参赛的足球队个数为( )
A. B. C. D.
10. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 计算 ______ ．
12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______．
13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为______ ．
14. 观察下列等式：
，
，
，
请你根据以上规律，写出第个等式______ ．
15. 若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为________ ．
16. 如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为：，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则横彩条的宽度是______ ，竖彩条的宽度是______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：
；
；
；
．
18. 本小题分
解方程：
；
用配方法．
19. 本小题分
小明在学习中发现了一个“有趣”的现象：
，
，
上面的推导过程中，从第______步开始出现错误填序号；
写出该步的正确结果．
20. 本小题分
关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
若为最大负整数，求此时方程的根．
21. 本小题分
已知，，试求代数式的值．
22. 本小题分
如图，一矩形花坛一边靠墙，长，宽，为便于游客赏花，另外三边铺设宽度相等的甬路，若甬路面积恰好等于花坛面积，求甬路的宽度．
23. 本小题分
如图，某海军基地位于处，在其正南方向海里处有一重要目标，在的正东方向海里处有一重要目标，小岛位于的中点，岛上有一补给码头；小岛位于的中点，一艘军舰从出发，经到匀速巡航，一般补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
小岛和小岛相距多少海里？
已知军舰的速度是补给船的倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里？结果精确到海里，参考数据，
24. 本小题分
一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．
设其中、、、均为正整数，则有，，，这样可以把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ______ ， ______ ．
利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：______ ______ ______ ______ ；
化简．
25. 本小题分
某商场促销一种商品，促销方式如下：
售价为元个；
若购买数量超过个，单价按每增加个减元的方式促销；
一次性购买不得超过个．
小明一次性购买该商品共用元，你能求出他买了多少个吗？
26. 本小题分
【思路引领】
老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值．
文文通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以，得到的值，再利用完全平方公式求出．
【类比探究】
参考文文的思路，解决下列问题：
已知，求的值．
已知，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，原计算错误，
故此选项不符合题意；
B、，原计算正确，
故此选项符合题意；
C、，原计算错误，
故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，
故此选项不符合题意，
故选：．
根据二次根式的性质把给出的式子进行化简，即可得出答案．
此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、将方程整理，得，是一元二次方程，故符合题意；
B、不是整式方程，故不合题意；
C、若，则就不是一元二次方程，故不合题意；
D、将方程整理，得，是一元一次方程，故不合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有个特点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是；是整式方程．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
因此，只有选项的满足条件，
故选：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
4.【答案】
【解析】
【分析】
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【解答】
解：，
，
则，
或，
解得，，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、，
移项得：，
配方得：，即，本选项正确；
B、，
移项得：，
配方得：，即，本选项错误；
C、，
移项得：，
配方得：，即，本选项错误；
D、，
方程化简得：，
配方得：，即，本选项错误，
故选：．
将各项中的方程二次项系数化为，常数项移到方程右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题关键是确定的值由负数变到正数时的范围．
由表格可发现的值在正数、负数之间变号时对应的的范围，即可得到答案．
【解答】
解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
的一个解的取值范围为和之间．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：、，和不是同类二次根式，故本选项错误；
B、，，故和是同类二次根式，故本选项正确；
C、，与不是同类二次根式，故本选项错误；
D、，与不是同类二次根式，故本选项错误．
故选：．
先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．
本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．
8.【答案】
【解析】解：，，
，
故选：．
利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：设共有个球队参赛，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
共有个球队参赛．
故选：．
设共有个球队参赛，利用计划安排比赛的总场数参赛队伍个数参赛队伍个数，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【解答】
解：由题意可得，
大正方形的边长为，小正方形的边长为，
所以图中阴影部分的面积为：，
本题考查算术平方根，解答本题的关键是求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，，
，，
，
故答案为：．
根据同类二次根式的定义得到，，解得，，然后代入中计算即可．
本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式．
13.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程没有实数根，
，，
解得：．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意可得，
第个等式是：，
即，
故答案为：．
根据题目中给出的式子，可以发现等号左边的第一个数是一些连续的奇数，从开始，第二个数字中的根号里面都是两个连续的整数的积，从开始，等号右边的式子中根号下的数字与左边根号下的数字有关，然后即可写出第个等式．
本题考查二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点．
15.【答案】或
【解析】解：当为腰长时，关于的方程有一个根是，
将代入，
得，
解得；
当时，原方程为，
解得，，
，
符合题意，
当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得，
当时，原方程为，
解得，
，
符合题意，
的值为或．
故答案为或．
本题考查根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、以及三角形三边关系．
当为腰长时，将代入原一元二次方程可求出的值，将值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出符合题意；当为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解得值，将值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可得出符合题意．
16.【答案】
【解析】解：设横彩条的宽度为，则竖彩条的宽度为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
，，
即横彩条的宽度为，竖彩条的宽度为．
故答案为：，．
设横彩条的宽度为，则竖彩条的宽度为，由题意：所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，则列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】解：
；
；
；
．
【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答；
利用平方差公式进行计算，即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：，
，
，
或，
所以，；
，
，
，
，
，
所以，．
【解析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
19.【答案】解：；
．
【解析】
【分析】
本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的非负性和二次根式的性质与运算法则．
中等式的左边是负数，而右边是正数，据此可得答案；
根据二次根式的性质求解可得．
【解答】
解：上面的推导过程中，从第步开始出现错误，
故答案为：；
见答案．
20.【答案】解：根据题意得且，
解得且；
的最大负整数为，
此时方程变形为，
，
，
所以，．
【解析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式即可；
的最大负整数为，则方程变形为，然后利用求根公式解方程．
21.【答案】解：，，
，，
．
【解析】先利用、得我值计算出，，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
22.【答案】解：设甬路的宽度为，则围成的大矩形的长为，宽为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：甬路的宽度为．
【解析】设甬路的宽度为，由甬路面积恰好等于花坛面积，得围成的大矩形的面积矩形花坛的面积，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可．
本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：由题意可知，海里，
位于的中点，位于的中点，
是的中位线，
海里．
答：小岛和小岛相距海里；
设相遇时补给船航行了海里，则海里，海里，
由题意可知，，
由可知，是的中位线，
，
，
，
位于的中点，
海里，
海里，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：相遇时补给船大约航行了约海里．
【解析】运用三角形的中位线定理求解即可；
设相遇时补给船航行了海里，则海里，海里，求出海里，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用、方向角以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：，
，
，，
故答案为：，；
设，
，
，，
令，，
，，
故答案为：，，，答案不唯一；
．
利用完全平方公式进行计算，即可解答；
设，然后利用完全平方公式进行计算可得，，即可解答；
利用分母有理化进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，整式的加减，完全平方公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25.【答案】解：能求出小明买了个，理由如下：
设小明一次性购买该商品个，
，
，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意舍去，
，
即小明一次性购买该商品个．
【解析】设小明一次性购买该商品个，由题意：小明一次性购买该商品共用元，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可．
本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26.【答案】解：等式两边都除以，得，
即，
两边平方，得，
，
；
等式两边都除以，得，
所以，
．
【解析】把已知等式两边除以可得到，再把等式两边平方，然后利用完全平方公式展开即可得到的值；
把已知等式两边除以可得到，再利用完全平方公式得到，然后利用算术平方根的定义求解．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．灵活运用完全平方公式是解决问题的关键．
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