合肥六校联盟 2022-2023 学年第二学期期中联考
高二年级数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1.已知等差数列 an 前 15 项和为 45，若 a3 10 ，则 a13 （ ）
A. 16 B. 55 C. -16 D. 35
2.设 f (x) x x lim ( 0+ ) ( 0)在 0处可导，则 2 = ( ） →0
1
A． f ' ( x 0 )2 B．
2 f x0 C． f x0 D． 2 f x0
3．已知等比数列 an ，且 a1 1，a5 5，则 a3 的值为（ ）
5 5A．3 B． C． 5 D．
2
a 3
4．已知数列 an 满足 a n1 0，an 1 n N3a ，则
a20 （ ）
n 1
A． 0 B． 3 C 3． 3 D．
2
2 1
5．设函数 f x x ， f (x)是 f (x) 的导数，则函数 g x f x cos x的部分图像可以为（ ）
2
A． B． C． D．
6.安排 5名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，
则不同的安排方法共有（ ）
A．60 种 B．90 种 C．150 种 D．240 种
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n
7. 定义 为 n个正数 p1, p2 , pn 的“均倒数”，若已知数{an}的前 np p p 项的“均倒数”为1 2 n
1 b an 2
1 1 1
，又 n ，则 ( )3n 1 6 b1b2 b2b3 b9b10
1 10 11 9
A. B. C. D.
11 11 12 10
x 2 4x 2, x 0
8．已知函数 f (x) e ln x ,若函数 g(x) f (x) 3m, x 0 有 4 个不同的零点，则
m的取值范围
x
是( )
2 2 2 2 1 1
A. （0，） B. （ ，） C.（ ，） D.（0，）
3 3 3 3 3 3
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9．下列选项正确的是（ ）
A. y ln 2, y' 1 则 B. f (x) 1 2 ,则f ' (3)
2
2 x 27
C. (x3e x )' 3x 2e x x3e x D. (2sin x )' 2cos x 2 x 2x
7
1 2x 10．关于 的二项展开式，下列说法正确的是（ ）
x
A. 二项式系数和为 128 B. 各项系数和为 7
C. x 1项的系数为-280 D. 第三项和第四项的系数相等
11．设等差数列 an 的前 n项和为 sn，公差为 d ．已知 a3 12 ， s12 0 ，a7 0，则（ ）
a 0 24A． 6 B． d 37
S
C． sn 0 时， n的最小值为 14 D．数列 n 中最小项为第 7 项
an
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12.已知函数 f x 满足 xf x f x lnx 1, f 1 2 ，则当 x 0 时，下列说法正确的是（ ）
A． f 2 ln2 1
B． x 2 是函数 f x 的极大值点
C．函数 y f x x 有且只有一个零点
D．存在正实数 k，使得 f x kx恒成立
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.函数 f (x) ln(x 1)的图象在点（1，f (1)）处的切线方程为 .
14.二项式 (1 3x)(1 2x)5 4的展开式中的 x 项的系数为 .
15.如图，一圆形信号灯分成 A，B，C，D 四块灯带区域，现有 4 种不同的颜色
供灯带使用，要求在每块灯带里选择 1 种颜色，且相邻的 2 块灯带选择不同的 A D
颜色，则不同的信号总数为 ． B C
1 n 1
16. 已知数列 an 满足 an ，定义使
log n (n 1) n 2，n N
*
a1 a2 a3 ak (k N
)为整数的 k叫做“幸福数”，则区间[1,2022]内所有“幸福数”的和
为 ．
四、解答题（本题共 6小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤）
17.（10 分） Sn为等差数列 an 的前 n项和，已知 a7 1， S4 32 .
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）求 Sn，并求 Sn的最小值.
3
18.（12 分）设 x 3是函数 f x ax bx 2 3x c 的一个极值点，曲线 y f x 在 x 1处的切线
斜率为 8.
（1）求 f x 的单调区间；
（2）若 f x 在闭区间 1,1 上的最大值为 10，求 c的值.
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19.(12 分)（1）高二（10）班元旦晚会有 2 个唱歌节目 a和b；2 个相声节目 c 和 d.要求排出一个节目单，
满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目.列出所有可能的排列.
（2）甲乙丙丁戊己庚 7 个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙 3 人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有
多少种不同排法？（结果用数字表示）
（3）从 4 名男教师和 5 名女教师中选出 4 名教师参加新教材培训，要求有男有女且至少有 2 名男教师参
加，有多少种不同的选法？（结果用数字表示）
20．（12 分）如图所示，AB 为沿海岸的高速路，海岛上码头 O 离高速路最近点 B的距离是120km，在距
离 B300km的 A处有一批药品要尽快送达海岛．现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点 C 到 B 的
距离为 x，已知汽车速度为100km / h，快艇速度为50km / h．（参考数据： 3 1.7 ．）
（1）写出运输时间 t x 关于 x的函数；
（2）当 C 选在何处时运输时间最短？
21.(12 分)已知数列 a *n 的前 n项和为 Sn，当 n N 时， Sn 2 2an ；数列 bn 中，b1 1.直线
x y 1 0 经过点 P bn ,bn 1 ．
（1）求数列 an 、 bn 的通项公式 an ，bn ；
（2）设 cn anbn，求数列 cn 的前 n项和Tn ，并求使Tn 2022的最大整数 n．
22.（12 分）设函数 f (x) ex ax 2
（1）求 f (x) 的单调区间；
（2）若 a 1且当 x 0时 (x k) f (x) x 1 0 ，求整数 k的最大值.
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高二年级数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，满分 40 分.
1. A 2. A 3．B 4．B 5．A 6.C 7.D 8．D
二、选择题：本题共 4 小题，满分 20 分.
9． BC 10． AC 11．ABD 12. AC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，满分 20 分.
1 1
13. y x ln 2 14.-160 15.84 16.2036
2 2
四、解答题：本题共 6 小题，满分 70 分.
17.（本小题满分 10 分）
（1）（1）设 an 的公差为d ，
a1 6d 1 a 11
由 a
7 1 S 32
4 3 1， 4 ，即 ，解得 ，所以 an a1 n 1 d 2n 13 .d 2 ......6 分 4a1 d 32 2
n n 1
（2） Sn na d 11n n
2
1 n n
2 12 n， S 2n n 12n n 6
2 36，...............12 分
2
所以当 n 6时， Sn的最小值为 36 .
18.（本小题满分 12 分）
（1） f x 3ax 2 2bx 3， ...............................1 分
f 3 0 27a 6b 3 0
由已知得 ，得 ，...............................4 分 f 1 8 3a 2b 3 8
解得 a 1,b 4 2.经验证可知符合题意，于是 f x 3x 8x 3 x 3 3x 1 ，
由 f x 0 1 1，得 x 3或 x ，由 f x 0，得 3 x ，..............5 分
3 3
所以 f x 的单调递增区间是 , 3 1和 ,
1
，单调递减区间是 3, .....6 分
3 3
3 2 1 1
（2）由（1）知 f x x 4x 3x c，因为 f x 在区间 1, 上是单调递减函数，在3 ,1 3
上是
单调递增函数，又 f 1 2 c f 1 6 c .......................10 分
所以其最大值为 f 1 6 c 10，解得 c 4 . .......................12 分
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19.(本小题满分 12 分).
（1）歌唱节目记为 a,b，相声节目记为 c,d ，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目的排列为：
acdb,adcb,bcda,bdca . ......................4 分
（2）甲乙丙 3 人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，然后排其内部
顺序，再在 3 个元素形成的 4 个空中插入丁和戊，
故甲、乙、丙 3 3 3 2人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有A3A3A4 432（种）. ........8 分
3 2 2 2 3 1（ ）选 名男教师与 2 名女教师，共有C4C5 60 (种)，选 3 名男教师与 1 名女教师，共有C4C5 20 (种)，
所以共有 60+20=80（种）. ...................... ........12 分
20．（本小题满分 12 分）
（1）由题意知 |OC | 1202 x2 ， | AC | 300 x，
1202 x 2 300 x ..............................5 分
t(x) (0 x 300).
50 100
1
2 2 2
（2） t (x) 1
120 x 2x 1 x 1
2 50 100 50 1202 x2 100
令 t x 0，得 x 40 3， ..............................9 分
当0 x 40 3 时， t x 0，当 40 3 x 300时， t x 0
所以 x 40 3 68时 t x 取最小值．所以当点 C 选在距 B 点68km时运输时间最短．.......12 分
21.（本小题满分 12 分）
Sn 2 2an Sn 2an 2 Sn 1 2an 1 2 n 2(1)∵ ，∴ ，则 ，
a
∴ an 2an 2an 1，即 an 2a
n
n 1，得 2 n 2 a S a 2a 2 a 2a ．又 1 1，∴ 1 1 ，即 1 ，n 1
可得数列 an 是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 a nn 2 ；
∵点 P bn ,bn 1 在直线 x y 1 0上，∴bn bn 1 1 0，∴bn 1 bn 1，即数列 bn 是等差数列，
又b1 1，∴bn 1 1 n 1 n； ................................................6 分
c a b
(2)∵ n n n，∴ c n 2
n 2 3 n
n ，∴Tn a1b1 a2b2 anbn 1 2 2 2 3 2 n 2 ，
∴ 2Tn 2
2 23 n 1 2n n 2n 1，
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两式相减可得： Tn 2
1 22 23 2n n 2n 1
2 1 2n
n 2n 1 n 1 n 1 1 n 2 2 ，∴Tn n 1 2 2,..................9 分
1 2
设 f (n) n 1 2n 1 2，则 f (n 1) f (n) n 2n 2 2 [ n 1 2n 1 2] (n 1)2n 1 0，
f (n) n 1 2n 1 2 n N * n N * T n 1 2n 1故 ， 是单调递增的故当 时， n 2单调递增的，
n 7 Tn 1538当 时， ；当 n 8 Tn 3586 T 2022时， ，故满足 n 的最大整数n 7．..........12 分
22.（本小题满分 12 分）
(1)函数 f (x) ex ax 2的定义域是R ， f ' (x) e x a, ...........................1 分
若 a 0,则f ' (x) a 0,所以函数f (x) e x ax 2在（ ， ）上单调递增.
a 0,则当x ( , ln a)时，f ' (x) e x a 0;当x (ln a, )时，f ' (x) e x a 0;
若
所以 f (x)在（ ，ln a）上单调递减，在（ ln a, ）上单调递增. ................5 分
（2）由于a 1,所以，（x k）f ' (x) x 1 (x k)(e x 1) x 1
当x 0时，(x k) f ' (x) x 1 0 x 1等价于k
e x
x(x 0)○1
1
x 1 xe x 1 e x (e x
令 g(x) x x，则g ' (x)
x 2)
e 1 (e x 1)2
1
(e x 1)2
由（1）知函数 h(x) e x x 2在（0， ）上单调递增，而h(1) 0,h(2) 0.
所以h(x) e x x 2在(0, )上存在唯一零点,故g(x)在(0, )上存在唯一零点. ........9 分
设此零点为 ，则 (1,2)当x (0, )时，g ' (x) 0;当x ( , )时，g ' (x) 0;
所以 g(x)在(0, )上的最小值为g( ).又由g ' ( ) 0可得e 2
所以 g( ) 1 (2,3)
由于○1 式等价于 k g( )，故整数 k的最大值为 2. ...................................12 分
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