第九章：不等式与不等式组练习题（含解析）2021-2022学年山东省七年级下学期人教版数学期末试题选编

第九章：不等式与不等式组 练习题
一、单选题
1．（2022春·山东淄博·七年级统考期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，不等式的个数有（ 　 ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022春·山东威海·七年级统考期末）2022年3月5日，李克强总理在政府工作报告中提出，今年发展主要预期目标之一是粮食产量保持在1.3万亿斤以上．若用x（万亿斤）表示我国今年粮食产量，则x满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）若，两边都除以，得（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·山东滨州·七年级统考期末）关于x、y的二元一次方程组 满足，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知关于的二元一次方程组，给出下列说法：①若与互为相反数，则；②若，则的最大整数值为4；③若，则．其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）一次测验，有20道选择题，评分标准为：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分，小明有2道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于60分 设小明要答对道题，则根据题意可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022春·山东威海·七年级统考期末）某山西特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022春·山东淄博·七年级统考期末）关于x的一元一次不等式3x≤4+x的解集在数轴上表示为（　　）
A． B． C． D．
11．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022春·山东济南·七年级统考期末）定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，，．如果（ ）
A． B． C． D．
14．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
二、填空题
15．（2022春·山东东营·七年级统考期末）若，则________
16．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b．反之也成立．这种比较大小的方法称为求差法比较大小．请运用这种方法尝试解决问题：制作某产品有两种用料方案，方案1用4块A型钢板，8块B型钢板；方案2用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大．若设A型钢板和B型钢板的面积分别为x，y，则方案1的用料面积为______，方案2的用料面积为______，从省料角度考虑，应选方案______．(填“1”或“2”）
17．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”． 例如P(1，3)，Q(3，2)两点即为“等距点”．若T1(－1，－k－3)，T2(4，4k－3)两点为“等距点”，则k的值为______．
18．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）若点M（﹣2，7﹣a）是第二象限的点，则a的取值范围是______．
19．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）东营市出租车的收费标准是：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都需付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人从甲地到乙地经过的路程是x千米，出租车费为15.5元，那么x的最大值是______．
20．（2022春·山东威海·七年级统考期末）已知不等式组的解集为，则m的取值范围是________．
21．（2022春·山东临沂·七年级统考期末）若不等式组无解，化简得________．
三、解答题
22．（2022春·山东淄博·七年级统考期末）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)
(2)
23．（2022春·山东烟台·七年级统考期末）【阅读理解】
的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：
数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．
(1)①可理解为___________________；
②请列举3个不同的整数a，使不等式成立．列举的a的值是______________；
我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．
【理解运用】
根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：
由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或．
(2)①不等式的解集是______________；
②不等式的解集是__________________；
【拓展探究】
(3)求不等式的解集．
24．（2022春·山东泰安·七年级统考期末）某中学为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．
（1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共20个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4320元，请设计几种购买方案供这个学校选择．
25．（2022春·山东德州·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B是x轴、y轴上的点，若3是的立方根，也是的算术平方根，且，，将点B向左平移18个单位长度得到点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点M、N分别为线段BC、OA上的两个动点，点M从点B以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点N从点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒（）．
①当时时，求t的值；
②是否存在一段时间，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
26．（2022春·山东济宁·七年级统考期末）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(4)原不等式组的解集为 ．
27．（2022春·山东德州·七年级统考期末）规定min(m，n)表示m，n中较小的数(m，n均为实数，且mn)，例如：min{3，﹣1}=﹣1，、min据此解决下列问题：
（1）min=　　　　；
（2）若min=2，求x的取值范围；
（3）若min{2x﹣5，x+3}=﹣2，求x的值．
28．（2022春·山东德州·七年级统考期末）阅读材料：对x，y定义一种新运算“T”，，规定： （其中a，b均为非0常数，且）．如，若，．
(1)求a，b的值；
(2)求T（4，3）的值；
(3)若关于c的不等式组恰好有3个整数解，求实数m的取值范围．
29．（2022春·山东泰安·七年级统考期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需14万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需24万元．
（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；
（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是1200件和1000件，该公司计划购买这两种型号的机器人共8台，总费用不超过41万元，并且使这8台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8300件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？
参考答案：
1．B
【分析】根据不等式的定义进行判断．
【详解】解：①-3＜0，是不等式；
②x+3y≥0，是不等式；
③x=3是等式，不是不等式；
④x2+xy+y2是代数式，不是不等式；
⑤x≠5，是不等式．
不等式的个数有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常用的不等号：“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．
2．B
【分析】根据不等式的定义解答即可．
【详解】解：根据题意得：
x＞1.3．
故选：B．
【点睛】本题考查不等式．掌握不等式的定义是解题的关键．不等式的定义：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
3．A
【分析】利用不等式的性质即可解决问题．
【详解】解：，
两边都除以，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
4．D
【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
【详解】A. 在不等式aB. 在不等式aC. 在不等式aD. 当a= 5,b=1时,不等式a2故选D.
【点睛】本题考查不等式的性质，在利用不等式的性质时需注意，在给不等式的两边同时乘以或除以某数（或式）时，需判断这个数（或式）的正负，从而判断改不改变不等号的方向.解决本题时还需注意，要判断一个结论错误，只需要举一个反例即可.
5．D
【分析】把两个方程相加可得再整体代入不等式中，再解不等式即可．
【详解】解：
①+②得：
，
解得：
故选D
【点睛】本题考查的是二元一次方程组与一元一次不等式的解法，掌握“整体法解方程组”是解本题的关键．
6．C
【详解】3x﹣3≤5﹣x，
4x≤8，
x≤2，
所以不等式的非负整数解有0、1、2这3个，
故选：C．
7．B
【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x，y关于m的式子，然后依次判断即可得出答案．
【详解】解：∵解方程组，
得，
∴①x与y互为相反数，则x=-y，
m+2=2m
m=2，故①正确；
②，
则m+2-2m=2-m
m＜，则m的最大整数值为3，故②错误．
③x=y，
则m+2=-2m
m=，故③错误；
故选：B．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，求出m的值或取值范围是解题的关键．
8．C
【分析】设小明要答对道题，则根据题意，列出不等式即可求解．
【详解】解：设小明要答对道题，则根据题意可列不等式为，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意可得不等关系：标价×打折-进价≥利润，根据不等关系列出不等式即可．
【详解】解∶设按x折销售，根据题意得∶．
故选∶C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题列一元一次等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
10．D
【分析】解出一元一次不等式的解集，然后选出正确结果．
【详解】解：3x≤4+x，
3x-x≤4，
2x≤4，
x≤2．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式解题步骤，移项、合并同类项、把x系数化为1是解题关键．
11．B
【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可得到结果；
【详解】符合一元一次不等式组的定义，故A是；
因为有a、b两个未知数，故B不是；
符合一元一次不等式组的定义，故C是；
符合一元一次不等式组的定义，故D是；
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，准确判断是解题的关键．
12．C
【分析】先分别求出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后根据整数解的个数确定的范围．
【详解】解：，
解不等式①得：x，
解不等式②得：x<，
∴不等式组的解集是x<，
∵原不等式组的整数解有3个为1，0，-1，
∴-2＜≤-1，故C正确．
故选择：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、不等式组的整数解的应用，确定不等式组的解集是解答本题的关键．
13．A
【分析】根据新定义符号表示不大于a的最大整数，列出一元一次不等式组求解即可.
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式得解集为：
故选A.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，读懂新定义中的符号表示不大于a的最大整数是解题的关键.
14．D
【分析】设，用t表示出x、y的值，再由x，y为非负数即可求出t的取值范围，把所求代数式用t的形式表示出来，根据t的取值范围即可求解．
【详解】解：设，
则x=2t+1，y=2-3t，
∵x≥0，y≥0，
∴2t+1≥0，2-3t≥0，
解得
∴
∵w=3x+4y，把x=2t+1，y=2-3t，代入得：w=-6t+11，
∴
解得，7≤w≤14，
∴w的最大值是14，最小值是7，
∴m+n=14+7=21．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，通过设参数的方法求出W的取值范围是解答此题的关键．
15．
【分析】由c2≥0，因此分c2>0与c2=0两种情况结合不等式的性质进行求解即可．
【详解】因为是非负数，即c2≥0，
当c2>0时，根据不等式的性质可以知道>；
当c2=0时，=；
故答案为
【点睛】本题考查了不等式的性质，涉及了平方的非负性，不等式的基本性质等内容，正确进行分类讨论是解题的关键．
16． 4x+8y 3x+9y 1
【分析】设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，方案1：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：4x+8y；方案2：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：3x+9y，两式相减，结果与0比较即可．
【详解】解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，
方案1：用4块A型钢板，用8块B型钢板，用式子表示为：4x+8y；
方案2：用3块A型钢板，用9块B型钢板，用式子表示为：3x+9y；
∵4x+8y-(3x+9y)
=4x+8y-3x-9y
=x-y，
∵x＜y，
∴x-y＜0，
∴方案1的用料较省．
故答案为：4x+8y；3x+9y；1．
【点睛】本题考查了列代数式，探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“求差法”，读懂方法，计算化简即可．
17．1或2/2或1
【分析】由等距点的定义对4k-3分类讨论，求出不同情况下的k值即可．
【详解】∵(4，4k-3)到x轴的距离为，到y轴的距离为4，
若，即，
则有
解得k=-7或k=1，
∵k=-7不合题意，舍去，
∴k=1，
若，即或，
则，
解得：k=0，或k=2，
∵k=0不合题意，舍去，
∴k=2，
综上，k的值为1或2，
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“等距点”．
18．a＜7
【分析】根据第二象限的符号特点（-，+），建立不等式解答即可．
【详解】∵M（﹣2，7﹣a）是第二象限的点，
∴7-a＞0，
解得 a＜7，
故答案为：a＜7．
【点睛】本题考查了坐标与象限，不等式的解法，根据点的位置，正确建立不等式求解是解题的关键．
19．
【分析】已知从甲地到乙地共需支付车费元，从甲地到乙地经过的路程为千米，首先去掉前千米的费用，从而根据题意列出不等式，从而得出答案．
【详解】解：设他乘此出租车从甲地到乙地行驶的路程是千米，
依题意，可得：，
解得：．
即：他乘此出租车从甲地到乙地行驶路程不超过千米．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意明确其收费标准分两部分是解本题的关键．
20．
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】
解①得，，
解②得，，
不等式组的解集为，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于m的不等式．
21．
【分析】根据不等式组解集的情况得到a的取值范围，由此化简绝对值即可．
【详解】解：∵不等式组无解，
∴a-1≥11-3a，
解得a≥3，
∴
=a-2+a-3
=2a-5，
故答案为：2a-5．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解集情况求参数，化简绝对值，整式的加减计算，正确理解不等式组的性质求出参数是解题的关键．
22．(1)，见解析
(2)，见解析
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；
【详解】（1）解：，
5x-2x<-3+9，
3x<6，
x<2；
解集在数轴上表示为：
（2）解：，
4x-(6x-1)≤6，
4x-6x+1≤6，
4x-6x≤6-1，
-2x≤5，
．
解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查解不等式，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．
23．(1)①数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；②0，1， 1
(2)① 5(3)3 x 5
【分析】(1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可；
(2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可；
(3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可．
（1）
解：①由题意可知|a|>2可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2，
故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；
②使不等式|a|<2成立的整数a有0，1， 1，
故答案为：0，1， 1；
（2）
解：①根据题意可得|x|<5的解集为 5故答案为： 5②根据题意可求或，
∴x 6或x 6，
故答案为：x 6或x 6；
（3）
解：，
，
解得3 x 5，
故答案为：3 x 5．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键．
24．（1）设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．（2）学校的购买方案有以下三种：方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜3个、乙种书柜2个，共需资金1020元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可；
（2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费W≤1820,且购买的甲种图书柜的数量≥乙种图书柜数量列出不等式组，解不等式组即可的不等式组的解集，从而确定方案．
【详解】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，由题意得：
，
解得： ，
答：设甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元．
（2）解：设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（20-m）个；
由题意得：
解得：8≤m≤10
因为m取整数，所以m可以取的值为：8，9，10
即：学校的购买方案有以下三种：
方案一：甲种书柜8个，乙种书柜12个，
方案二：甲种书柜9个，乙种书柜11个，
方案三：甲种书柜10个，乙种书柜10个．
【点睛】主要考查二元一次方程组、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
25．(1)点A（－24，0），点B（0，8），点C（－18，8）
(2)①；②存在满足条件的t值，
【分析】（1）先利用立方根，算术平方根求出a，b，即可得出点A，B的坐标，再由平移即可得出C点的坐标．
（2）①先由运动得出，则，由建立方程求出t即可；
②将变化为求解即可．
（1）∵3是的立方根，也是的算术平方根，∴，，解得：，，∵点A、B是x轴、y轴上的点，且，，∴点，点，∵点B向左平移18个单位长度得到点C，∴点．
（2）①根据题意得：，，∵，∴，∴；②假设存在满足时间的t，根据题意，∵，∴，由①得：，，∴，∴，∴，解得：，∵，∴．故存在满足条件的t值，．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了立方根，算术平方根，平移的性质，梯形的面积公式，解（1）的根据是求出a，b的值，解（2）的关键是建立方程或不等式．
26．(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）移项和合并同类项即可求解；
（2）移项和合并同类项即可求解；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示即可；
（4）联立不等式①和②的解集，即是不等式组的解集．
【详解】（1）解：，
，
，
，
x≥ 1 ；
故答案为：x≥ 1 ；
（2）解：，
x+3x≤6+2，
4x≤8，
x≤2，
故答案为：x≤2；
（3）解：在数轴表示如图，
（4）解：原不等式组的解集为．
【点睛】本题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
27．（1）；（2）x≥3.5；（3）x=1.5．
【分析】（1）利用题中的新定义确定出所求即可；
（2）利用题中的新定义得出≥2，计算即可求出x的取值；
（3）利用题中的新定义分类讨论计算即可求出x的值．
【详解】（1）根据题中的新定义得：min=﹣．
故答案为：﹣；
（2）由题意≥2，
解得：x≥3.5；
（3）若2x﹣5=﹣2，解得：x=1.5，此时x+3=4.5＞﹣2，满足题意；
若x+3=﹣2，解得：x=﹣5，此时2x﹣5=﹣15＜﹣2，不符合题意，
综上，x=1.5．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
28．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用新规定，得出关于a、b的方程组，解方程组即可；
（2）利用新运算，代数求解即可；
（3）利用不等式的解集，求符合题目要求的m的取值范围即
（1）∵，∴2a-2b=2（a-b）=4，∴a-b=2．，∴a+4b=7，解方程组：，得：；
（2）∴
（3）由得由得∴解集为∵三个整数解∴整数解为－1，0，1∴∴．
【点睛】本题考查的是新运算问题，解题关键就是理解新运算法则，熟练运用法则进行计算．
29．（1）甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元（2）该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
【分析】（1）利用二元一次方程组解决问题；
（2）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值．
【详解】解：（1）设甲型机器人每台价格是x万元，乙型机器人每台价格是y万元，根据题意得
解这个方程组得：
答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是6万元、4万元；
（2）设该公可购买甲型机器人a台，乙型机器人（8-a）台，根据题意得
解这个不等式组得
≤a≤
∵a为正整数
∴a的取值为2，3，4，
∴该公司有3种购买方案，分别是
购买甲型机器人2台，乙型机器人6台
购买甲型机器人3台，乙型机器人5台
购买甲型机器人4台，乙型机器人4台
设该公司的购买费用为w万元，则w=6a+4（8-a）=2a+32
∵k=2＞0
∴w随a的增大而增大
当a=2时，w最小，w最小=2×2+32=36（万元）
∴该公司购买甲型机器人2台，乙型机器人6台这个方案费用最低，最低费用是36万元．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组的应用．