第十七章：勾股定理练习题2021-2022学年山东省八年级下学期人教版数学期末试题选编（含解析）
文档属性
| 名称 | 第十七章：勾股定理练习题2021-2022学年山东省八年级下学期人教版数学期末试题选编（含解析） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 969.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-22 00:00:00 | ||
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文档简介
第十七章：勾股定理 练习题
一、单选题
1．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（ ）．
A．2+ B． C． D．3
2．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点D′处，则重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）平面直角坐标系内，点到原点的距离是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在中，，两直角边，，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·山东日照·八年级统考期末）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如下图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为．右边图中空白部分的面积为，则下列对，所列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6
8．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
9．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺
A．8 B．10 C．13 D．12
10．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022春·山东滨州·八年级统考期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，， 3
12．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
二、填空题
13．（2022春·山东临沂·八年级校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
14．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，长方体的长，宽，高，点在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是_________．
15．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为______．
16．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，折叠长方形的一边使点落在边的点处，已知 ， ，则的长为___________．
17．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB＋∠PBA＝______．
18．（2022春·山东滨州·八年级统考期末）如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 _____．
19．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A、B、C、D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是____________．
三、解答题
20．（2022春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
21．（2022春·山东聊城·八年级统考期末）为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
22．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端到旗杆底部的距离为5米，求旗杆的高度．
23．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．
(1)发现
①∠DCE的度数是 ；
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 ．
(2)探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用：
如图3，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，连接CE，若AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．
24．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，
(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；
(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．
25．（2022春·山东聊城·八年级统考期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
26．（2022春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
27．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在中，内角所对的边分别为．
（1）若，请直接写出与的和与的大小关系；
（2）求证：的内角和等于；
（3）若，求证：是直角三角形．
参考答案：
1．A
【分析】过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案．
【详解】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF=DE=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=1，
∴CD==，
∴BC=BD+CD=，
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
2．C
【分析】根据矩形和折叠的性质可得，，从而得到，
，设，则，在中，根据勾股定理求x，即可得到结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设，在中运用勾股定理求x是解题的关键．
3．D
【分析】点的横纵坐标的绝对值和这点到原点的距离组成一个直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：点到原点的距离是．
故选：D
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，用到的知识点为：点到原点的距离是此点的横纵坐标的绝对值为两直角边的直角三角形的斜边的长度．
4．A
【分析】利用勾股定理求出、、的长，可得为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得的值，继续用勾股定理即可求出的值．
【详解】解：由题可知，，，，
，
又平分，
，且,即三角形ABD是直角三角形，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的三线合一，熟练掌握相关定理是解题的关键．
5．A
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【详解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，
∴AB＝（cm），
由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，
∴BE＝10cm 6cm＝4cm，∠BED＝90°，
设CD＝x，则BD＝BC CD＝8 x，
在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，
即42＋x2＝（8 x）2，
解得：x＝3，
∴CD＝3cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
6．B
【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【详解】解：观察图形可知：S1=S2=a2+b2+ab=c2+ab，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
7．D
【分析】过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出AE，进而得到米，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于E，如图所示：
则，米，
在中，
AD=1.5米，
由勾股定理得
（米），
∴（米），
∴米．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．D
【分析】由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长.
【详解】由题意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴E表示的数为：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．D
【分析】如图所示，设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺，然后利用勾股定理求解即可得到答案.
【详解】解：设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺
由题意可得：
∴
解得
∴尺
故选D.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10．D
【详解】解：在直角△ABC中, ∵AB2=AC2+BC2．
∴AB=米．
则少走的距离是AC+BC AB=3+4-5=2米=4步，
故选：D．
11．B
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
12．C
【分析】连接AC，根据勾股定理可求AC，BC，AB，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是等腰直角三角形，从而可求∠ABC．
【详解】解：连接AC，如图所示：
根据勾股定理可得：AC＝BC＝，AB＝，
∵，即AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是得到△ABC是等腰直角三角形．
13．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
14．25
【分析】首先将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM；或将长方体沿CH、GD、GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，或将长方体沿AB、AF、EF剪开，向下翻折，使面CBEH和下面在同一个平面内，连接AM，然后分别在Rt△ADM与Rt△ABM与Rt△ACM，利用勾股定理求得AM的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM，如图1，
由题意可得：MD=MC+CD=5+10=15cm，AD=20cm，
在Rt△ADM中，根据勾股定理得：AM=cm；
将长方体沿CH、GD、GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，
如图2，
由题意得：BM=BC+MC=20+5=25（cm），AB=10cm,
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=cm,
连接AM，如图3，
由题意得：AC=AB+CB=10+20=30（cm），MC=5cm,
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AM=cm,
∵，
则需要爬行的最短距离是25．
【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．
15．16，63，65
【分析】据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1．根据这个规律即可解答．
【详解】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，
故可得第⑥组勾股数是16，63，65．
故答案为选：16，63，65．
【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．
16．3
【分析】由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，的长．
【详解】解：设的长为则
折叠后的图形是，
，，．
，
，
又
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得：，
，
即，
化简，得．
．
即的长为
故答案为：3．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
17．45°/45度
【分析】过点P作，延长AP至点C，连接BC．由平行线的性质可证明出．再求出，，即可判定为等腰直角三角形，即得出，即．
【详解】如图，过点P作，延长AP至点C，连接BC，
∵，
∴，，
∴．
由图可知，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．
18．36
【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接BD，如图所示：
∵∠C=90°，CD=4，BC=3，
∴BD===5，
∵在△ABD中，AB2+BD2=144+25=169=132=AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AB BD+BC CD
=×12×5+×3×4
=36
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，是解答此题的关键．
19．45°/45度
【分析】将AC向右平移一个单位得到BM，如图，连接DM，根据勾股定理求出DM、BM、BD，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△DMB是等腰直角三角形，求出∠DBM＝45°，再根据平行线的性质得出即可．
【详解】解：将AC向右平移一个单位得到BM，连接DM，
∴BM∥AC，
由勾股定理得：DM＝＝，BM＝＝，BD＝＝，
∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2，
∴△DMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM＝45°，
∵AC∥BM，
∴∠APB＝∠DBM＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键．
20．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，
（3）根据勾股定理逆定理解答即可．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==，
即OB2+OA12=A1B2，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．(1)风筝的高度CE为16.6米
(2)他应该往回收线7米．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，
∴，
CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则，
，
，
，
∴他应该往回收线7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
22．12米
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，根据勾股定理可得：，
解得， ，
答：旗杆的高度为12米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．
23．(1)120°；CA＝CE+CD
(2)CA＝CD+CE；理由见解析
(3)
【分析】（1）①证△BAD≌△CAE，从而得出∠ACE＝∠B＝60°，进而得出∠DCE的大小；②根据△BAD≌△CAE可知BD＝CE，从而得出CA＝CE+CD；
（2）先证△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，然后在等腰直角三角形ABC中，得出CB＝CA，从而得出CA、CE、CD之间的数量关系；
（3）根据△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，推出，AD=AE，得到BD=BC+CD=3，根据∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，得到∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE，得到CE=BD=3，∠ABD=∠ACE，根据∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，得到∠ACE=45°，∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，推出．
（1）
发现
解：①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE＝∠B，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；
故答案为：120°，
②∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴CA＝BC＝CE+CD；
故答案为：CA＝CE+CD．
（2）
探究
∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．
理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE．
∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．
∵在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，
且CB＝CD+DB＝CD+CE，
∴CA＝CD+CE．
（3）
应用
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，AB＝AC＝，CD＝1，
∴，AD=AE，
∴BD=BC+CD=3，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴CE=BD=3，∠ABD=∠ACE，
∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形和等腰直角三角形，三角形全等，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，运用勾股定理解直角三角形．
24．(1)，证明见解析
(2)
(3)24
【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；
（2）根据（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的结论进行求解．
【详解】（1）解：①，
根据勾股定理可知：，
；
（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；
（3）解：由（2）知．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．
25．绿化这片空地共需花费17100元
【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：连接AC，如图
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2＋AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
26．（1）直角三角形，理由见解析；（2）
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
（2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根据勾股定理求出AC，再求出△ABC的周长即可．
【详解】解：（1）△BDC是直角三角形，
理由是：∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠D＝90°，
即△BDC是直角三角形；
（2）设AB＝AC＝xcm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，
即（15﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝，
∴AB＝AC＝（cm），
∵BC＝17cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
27．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；
（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案；
（3）化简等式即可得到a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论
【详解】在中，，
；
如图，过点作，
，
（两直线平行，内错角相等），
（平角的定义），
（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于；
（3），
，
，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是解题的关键．
一、单选题
1．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（ ）．
A．2+ B． C． D．3
2．（2022春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点D′处，则重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）平面直角坐标系内，点到原点的距离是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在中，，两直角边，，现将AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·山东日照·八年级统考期末）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如下图所示的左图和右图，证明了勾股定理．若设左边图中空白部分的面积为．右边图中空白部分的面积为，则下列对，所列等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为（ ）米．
A．0.9 B．1.3 C．1.5 D．1.6
8．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
9．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是（ ）尺
A．8 B．10 C．13 D．12
10．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022春·山东滨州·八年级统考期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，， 3
12．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
二、填空题
13．（2022春·山东临沂·八年级校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
14．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，长方体的长，宽，高，点在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是_________．
15．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为______．
16．（2022春·山东德州·八年级统考期末）如图，折叠长方形的一边使点落在边的点处，已知 ， ，则的长为___________．
17．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB＋∠PBA＝______．
18．（2022春·山东滨州·八年级统考期末）如图，∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则四边形ABCD的面积为 _____．
19．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A、B、C、D都在格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是____________．
三、解答题
20．（2022春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
21．（2022春·山东聊城·八年级统考期末）为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
22．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端到旗杆底部的距离为5米，求旗杆的高度．
23．（2022春·山东济南·八年级统考期末）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．
(1)发现
①∠DCE的度数是 ；
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 ．
(2)探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用：
如图3，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，连接CE，若AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．
24．（2022春·山东济宁·八年级统考期末）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，
(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；
(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；
(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．
25．（2022春·山东聊城·八年级统考期末）聊城市在创建“全国文明城市”期间，某小区在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，经技术人员的测量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
26．（2022春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝17cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝15cm，CD＝8cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
27．（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，在中，内角所对的边分别为．
（1）若，请直接写出与的和与的大小关系；
（2）求证：的内角和等于；
（3）若，求证：是直角三角形．
参考答案：
1．A
【分析】过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案．
【详解】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF=DE=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=1，
∴CD==，
∴BC=BD+CD=，
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
2．C
【分析】根据矩形和折叠的性质可得，，从而得到，
，设，则，在中，根据勾股定理求x，即可得到结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设，在中运用勾股定理求x是解题的关键．
3．D
【分析】点的横纵坐标的绝对值和这点到原点的距离组成一个直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：点到原点的距离是．
故选：D
【点睛】本题考查了两点间的距离公式，用到的知识点为：点到原点的距离是此点的横纵坐标的绝对值为两直角边的直角三角形的斜边的长度．
4．A
【分析】利用勾股定理求出、、的长，可得为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得的值，继续用勾股定理即可求出的值．
【详解】解：由题可知，，，，
，
又平分，
，且,即三角形ABD是直角三角形，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的三线合一，熟练掌握相关定理是解题的关键．
5．A
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【详解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，
∴AB＝（cm），
由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，
∴BE＝10cm 6cm＝4cm，∠BED＝90°，
设CD＝x，则BD＝BC CD＝8 x，
在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，
即42＋x2＝（8 x）2，
解得：x＝3，
∴CD＝3cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
6．B
【分析】根据直角三角形以及正方形的面积公式计算即可解决问题．
【详解】解：观察图形可知：S1=S2=a2+b2+ab=c2+ab，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
7．D
【分析】过点D作于E，得到，米，由勾股定理得出AE，进而得到米，即可得出答案．
【详解】解：过点D作于E，如图所示：
则，米，
在中，
AD=1.5米，
由勾股定理得
（米），
∴（米），
∴米．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．D
【分析】由题意可知，CD=CB=1，AD=AE，利用勾股定理求出AC的长，即可得到AE的长.
【详解】由题意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵点A，B表示的数分别为0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴E表示的数为：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和数轴，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
9．D
【分析】如图所示，设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺，然后利用勾股定理求解即可得到答案.
【详解】解：设芦苇的长为x尺，即BC=x尺，则AB=（x-1）尺，AC=5尺
由题意可得：
∴
解得
∴尺
故选D.
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
10．D
【详解】解：在直角△ABC中, ∵AB2=AC2+BC2．
∴AB=米．
则少走的距离是AC+BC AB=3+4-5=2米=4步，
故选：D．
11．B
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；
C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
12．C
【分析】连接AC，根据勾股定理可求AC，BC，AB，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是等腰直角三角形，从而可求∠ABC．
【详解】解：连接AC，如图所示：
根据勾股定理可得：AC＝BC＝，AB＝，
∵，即AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是得到△ABC是等腰直角三角形．
13．
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
14．25
【分析】首先将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM；或将长方体沿CH、GD、GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，或将长方体沿AB、AF、EF剪开，向下翻折，使面CBEH和下面在同一个平面内，连接AM，然后分别在Rt△ADM与Rt△ABM与Rt△ACM，利用勾股定理求得AM的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM，如图1，
由题意可得：MD=MC+CD=5+10=15cm，AD=20cm，
在Rt△ADM中，根据勾股定理得：AM=cm；
将长方体沿CH、GD、GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，
如图2，
由题意得：BM=BC+MC=20+5=25（cm），AB=10cm,
在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=cm,
连接AM，如图3，
由题意得：AC=AB+CB=10+20=30（cm），MC=5cm,
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AM=cm,
∵，
则需要爬行的最短距离是25．
【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．
15．16，63，65
【分析】据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1．根据这个规律即可解答．
【详解】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，
故可得第⑥组勾股数是16，63，65．
故答案为选：16，63，65．
【点睛】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．
16．3
【分析】由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，的长．
【详解】解：设的长为则
折叠后的图形是，
，，．
，
，
又
在中，根据勾股定理，得，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得：，
，
即，
化简，得．
．
即的长为
故答案为：3．
【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．
17．45°/45度
【分析】过点P作，延长AP至点C，连接BC．由平行线的性质可证明出．再求出，，即可判定为等腰直角三角形，即得出，即．
【详解】如图，过点P作，延长AP至点C，连接BC，
∵，
∴，，
∴．
由图可知，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．
18．36
【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：连接BD，如图所示：
∵∠C=90°，CD=4，BC=3，
∴BD===5，
∵在△ABD中，AB2+BD2=144+25=169=132=AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴S四边形ABCD=AB BD+BC CD
=×12×5+×3×4
=36
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的形状，是解答此题的关键．
19．45°/45度
【分析】将AC向右平移一个单位得到BM，如图，连接DM，根据勾股定理求出DM、BM、BD，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△DMB是等腰直角三角形，求出∠DBM＝45°，再根据平行线的性质得出即可．
【详解】解：将AC向右平移一个单位得到BM，连接DM，
∴BM∥AC，
由勾股定理得：DM＝＝，BM＝＝，BD＝＝，
∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2，
∴△DMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM＝45°，
∵AC∥BM，
∴∠APB＝∠DBM＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，能构造直角三角形是解此题的关键．
20．（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）三角形的形状为等腰直角三角形．
【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作；
（2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2，
（3）根据勾股定理逆定理解答即可．
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==，
即OB2+OA12=A1B2，
所以三角形的形状为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21．(1)风筝的高度CE为16.6米
(2)他应该往回收线7米．
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，
∴，
CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则，
，
，
，
∴他应该往回收线7米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
22．12米
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，根据勾股定理可得：，
解得， ，
答：旗杆的高度为12米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．
23．(1)120°；CA＝CE+CD
(2)CA＝CD+CE；理由见解析
(3)
【分析】（1）①证△BAD≌△CAE，从而得出∠ACE＝∠B＝60°，进而得出∠DCE的大小；②根据△BAD≌△CAE可知BD＝CE，从而得出CA＝CE+CD；
（2）先证△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，然后在等腰直角三角形ABC中，得出CB＝CA，从而得出CA、CE、CD之间的数量关系；
（3）根据△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝，CD＝1，推出，AD=AE，得到BD=BC+CD=3，根据∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，得到∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE，得到CE=BD=3，∠ABD=∠ACE，根据∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，得到∠ACE=45°，∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，推出．
（1）
发现
解：①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE＝∠B，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ACE=60°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；
故答案为：120°，
②∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴CA＝BC＝CE+CD；
故答案为：CA＝CE+CD．
（2）
探究
∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．
理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
∴△BAD≌△CAE(SAS)．
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE．
∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．
∵在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，
且CB＝CD+DB＝CD+CE，
∴CA＝CD+CE．
（3）
应用
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，AB＝AC＝，CD＝1，
∴，AD=AE，
∴BD=BC+CD=3，
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴CE=BD=3，∠ABD=∠ACE，
∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形和等腰直角三角形，三角形全等，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，运用勾股定理解直角三角形．
24．(1)，证明见解析
(2)
(3)24
【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3；
（2）根据（1）中的求解即可得出答案；
（3）利用（2）中的结论进行求解．
【详解】（1）解：①，
根据勾股定理可知：，
；
（2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得；
（3）解：由（2）知．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．
25．绿化这片空地共需花费17100元
【分析】连接AC，直接利用勾股定理得出AC，进而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面积求法得出答案．
【详解】解：连接AC，如图
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2＋AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四边形ABCD＝60＋54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：绿化这片空地共需花费17100元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
26．（1）直角三角形，理由见解析；（2）
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
（2）设AB＝AC＝xcm，在Rt△ADC中根据勾股定理求出AC，再求出△ABC的周长即可．
【详解】解：（1）△BDC是直角三角形，
理由是：∵BC＝17cm，BD＝15cm，CD＝8cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠D＝90°，
即△BDC是直角三角形；
（2）设AB＝AC＝xcm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，
即（15﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝，
∴AB＝AC＝（cm），
∵BC＝17cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝+17＝（cm）．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
27．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）根据三角形中大角对大边，即可得到结论；
（2）画出图形，写出已知，求证；过点A作直线MN∥BC，根据平行线性质得出∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，代入∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°即可求出答案；
（3）化简等式即可得到a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可得到结论
【详解】在中，，
；
如图，过点作，
，
（两直线平行，内错角相等），
（平角的定义），
（等量代换），
即：三角形三个内角的和等于；
（3），
，
，
，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，根据证明过程运用转化思想是解题的关键．