福建省三明市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含答案）

三明名校2022—2023学年第二学期高二半期考
数学学科试卷
（总分150分，时间：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．满足关系式的正整数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题错误的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．设，且，则
C．线性回归直线一定经过样本点的中心
D．随机变量，若，，则
3．函数的图象在处的切线在轴上的截距是（ ）
A．1 B． C． D．0
4．某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（ ）
A．78 B．24 C．21 D．18
5．某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒
男性人数 15 22 14 9
女性人数 5 11 17 7
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（，单位：）与制动距离（，单位：）之和．如图为某实验所测得的数据，其中“”表示刹车时汽车的初速度（单位：）．根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合述，与的函数关系的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ）
A．变量与变量呈负相关
B．变量与变量的相关性变强
C．残差平方和变小
D．样本相关系数变大
10．在的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256
C．常数项为84 D．有理项有2项
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．函数的单调递减区间为
C．的极小值为 D．方程有2个不同的解
12．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，以表示没有出现连续2次6点向上的概率，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知随机变量的分布列如下表，则__________．
0 2 4
0.3 0.5
14．的展开式中，含的项的系数是__________．
15．已知变量关于的经验回归方程为，设，则，其一组数据如表所示：
1 2 3 4
1 3 4 6
若，则预测的值可能为__________．
16．若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的最小值为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）
若，且．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
18．（12分）
某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．
（1）依次不放回地从中取出2个盲盒，在第一次取到小兔盲盒的条件下，第二次取到小兔盲盒的概率；
（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．
19．（12分）
已知函数（，）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
20．（12分）
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得，，．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
21．（12分）
为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第轮游戏，且其前轮的累计得分恰好为时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮仍未关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
（1）求随机变量的分布及数学期望；
（2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
22．（12分）
已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）设函数有两个极值点，，且，求证：．
数学学科参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
B B C D C C B D
二、多项选择题
9 10 11 12
ABC BC ACD ACD
三、填空题
13．16 14．14 15． 16．
四、解答题
17．解：（1）令，则，有
所在的项为，
得，即，解得．
（2）由（1）可知，
对照系数知，，，，，…，．
令，得，
令，得，
故．
18．解：（1）设事件“第次取到的是小兔盲盒”，，2．
，，
，．
在第一次取到小兔盲盒的条件下，第二次取到小兔盲盒的概率为；
（2）设事件“第次取到的是小狗盲盒”，，2．
，，，
由全概率公式，可知第2次取到的是小狗盲盒的概率为
．
19．解：（1）
①当时，恒成立，函数的递增区间为．
②当时，令，解得或．
0
单调递减 单调递增
所以函数的递增区间为，递减区间为．
（2）对任意的，使恒成立，只需任意的，．
①当时，在上是增函数，所以只需，
而，所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需，而，所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，上是增函数，
所以只需即可而，从而不满足题意；
综上可知，实数的取值范围为．
20．解：（1）设这棵树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，
则根据题中数据得：，；
（2）由题可知，
；
（3）设总根部面积和，总材积量为，则，
故．
21．解：（1）由题意得，随机变量可取的值为1，2，3，
易知，，，
则随机变量的分布列如下：
1 2 3
0.3 0.6 0.1
所以．
（2）由（1）可知，甲每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1，
记甲第轮的得分为，则其前轮的累计得分为．
若第一轮取球后可领取纪念品，即甲得2分，则；
若第二轮取球后可领取纪念品，即甲获得的分数之和为4分，有“”、“”的情形，
则；
若第三轮取球后可领取纪念品，即甲获得的分数之和为6分，
有“”、“”的情形，则；
记“甲能够领取纪念品”为事件，
则．
22．解：（1）．
当时，，
令，有或，
当或时，；
当时，．
所以的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2）解：由于有两个极值点，，则有两个不相等的实根，
所以，，即，，
，
设，
则，
在上单调递减，所以，即．