武汉市重点中学 2022—2023 学年度下学期高二期中检测
数学参考答案
一、二选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C D B C B A BCD ACD AC ACD
三、填空题
13．65 14．（ 1，2]
1 2e
15．0 m 16． (0, ]
4 4
四、解答题
17.【详解】（1）解： 因为 2S 3a 1n n ，当n 2 时，可得2S 3a 1n 1 n 1 ，
两式相减，可得2a 3a 3a a 3an n n 1 ，即 n n 1 ，
a
n
当 n 1时，可得2S 2a 3a 1，解得a 11 1 1 1 ， 3
a
n 1
所以数列 an 是首项为 a 11 ，公比为q 3的等比数列，
n 1 n 1
所以 a a q 3n 1 .………………………………………………………………（5 分）
n n
n 1 3 3 3 1 1
（2）解：因为 a 3 b ( )n ，可得 n n 1 n n 1 n ， (a 1)(a 1) (3 1)(3 1) 2 3 1 3 1
n n 1
3 1 1 1 1 1 1
所以 f (n) [( ) ( ) ( )] 0 1 2 n 1 n
2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
3 1 1 3 3 1
( ) ，…………………………………………………（10 分）
n n
2 2 3 1 4 2 3 1
18．【详解】解：(1)以 B 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
2 1
依题意可设抛物线方程为 x 2 py p 0 ，且C 1,2 ，所以4 p 1，即 p ，
4
2
故点 P 所在曲线段BC 的方程为 y 2x 0 x 1 ，
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2
设 P x, 2x 0 x 1 是曲线段BC 上的任意一点，
2
则在矩形 PMDN 中， PM 2 2x ， PN 1 x，
2
桌面板的面积为 S 2x PM PN 2 2x 1 x 2 1 x 1 x ，x [0,1) …（6 分）
2
(2) S x 4 1 x 1 x 2 1 x 2 1 x 1 3x ，
1
当0 x 时， S x 0，此时函数 S x 单调递增，
3
1
当 x 1时，S x 0，此时函数 S x 单调递减，………………………………（9 分）
3
1 1 64
所以当 x 时，S x 有最大值，S .………………………………………（11 分）
3 3 27
64
矩形桌面板的最大面积为 平方米．………………………………………………（12 分）
27
x x
19．【详解】（1）当a 0 时， f x x 2 e ， f x x 1 e
f 0 0 1 0e = 1 f (0) 2
∴ 切线方程为： y ( 2) ( 1)(x 0)，即 x y 2 0 .…………………………（4 分）
x a 2
（2）因为 f x x 2 e x ax ，a R ．
2
所以 f x x 1
x x
e ax a x 1 e a ．
①当a 0 时，令 f x 0，得 x 1． f x 在 ,1 上单调递减；
令 f x 0，得 x 1， f x 在 1, 上单调递增．
②当0 a e时，令 f x 0，得 ln a x 1． f x 在 ln a,1 上单调递减；
令 f x 0，得 x ln a 或 x 1． f x 在 , ln a 和 1, 上单调递增．
③当 a e时， f x 0在 x R 时恒成立， f x 在R 单调递增．
④当 a e时，令 f x 0，得1 x ln a ． f x 在 1, ln a 上单调递减；
令 f x 0，得 x ln a或 x 1． f x 在 ,1 和 ln a, 上单调递增．
综上所述：当a 0 时， f x 在 ,1 上单调递减，在 1, 上单调递增；
当0 a e时， f x 在 ln a,1 上单调递减，在 , ln a 和 1, 上单调递增；
当 a e时， f x 在R 上单调递增；
当 a e时， f x 在 1, ln a 上单调递减，在 ,1 和 ln a, 上单调递增．…（12 分）
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20．解析：（1） x x x f (x) e cos x e sin x 2e cos(x )
4
3 若 2k x 2k ，即2k x 2k ， k N ,则；cos(x ) 0,
2 4 2 4 4 4
f (x) 0
若 3 5
2k x 2k ，即2k x 2k ， k N ,则cos(x ) 0,
2 4 2 4 4 4
f (x) 0；
于是当 7 *x 2m , m N 时，
f (x) 取得极大值，所以 7 *x 2n , n N ，此时，
n
4 4
7 7
2n 7 2 2n
f (x ) e 4 cos(2n ) e 4 ，易知
f (x ) 0
n ，而
n
4 2
7
2 2(n 1)
e 4
f (x )
n 1 2
2
e 是常数，
f (x ) 7
n 2 2n
e 4
2
f (x )故数列 n
是首项为 2 2 f (x ) e 4 ，公比为e 的等比数列．………………（6 分）
1
2
7
（2）对一切 * 2
2n 7
n N 不等式 f (x ) ax 恒成立，即 4
n n e a(2n )恒成立，
2 4
7
2n x
4 e n
等价于 e2a 恒成立，等价于 2a
7 x
2n n
4
t t
e e (t 1)
g(t) (t 0) g (t)
2
设 t ，则 t ，令 g (t) 0得 t 1，
当0 t 1时， g (t) 0 ，所以 g(t)在区间(0,1)上单调递减；
当 t 1时， g (t) 0，所以 g(t)在区间 (1, )上单调递增；
因为 ，且当n 2 时， x (1, ), x x ,x (0,1) n n n 1 所以
1
9 4
[g (x )] min g (x )，g (x ) min g ( )，g ( ) g ( ) e 4 n min 1 2
4 4 4
4
因此， 2 22a e 4 ，解得a e 4 ，
a 2 2故实数 的取值范围是 ( , e 4 ]．………………………………………………（12 分）
2 c 2
21．【详解】（1）因为椭圆 E 的离心率为 ，所以 .
2 a 2
又当T 位于上顶点或者下顶点时，△TF F1 2 面积最大，即bc 1 .
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c 2
a 2
又 2 2 2a b c ，即 bc 1 ，所以b c 1, a 2 .
2 2 2a b c
2
x
所以椭圆 E 的标准方程为 2 y 1 .…………………………………………（4 分）
2
（2）由已知得， BC 的斜率存在，且 B,C 在 x 轴的同侧，
设直线 BC 的方程为 y k (x 2) ， B(x , y ),C(x , y )，不妨设 x x1 1 2 2 1 2 ，
则 y y 0, x t x ,1 2 1 2
y k (x 2)
2 2 2 2
由 2x 得 (1 2k )x 8k x 8k 2 0, 2
y 1
2
2 2
2 8k 8k 2所以 8(1 2k ) 0, x x , x x , ……………………（6 分）
1 2 2 1 2 2
1 2k 1 2k
1 1 1
因为 S (t x ) | y |, S (2 t) | y y |, S (x t) | y |1 1 1 2 2 1 3 2 2 ，…………（7 分）
2 2 2
1 1
所以 S S (x t)(t x ) | y y | (x t)(t x ) y y 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2
4 4
1 2
k (x t)(t x )(x 2)(x 2)
2 1 1 2
4
1 2
k
2
t(x x ) x x t
x x 2(x x ) 4 1 2 1 2 1 2 1 24
2 2 2 2
1 2 8k t 8k 2 2 8k 2 16k
k t 2 2 4 2 2
4 1 2k 1 2k 1 2k 1 2k
2
1 2k
2 2 2 2k (t 2) t 2 ，
2 2
4 (1 2k )
1 2 1 2 2 1 2 2 2
S (2 t) ( y y ) k (2 t) (x x )
2 2 1 2 1
4 16 16
1 2 2 2 k (2 t) (x x ) 4x x
2 1 1 2 16
2 21 2 2 8k 2 32k 8
k (2 t) ( ) 2 2
16 1 2k 1 2k
2
1 2k 2 2 2
2k (t 2) (t 2) ， 2 24 (1 2k )
1 2 2
要使 S1 ， S2 ， S3 总成等比数列，则应有 t 2 (t 2) 解得 t 1，
2
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1
所以存在 t 1，使得 S ， S ，S1 2 3 总成等比数列.………………………………（12 分）
2
22．【详解】（1） f (x) ln x ax 1
x , x
1 2 是 ln x ax 1的两根
1 ln x 1 ln x
即 a 1 2
x x
1 2
1 ln x ln x
h(x) , h (x)
设 2x x
x (0,1)时，h (x) 0,h(x)单调递增； x (1, )时，h (x) 0,h(x) 单调递减
1
又 h(e ) 0, h(1) 1， x 0 时，h(x) ; x 时，h(x) 0
y
1
a
0 x2 1 x1 x
0 a 1,0 x 1 x …………………………………………………………（3 分）
2 1
ln x 1
f (x) x( a) x(h(x) a)
x
x (x , x )
2 1 时 f (x) 0, f (x) 单调递增
x (x , )
1 时 f (x) 0, f (x)单调递减
x
1为 f (x) 的极大值点………………………………………………………………（4 分）
1 2
f (x) f (x ) x ln x ax
极大值 1 1 1 1
2
1
x ln x (ln x 1)x
1 1 1 1
2
1 1
x ln x x
1 1 1
2 2
2
1 e
x (ln x 1)
1 1
2 2
2
x (ln x 1) e
1 1 ……………………………………………………………………（6 分）
令 g(x) x(ln x 1) g (x) ln x 1 1 ln x
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2 2
g(x)在 (1, )上单调递增， g (x ) e g (e ) 1
2
x e ，又 在 单调递减
1 h(x) (1, )
2 3 3
a h(x ) h(e ) , 0 a
1 2 2
e e ………………………………………………（7 分）
（2） ln x ax 1 0 ln x ax 1 01 1 2 2
x ln t t ln t
设 t 1 2 ，则有 x , x 2 1
x a(t 1) a(t 1)
2
3
要证 x x ln 2, a 0
1 2
a
(t 1) ln t
即要证 3ln 2, t 2
t 1
3ln 2 (t 1)
即要证 ln t 0
t 1
2
3ln 2 (t 1) t ( 2 6 l n t2 ) 1
构造 (t) ln t (t)
2
t 1 t(t 1)
2设 (t) t (2 6 ln 2)t 1 (t)在 (2, ) 单调递增
(t) (2) 0 (t) 0 (t)单调递增
(t) (2) 0得证………………………………………………………………（12分）
试卷第 6 页，共 6 页2022一2023学年度下学期高二期中检测
数学试题
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.已知等差数列{an}的前n项和Sn,若a2+a,+a14+a5=40,则S16=()
A.150
B.160
C.170
D.180
2.曲线y三+2在点-处的切线的倾斜角为()
2
A.3z
B.
4
4
c.号
D.
3.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x),且函数g(x)=x·f”(x)的图象如图所示，则下列结论
中一定成立的是（·)
A.f(x)有三个极值点
B.f(-2)为函数的极大值
C.f(x)有一个极大值
D.f(-1)为f(x)的极小值
4.“米”是象形字，在数学探究课上，某同学用抛物线C,:y2=-2px(p>0)和C2:y2=2px(p>0)构造
了一个类似“米字型的图案，如图所示，若抛物线C,C2的焦点分别为，E，点P在抛物线C上，
过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点2，若PF=2P2=4,则p=（)
A.2
B.3
C.4
D.6
5.已知函数)=(-2列心+1-)x,若对任意两个不等的实数，都有)f）1,则。
X1-X2
的最大值为（)
高二年级数学期中试题第1页共4页
A.-2
B.-1
C.1
D.2
6.f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，有f'(x)+2f(x)>0恒成立，则()
A.f(1)>4f(2)
B.f(-1)<4f(-2)
C.4f(2)<9f(3)
D.4f(-2)<9f(-3)
7.已知函数f=--cosx,若p=了e今)9=f氵，r=f月，则m9'大小关系为()
A.r
B.pC.qD.r:t
8。已知函数了()：若过点(-儿m可以作画线y=了问的三条切线，则加的取值范围是《
c.(
D.(9
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=x1nx,则()
A.f(x)≥0恒成立
B.f()
e,
上的增函数
C.f(o在x=e取得极小值-
D.f(x)只有一个零点
2e
10,已知动点P在双曲线C:x2-”=1上，双曲线C的左、右焦点分别为RR,下列结论正确的是()
3
A.双曲线C的离心率为2
B.双曲线C的渐近线方程为y=±
-x
C.动点P到两条渐近线的距离之积为定值
D,当动点P在双曲线C的左支上时，
PRI
P的最天值为厂
11.记等比数列{a}的前n项和为Sn,前n项积为T,且满足a>1，a2>1,as<1,则下列说法
正确的是()
A.a2022a2024-1<0
B.S2022+1C.T222是数列{Tn}中的最大项
D.T4045>1
高二年级数学期中试题第2页共4页