第八章：二元一次方程组 练习题（含解析）2021-2022学年山东省七年级下学期人教版数学期末试题选编

第八章：二元一次方程组 练习题
一、单选题
1．（2022春·山东淄博·七年级统考期末）下列方程中，是二元一次方程的是(　　)
A．3x﹣2y＝4z B．4x+y＝2 C． D．6xy+9＝0
2．（2022春·山东日照·七年级统考期末）若等式，是关于，的二元一次方程，则的值是（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）已知是二元一次方程组的解，那么m+3n=（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·山东菏泽·七年级期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·山东泰安·七年级统考期末）已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1
C．m＝，n＝﹣ D．m＝﹣，n＝
7．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（ ）．
A．不论k取什么实数，的值始终不变
B．存在实数k，使得
C．当时，
D．当，方程组的解也是方程的解
8．（2022春·山东淄博·七年级统考期末）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 9：00 10：00 11：30
里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0
则10：00时看到里程碑上的数是（ ）
A．15 B．24 C．42 D．51
9．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分，某队在场比赛中得到分．若设该队胜的场数为，负的场数为，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2022春·山东青岛·七年级统考期末）现有八个大小相同的长方形，可拼成如图①、②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
11．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）有甲、乙、丙三种文具，若购买甲1件，乙2件比购买丙1件多花9元；若购甲2件，丙8件比购买乙1件多花18元．现在购买甲、乙、丙文具各一件，则共需费用的的（ ）
A．7元 B．8元 C．9元 D．10元
二、填空题
12．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）如果x－2y=1，那么用含x的代数式表示y，则y=______．
13．（2022春·山东泰安·七年级统考期末）若是二元一次方程，则的值______．
14．（2022春·山东德州·七年级统考期末）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．
15．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）如果关于x、y的二元一次方程组，则__________．
16．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知，则的平方根为______．
17．（2022春·山东泰安·七年级统考期末）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9，则原来的两位数是_____．
18．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则列出的方程组为________．
三、解答题
19．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）是否存在整数k，使方程组的解中，x大于1，y不大于1，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．
20．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）已知：是关于二元一次方程，点A在坐标平面内的坐标为 点B（3，2）将线段AB平移至A’B’的位置，点B的对应点（-1，3）．求点A’的坐标
21．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
22．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）解下列方程组
(1)
(2)
23．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）已知正数a的两个平方根x、y为方程的一组解，求a的值．
24．（2022春·山东德州·七年级统考期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“相伴点”．
例如：点P（2，3）的一对“相伴点”是点（5，﹣3）与（﹣3，5）．
(1)点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是 与 ；
(2)若点A（8，y）的一对“相伴点”重合，则y的值为 ；
(3)若点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），求点B的坐标；
(4)如图，直线l经过点（0，﹣3）且平行于x轴．若点C是直线l上的一个动点，点M与N是点C的一对“相伴点”，在图中画出所有符合条件的点M，N组成的图形．
25．（2022春·山东聊城·七年级统考期末）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：
月份 销售量件 销售额元
冰墩墩 雪容融
第个月
第个月
求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．
26．（2022春·山东菏泽·七年级统考期末）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买100瓶免洗手消毒液和150瓶84消毒液，共需花费1500元；如果购买120瓶免洗手消毒液和160瓶84消毒液，共需花费1720元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）某药店出售免洗手消毒液，满150瓶免费赠送10瓶84消毒液．若学校从该药店购进免洗手消毒液和84消毒液共230瓶，恰好用去1700元，则学校购买免洗手消毒液多少瓶
27．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只进价分别是多少元；
(2)若“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只售价分别是200元、100元．该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具（两种均买），请帮助专卖店设计采购方案，使得总利润最大．
参考答案：
1．B
【分析】直接利用二元一次方程的定义分析得出答案．
【详解】A.，不是三元一次方程，故此选项错误；
B.，是二元一次方程，故此选项正确；
C.，不是整式方程，故此选项错误；
D.，最高是二次，故此选项错误；
故选B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
2．C
【分析】根据二元一次方程的定义，得|m|=1，m-1≠0，计算判断即可．
【详解】∵等式，是关于，的二元一次方程，
∴|m|=1，m-1≠0，
解得m=-1，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程即含有两个未知数且含未知数的项的次数为1的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
3．D
【分析】将代入方程组中，转化为解二元一次方程组，利用加减消元法解答．
【详解】解：将代入方程组中，得，．
①+②得m+3n=9．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组，涉及整体思想，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
4．C
【分析】根据二元一次方程组的定义逐项分析即可．
【详解】解：A.含有3个未知数，故不是二元一次方程组；
B.的分母含未知数，故不是二元一次方程组；
C.是二元一次方程组；
D. 含有2次项，故不是二元一次方程组；
故选C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．
5．D
【分析】把①代入②，即可求解．
【详解】解：，
把①代入②得：.
故选：D
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组得解法——代入消元法，加减消元法是解题的关键．
6．A
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵x2m-n-2+ym+n+1＝6是关于x、y二元一次方程，
∴，
解得：，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据题意列出关于m、n的方程组，是解题的关键．
7．D
【分析】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可．
【详解】解：，解得：，然后根据选项分析：
A选项，不论k取何值，，值始终不变，成立；
B选项，，解得，存在这样的实数k，成立；
C选项，，解得，成立；
D选项，当时，，则，不成立；
故选D．
【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有参数）是解决本题的关键．
8．D
【分析】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据车的速度不变和12:00时看到的两位数字之和为6，即可列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得：，
解得：，
∴9：00时看到的两位数是15．
10：00时看到里程碑上的数是
故选：D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
9．A
【分析】设这个队胜场，负场，根据题意得到方程组.
【详解】解：设这个队胜场，负场，
根据题意，得．
故选A．
【点睛】本题考查列二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组.
10．D
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积．
【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
∴xy=10×6=60．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
11．C
【分析】设甲文具的单价为x元，乙文具的单价为y元，丙文具的单价为z元，根据“若购买甲1件，乙2件比购买丙1件，多花9元；若购甲2件，丙8件比购买乙1件多花18元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，利用（3×①+②）÷5，即可求出购买甲、乙、丙各一件文具所需的费用．
【详解】解：设甲文具的单价为x元，乙文具的单价为y元，丙文具的单价为z元，
依题意，得：
∴（3×①+②）÷5，得：x+y+z=9．
故选：C．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
12．
【分析】将x看作常数，依次移项、系数化为1即可得．
【详解】解：x－2y=1，
2y＝x 1，
y＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
13．
【分析】由二元一次方程的定义可求得m、n的值，进而得到答案．
【详解】解：由二元一次方程的定义，有
解得
∴
【点睛】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
14．
【分析】方法一：利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组的解是，再利用加减消元法即可求出a，b．
【详解】解：方法一，∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴将解代入方程组，
可得m=﹣1，n=2，
∴关于a、b的二元一次方程组，整理为：，
解得：．
方法二：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴方程组的解是，
解，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解、运用在此题体现明显．
15．12
【分析】先利用加减法解得，再用整体思想解得，最后代入数值即可解题．
【详解】，
②-①得，
∴
故答案为：12．
【点睛】本题考查含参数的一元二次方程解法，涉及加减法、整体思想等，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
16．
【分析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出4x 2y的值，代入计算即可求出所求．
【详解】解：∵
∴，
①＋②得：4x 2y＝9，
则＝3，3的平方根是±．
故答案为：±．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，非负数的性质，平方根，熟练掌握各自的性质及方程组的解法是解本题的关键．
17．34
【分析】设原来的两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据“十位上的数字与个位上的数字之和为7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大9”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出结论．
【详解】解：设原来的两位数十位上的数字为x，个位上的数字为y，
依题意得：，
解得：，
∴10x+y＝10×3+4＝34．
故答案为：34．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程组即可．
18．
【分析】根据图示可得：大长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程即可．
【详解】解：根据图示可得大长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程得到：
，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
19．存在，k只能取3，4，5
【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于k的式子，然后解出k的范围，即可知道k的取值．
【详解】解：解方程组得，
∵x大于1，y不大于1从而得不等式组，
解之得2＜k≤5，
又∵k为整数，
∴k只能取3，4，5，
答：当k为3，4，5时，方程组的解中，x大于1，y不大于1．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x＞1，y≤1，则解出x，y关于k的式子，最终求出k的范围，即可知道整数k的值．
20．
【分析】根据二元一次方程的定义求解，由的左边确定平移方式，从而得到答案．
【详解】解：是关于二元一次方程，
，
解得：
往左边平移了4个单位长度，再往上平移了1个单位长度，
也做了同样的平移，
【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，平面直角坐标系中的点的平移对坐标的影响，掌握定义与点的平移时坐标变化规律是解题关键．
21．（1）种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元；（2）购进种消毒液67瓶，购进种23瓶，最少费用为676元
【分析】（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，由一次函数的增减性，即可确定方案．
【详解】解：（1）设种消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元．
由题意得：，解之得，，
答：种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元．
（2）设购进种消毒液瓶，则购进种瓶，购买费用为元．
则，
∴随着的增大而减小，最大时，有最小值．
又，∴．
由于是整数，最大值为67，
即当时，最省钱，最少费用为元．
此时，．
最省钱的购买方案是购进种消毒液67瓶，购进种23瓶．
【点睛】本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．
22．(1)
(2)
【分析】（1）由于方程中未知数y的系数互为相反数，故可先用加减消元法再用代入消元法进行计算；
（2）先去掉方程中的分母及括号，再选择合适的方法求方程组的解．
（1）
①+②得，3x＝3，
解得，x＝1，
把x＝1代入①得，1+3y＝4，
解得，y＝1，
故原方程组的解为；
（2）
原方程组可化为，
①﹣②得，﹣y＝﹣2，
解得，y＝2，
把y＝2代入①得，3x﹣2×2＝2，
解得，x＝2，
故原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，注意：在解含分母的二元一次方程组时要先去掉分母再求解．
23．
【分析】根据x、y是正数a的两个平方根，可得，解二元一次方程组求出x、y的值即可求出a的值．
【详解】∵x、y是正数a的两个平方根，
∴，
将代入，
得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查平方根、二元一次方程的解，解题的关键是明确题意求出a的值．
24．(1)（1，3），（3，1）；
(2)﹣4；
(3)B（6，﹣7）或（6，1）；
(4)图形见解析
【分析】（1）根据新定义求出a，b，即可得出结论；
（2）根据新定义，求出点A的一对“相伴点”，进而得出结论；
（3）设出点B的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论；
（4）设出点C的坐标，进而表示出点C的一对“相伴点”的坐标，即可得出结论．
（1）
解：∵Q（4，﹣1），
∴a＝4+（﹣1）＝3，b﹣（﹣1）＝1，
∴点Q（4，﹣1）的一对“相伴点”的坐标是（1，3）与（3，1），
故答案为：（1，3），（3，1）；
（2）
解：∵点A（8，y），
∴a＝8+y，b＝﹣y，
∴点A（8，y）的一对“相伴点”的坐标是（8+y，﹣y）和（﹣y，8+y），
∵点A（8，y）的一对“相伴点”重合，
∴8+y＝﹣y，
∴y＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）
解：设点B（x，y），
∵点B的一个“相伴点”的坐标为（﹣1，7），
∴或，
∴或，
∴B（6，﹣7）或（6，1）；
（4）
解：设点C（m，﹣3），
∴a＝m﹣3，b＝3，
∴点C的一对“相伴点”的坐标是M（m﹣3，3）与N（3，m﹣3），
当点C的一个“相伴点”的坐标是M（m﹣3，3），
∴点M在直线m：y＝3上，
当点C的一个“相伴点”的坐标是N（3，m﹣3），
∴点N在直线n：x＝3上，
即点M，N组成的图形是两条互相垂直的直线m与直线n，如图所示，
【点睛】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
25．此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元
【分析】设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
26．（1）每瓶免洗手消毒液为9元和每瓶84消毒液为4元；（2）学校从该药店购买免洗手消毒液164瓶
【分析】（1）设每瓶免洗手消毒液为x元和每瓶84消毒液为y元，根据题意列二元一次方程组解答；
（2）设学校从该药店购买免洗手消毒液a瓶，分两种情况：①当a＜150时，②当a≥150时，分别列方程求出a即可得到答案.
【详解】解：（1）设每瓶免洗手消毒液为x元和每瓶84消毒液为y元.
由题意，得：，
解之，得，
∴每瓶免洗手消毒液为9元和每瓶84消毒液为4元；
（2）设学校从该药店购买免洗手消毒液a瓶.
①当a＜150时，
9a+4(230-a)=1700
解之，得a=156＞150
∴a=156不符合题意，舍去；
②当a≥150时，
9a+4(230-a-10)=1700
解之，得a=164，
∴学校从该药店购买免洗手消毒液164瓶.
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的应用，方案销售问题的解决，正确理解题意是解答此题的关键.
27．(1)150，80；
(2)利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”玩具18只，购进“雪容融”玩具10只，最大利润为1100元.
【分析】（1）设“冰墩墩”玩具每只进价为x元，“雪容融”玩具每只进价为y元，由题意：8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只，由题意：该专卖店计划恰好用3500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），列出二元一次方程，求出正整数解即可；分别求出三个采购方案的利润，即可得出结论．
【详解】（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元；
（2）设购进“冰墩墩”玩具m只，购进“雪容融”玩具n只，
由题意得：，
整理得：，
∵m、n为正整数，
∴或或，
∴专卖店共有3种采购方案，
当，时，利润为：（元）；
当，时，利润为：（元）；
当，时，利润为：（元）；
∵900＜1000＜1100，
∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”玩具18只，购进“雪容融”玩具10只，最大利润为1100元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．