第十八章:平行四边形练习题(含解析)2021-2022学年山东省八年级下学期人教版数学期末试题选编

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名称 第十八章:平行四边形练习题(含解析)2021-2022学年山东省八年级下学期人教版数学期末试题选编
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资源类型 教案
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2024-02-27 14:01:09

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第十八章:平行四边形 练习题
一、单选题
1.(2022春·山东济南·八年级统考期末)如图,平行四边形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则EC等于(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2022春·山东日照·八年级统考期末)如图,将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放,设,那么( )
A. B. C. D.
3.(2022春·山东济宁·八年级统考期末)下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是( )
A., B.,
C., D.,
4.(2022春·山东聊城·八年级统考期末)如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若∠B=40°,则∠BDE的度数为( )
A.40° B.50° C.140° D.150°
5.(2022春·山东济宁·八年级统考期末)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,AD=8,折叠该纸片,使得AB边落在对角线AC上,点B落在点F处,折痕为AE,则线段EF的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
6.(2022春·山东淄博·八年级统考期末)如图,在边长为4的菱形ABCD中,E为AD边的中点,连接CE交对角线BD于点F.若∠DEF=∠DFE,则这个菱形的面积为(  )
A.16 B.6 C.12 D.30
7.(2022春·山东日照·八年级统考期末)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的面积为(  )
A.24 B.48 C.72 D.96
8.(2022春·山东济南·八年级统考期末)在中,点D是边上的点(与B,C两点不重合),过点D作,分别交,于E,F两点,下列说法正确的是( )
A.若,则四边形是矩形
B.若垂直平分,则四边形是矩形
C.若,则四边形是菱形
D.若平分,则四边形是菱形
9.(2022春·山东德州·八年级统考期末)如图,在正方形中,,点,分别在边,上,.若将四边形沿折叠,点恰好落在边上点处,则的长度为( )
A.1 B. C. D.2
10.(2022春·山东临沂·八年级统考期末)如图,在四边形中,点,,,分别是,,,边上的中点,则下列结论一定正确的是( )
A.四边形是矩形
B.四边形的内角和小于四边形的内角和
C.四边形的周长等于四边形的对角线长度之和
D.四边形的面积等于四边形面积的
二、填空题
11.(2022春·山东枣庄·八年级统考期末)如图,四边形为平行四边形,则点B的坐标为________.
12.(2022春·山东聊城·八年级统考期末)如图,在 ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,交BD于点O,则BD的长为 _____.
13.(2022春·山东菏泽·八年级统考期末)如图,在平行四边形中,点为边上一点,,点,点分别是中点,若,则的长为__________.
14.(2022春·山东济南·八年级统考期末)如图,在□ABCD中,AB=5,AD=3,∠A=60°,E是边AD上且AE=2DE,F是射线AB上的一个动点,将线段EF绕点E逆时针旋转60°,得到EG,连接BG、DG,则BG-DG的最大值为________.
15.(2022春·山东济宁·八年级期末)如图,在矩形中,E为的中点,连接,过点E作的垂线交于点F,交CD的延长线于点G,连接CF.已知,,则_________.
16.(2022春·山东济南·八年级统考期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在AB边上,DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为点E、F,连接EF,则线段EF的最小值等于__.
17.(2022春·山东济宁·八年级期末)如图,菱形的边长为,,将该菱形沿AC方向平移得到四边形,交CD于点E,则点E到AC的距离为____________.
18.(2022春·山东东营·八年级统考期末)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,AC=12,BD=16,点P为边BC上一点,且P不与点B、C重合.过P作PE⊥AC于E,PF⊥BD于F,连结EF,则EF的最小值等于__________.
19.(2022春·山东日照·八年级统考期末)如图,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上且DM=2,N是AC上的一动点,则DN+MN的最小值是______.
20.(2022春·山东东营·八年级统考期末)如图,四边形ABCD是一个正方形,E是BC延长线上一点,且AC=EC,则∠DAE的度数为_________.
三、解答题
21.(2022春·山东济南·八年级统考期末)已知:如图, ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.求证:BE=DF.
22.(2022春·山东枣庄·八年级统考期末)下图是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点为格点,线段的端点都在格点上.要求以为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形.
23.(2022春·山东济宁·八年级统考期末)如图,△ABC中,D是AB边上任意一点,F是AC中点,过点C作CEAB交DF的延长线于点E,连接AE,CD.
(1)求证:四边形ADCE是平行四边形;
(2)若∠B=30°,∠CAB=45°, ,求AB的长.
24.(2022春·山东枣庄·八年级统考期末)如图,点在一条直线上,.
(1)求证:;
(2)连接,求证:四边形是平行四边形.
25.(2022春·山东菏泽·八年级统考期末)如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE交BC于点F,连接AC,BE ;若∠AFC=2∠D,AB=2,BC=4.
(1)求证:四边形ABEC是矩形;
(2)求BE的长.
26.(2022春·山东德州·八年级统考期末)阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图①,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB、AC于D、E,且CD⊥BE,CD=3,BE=5,试求BC+DE的值.
小明发现,过点E作EF∥DC,交BC的延长线于点F,构造△BEF,经过推理得到 DCFE,再计算就能够使问题得到解决(如图②).
(1)请你帮小明回答:BC+DE的值为________,并写出推理和计算过程.
(2)参考小明思考问题的方法,请你解决如下问题:
如图③,已知 ABCD和矩形ABEF,AC与DF交于点G,AC=BF=DF,求∠AGF的度数.
27.(2022春·山东济南·八年级统考期末)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)证明四边形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF 的面积.
28.(2022春·山东烟台·八年级统考期末)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作且DE=AC,连接CE、OE,连接AE交OD于点F.
(1)求证:OE=CD;
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,求AE的长.
29.(2022春·山东临沂·八年级统考期末)如图,四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且.
(1)求证:四边形ABCD是正方形;
(2)若H是AB上的一点(H与A,B不重合),连接DH,将线段DH绕点H顺时针旋转90度,得到线段HE,过点E分别作BC及AB的延长线的垂线,垂足分别是F,G,设四边形BGEF的面积为,以HB,BC为邻边的矩形面积为,且,当时,求AH的长;
30.(2022春·山东济宁·八年级统考期末)如图,点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点,点F在BE延长线上,且,EF与CD交于点G.
(1)求证:;
(2)连接DE、CF,若,G恰好是CD的中点,求证:四边形CFDE是矩形.
参考答案:
1.B
【分析】根据平行四边形及平行线的性质可得,再由角平分线及等量代换得出,利用等角对等边可得,结合图形即可得出线段长度.
【详解】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴,
∴,
∵AE平分,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
故选:B.
【点睛】题目主要考查 平行四边形及平行线的性质,利用角平分线计算,等角对等边等,理解题意,熟练运用平行四边形的性质是解题关键.
2.C
【分析】延长EG交AB于H,根据平行四边形与三角板的性质,,DC//AB,得到∠DEH=∠BHE=60°,再由平角的定义,计算出结果.
【详解】解:如图,延长EG交AB于H,
∵∠BMF=∠BGE=90°,
∴MF//EH,
∴∠BFM=∠BHE,
∵,
∴∠BFM=∠BHE=60°,
∵在平行四边形ABCD中,DC//AB,
∴∠DEH=∠BHE=60°,
∵∠GEN=45°,
∴,
故选:C.
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与一副特殊三角形板的性质,关键在于作出辅助线,利用平行四边形的性质进行求解.
3.C
【分析】根据平行四边形的判断定理分别作出判断得出即可.
【详解】解:A.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故选项正确,不符合题意;
B.根据平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;故选项正确,不符合题意;
C.一组对边平行,另一组对边相等不能判断这个四边形是平行四边形,故选项错误,符合题意;
D. 如图,
∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,
∵∠A=∠C,
∴∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
故选项正确,不符合题意;
故选:C.
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定定理,准确无误的掌握定理是解题关键.
4.C
【分析】由条件可知DE是△ABC的中位线,即DE∥BC,根据平行线的性质即可求出∠BDE的度数为140°.
【详解】解:∵点D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,
即:∠B+∠BDE=180°,
∴∠BDE=180°-∠B=180°-40°=140°.
故选:C.
【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质,以及平行线的性质的应用,掌握中位线的性质是解题的关键.
5.A
【分析】根据矩形的性质可得BC=AD,∠B=90°,利用勾股定理可求出AC的长,根据折叠的性质可得AF=AB,∠B=∠AFE=90°,BE=EF,在Rt△CEF中利用勾股定理列方程求出EF的长即可得答案.
【详解】∵四边形ABCD是矩形,AD=8,
∴∠B=90°,BC=AD=8,
∴AC==10,
∵折叠该纸片,使得AB边落在对角线AC上,点B落在点F处,折痕为AE,
∴BE=EF,AF=AB=6,∠AFE=∠B=90°,
∴CF=AC-AF=10﹣6=4,
在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2+CF2=CE2,
∴EF2+CF2=(BC-EF)2,即EF2+42=(8-EF)2,
解得:EF=3,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题;解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答.
6.B
【分析】连接AC交BD于O,如图,根据菱形的性质得到,CB=CD=AD=4,AC⊥AB,BO=OD,OC=AO,再利用∠DEF=∠DFE得到DF=DE=2,证明∠BCF=∠BFC得到BF=BC=4,则BD=6,所以OB=OD=3,接着利用勾股定理计算出OC,从而得到AC=,然后根据菱形的面积公式计算它的面积.
【详解】解:连接AC交BD于O,如图,
∵四边形ABCD为菱形,
∴,CB=CD=AD=4,AC⊥AB,BO=OD,OC=AO,
∵E为AD边的中点,
∴DE=2,
∵∠DEF=∠DFE,
∴DF=DE=2,
∵,
∴∠DEF=∠BCF,
∵∠DFE=∠BFC,
∴∠BCF=∠BFC,
∴BF=BC=4,
∴BD=BF+DF=4+2=6,
∴OB=OD=3,
在Rt△BOC中,,
∴AC=2OC=,
∴菱形ABCD的面积=AC BD=.
故选:B.
【点睛】本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形面积=ab(a、b是两条对角线的长度).
7.B
【分析】由菱形的性质得OA=OC=6,OB=OD,AC⊥BD,则AC=12,再由直角三角形斜边上的中线性质求出BD的长度,然后由菱形的面积公式求解即可.
【详解】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC=6,OB=OD,AC⊥BD,
∴AC=12,
∵DH⊥AB,
∴∠BHD=90°,
∴BD=2OH=2×4=8,
∴菱形ABCD的面积=
故选:B.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质,直角三角形的斜边上的中线性质,菱形的面积公式等知识;熟练掌握菱形的性质,求出BD的长是解题的关键.
8.D
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论.
【详解】解:若AD⊥BC,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是矩形;选项A错误;
若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是菱形,不一定是矩形;选项B错误;
若BD=CD,则四边形AEDF是平行四边形,不一定是菱形;选项C错误;
若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形;选项D正确;
故选:D.
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定;熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键.
9.D
【分析】由CD∥AB得到∠EFD=∠FEB=60°,由折叠得到,进而得到,然后在中由30°所对直角边等于斜边一半即可求解.
【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴CD∥AB,
∴∠EFD=∠FEB=60°,
由折叠前后对应角相等可知:,
∴,
∴,
设AE=x,则,
∴AB=AE+BE=3x=3,
∴x=1,
∴BE=2x=2,
故选:D.
【点睛】本题借助正方形考查了折叠问题,30°角所对直角边等于斜边的一半等知识点,折叠问题的性质包括折叠前后对应边相等,对应角相等,折叠产生角平分线,由此即可解题.
10.C
【分析】连接,根据三角形中位线的性质,,,继而逐项分析判断即可求解.
【详解】解:连接,设交于点,
点,,,分别是,,,边上的中点,
,,
A. 四边形是平行四边形,故该选项不正确,不符合题意;
B. 四边形的内角和等于于四边形的内角和,都为360°,故该选项不正确,不符合题意;
C. 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和,故该选项正确,符合题意;
D. 四边形的面积等于四边形面积的,故该选项不正确,不符合题意;
故选C
【点睛】本题考查了中点四边形的性质,三角形中位线的性质,掌握三角形中位线的性质是解题的关键.
11.
【分析】根据平行四边形的性质以及点的平移即可得出结论.
【详解】解:四边形为平行四边形,
,即将点平移到的过程与将点平移到的过程保持一致,
将点平移到的过程是:(向左平移4各单位长度);(上下无平移);
将点平移到的过程按照上述一致过程进行得到,即,
故答案为:.
【点睛】本题考查平行四边形的性质及点的平移,掌握点的平移的代数表示是解决问题的关键.
12.
【分析】勾股定理求得的长,根据平行四边形的性质,对角线互相平分,可得,然后勾股定理求得的长,根据即可求解.
【详解】解:∵四边形是平行四边形,AD=6,
∴,
AB=10, AC⊥BC,
在中,
故答案为:
【点睛】本题考查了平行四边形的性质,勾股定理,掌握平行四边形的性质是解题的关键.
13.8
【分析】先根据三角形中位线定理可得BC的长,再根据平行四边形的性质可得AD的长,然后根据即可得.
【详解】点,点分别是中点
是的中位线
四边形ABCD是平行四边形

故答案为:8.
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点,解题的关键是熟记三角形中位线定理.
14.1
【分析】如图,在AB的一点N,使得AN=AE,连接EN, GN, 可证明△AEN是等边三角形,∠AEN=∠FEG=60°,EA=EN,从而可证明△AEF≌△NEG得到∠ENG=∠A=60°,进而推出∠GNB=60°,则点G的运动轨迹是射线NG,过点B作BM⊥NG交CD延长线于M,连接MG,DG,先求出,证明四边形ANTD是平行四边形,得到NT=AD=3,DT=AN=2,然后证明△MKT≌△BKN得到MK=BK,MT=BN=3,MD=1,NT垂直平分BM,进而推出当M、D、G三点共线时,MG-DG有最大值,DM,即BG-DG有最大值DM.
【详解】解:如图,在AB的一点N,使得AN=AE,连接EN, GN,
由旋转的性质可知EF=EG,∠FEG=60°,
∵AE=2DE,AD=3
∴AE=2,DE=1,
∵AE=AN,
∵∠A=60°,
∴△AEN是等边三角形,
∴∠AEN=∠FEG=60°,EA=EN,
∴∠AEF=∠NEG,
∵EA=EN,EF=EG,
∴△AEF≌△NEG(SAS),
∴∠ENG=∠A=60°,
∵∠ANE=60°,
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°,
∴点G的运动轨迹是射线NG,
过点B作BM⊥NG交CD延长线于M,连接MG,DG,
∴∠BKN=90°,
∵∠BNK=60°,
∴∠NBK=30°,
∵AB=5,AN=AE=2,
∴BN=3,
∴,
∵∠BNK=∠A=60°,
∴,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴,
∴四边形ANTD是平行四边形,∠M=∠KBN,
∴NT=AD=3,DT=AN=2,
∴,
∴NK=TK,
又∵∠MKT=∠BKN,
∴△MKT≌△BKN(AAS),
∴MK=BK,MT=BN=3,
∴MD=1,NT垂直平分BM,
∴BG=MG,
∵MG-DG≤MD,
∴BG-DG≤MD,
∴当M、D、G三点共线时,MG-DG有最大值,DM,即BG-DG有最大值DM,
∴MG-DG的最大值为1,
故答案为1.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,平行四边形的性质与判定,含30度角的直角三角形的性质,线段垂直平分线的性质与判定等等,正确作出辅助线构造全等三角形确定点G的运动轨迹是解题的关键.
15.
【分析】由题意,先证明△AEF≌△DEG,则EF=EG,,利用等腰三角形的性质,求出,然后得到AB=CD=,则,利用勾股定理求出BC,然后得到AE的长度,即可求出FE的长度.
【详解】解:根据题意,在矩形中,则
AB=CD,BC=AD,∠A=∠EDG=90°,
∵E为的中点,
∴AE=DE,
∵∠AEF=∠DEG,
∴△AEF≌△DEG,
∴EF=EG,;
∵CE⊥FG,
∴,
∴AB=CD=,
∴,
在直角△BCF中,由勾股定理则

∴AD=3,
∴,
在直角△AEF中,由勾股定理则

故答案为:.
【点睛】本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,垂直平分线的性质,勾股定理等知识,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确得到.
16.4.8//
【分析】连接CD,利用勾股定理列式求出AB,判断出四边形CFDE是矩形,根据矩形的对角线相等可得EF=CD,再根据垂线段最短可得CD⊥AB时,线段EF的值最小,然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.
【详解】解:如图,连接CD.
∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,
∴AB=,
∵DE⊥AC,DF⊥BC,∠ACB=90°,
∴四边形CFDE是矩形,
∴EF=CD,
由垂线段最短可得CD⊥AB时,线段EF的值最小,
∵S△ABC=BC AC=AB CD,
∴×8×6=×10×CD,
解得CD=4.8,
∴EF=4.8.
故答案为:4.8.
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,垂线段最短的性质,勾股定理,判断出CD⊥AB时,线段EF的值最小是解题的关键,难点在于利用三角形的面积列出方程.
17.2
【分析】首先根据菱形对角线的性质得出AC的长,然后利用菱形对角线平分对角和平移的性质得出等腰 ,过顶点作垂线段EF,利用三线合一得出CF的长,再利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理列出方程,即可求解.
【详解】∵∠BAD=60°,
∴连接对角线AC,BD,则AC⊥BD,且AC平分∠BAD,
∴在Rt△ADO中,
利用勾股定理得
又∵AC=2AO,
∴AC= ,
由题可知 =,
∴A’C=;
由平移可知 =∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,
∴=∠DCA,即==30°,
∴ 是等腰三角形;
过点E作EF⊥AC,垂足为F,如图所示:
则由等腰三角形三线合一可得:A’F=FC=,
在Rt△ECF中, ,设EF=x,则EC=2x,
由勾股定理得:
,解得x=2,
故填:2.
【点睛】本题考查菱形的性质,等腰三角形三线合一,直角三角形中30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理;菱形对角线互相垂直且平分,一条对角线平分一组对角,熟知概念定理是解题的关键.
18.4.8
【分析】连接,由菱形的性质解得,再根据勾股定理解得,继而证明四边形为矩形,得到,根据垂线段最短解得当时,有最小值,最后根据三角形面积公式解题即可.
【详解】连接,
四边形是菱形,
四边形为矩形,
当时,有最小值,
此时
的最小值为,
故答案为:.
【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
19.10
【分析】要求DN+MN的最小值,DN,MN不能直接求,可考虑通过作辅助线转化DN,MN的值,从而找出其最小值求解.
【详解】解:∵正方形是轴对称图形,点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点,
∴连接BN,BD,
∴BN=ND,
∴DN+MN=BN+MN,
连接BM交AC于点P,
∵点 N为AC上的动点,
由三角形两边和大于第三边,
知当点N运动到点P时,BN+MN=BP+PM=BM,
BN+MN的最小值为BM的长度,
∵四边形ABCD为正方形,
∴BC=CD=8,CM=8﹣2=6,∠BCM=90°,
∴BM==10,
∴DN+MN的最小值是10.
故答案为:10.
【点睛】本题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.
20.22.5°
【分析】由四边形ABCD是一个正方形,根据正方形的性质,可得∠ACB=45°,又由AC=EC,根据等边对等角,可得∠E=∠CAE,继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC的度数,进一步即可求得∠DAE的度数.
【详解】解:∵四边形是正方形,
∴,
∴,
又∵,
∴,
则.
故答案为:22.5°
【点睛】此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.
21.证明见详解;
【分析】由平行四边形的性质,证明△ABE≌△CDF,再由全等的性质得出对应边相等;
【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴∠ABE=∠CDF,
∵AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
△ABE和△CDF中:∠AEB=∠CFD,∠ABE=∠CDF,AB=CD,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质;熟练掌握其性质和判定方法是解题关键.
22.见解析
【分析】将点A沿任意方向平移到另一格点处,然后将点B也按相同的方法平移,最后连接点A、B及其对应点即可.
【详解】解:如图,四边形ABCD是平行四边形.
【点睛】本题主要考查作图-应用与设计作图,熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.
23.(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据平行线的性质得到∠CAD=∠ACE,∠ADE=∠CED.根据全等三角形的性质得到AD=CE,于是得到四边形ADCE是平行四边形;
(2)过点C作CG⊥AB于点G.根据勾股定理得到CG=AG=,由∠B=30°得到.在Rt△BCG中,利用勾股定理得到,即可得到结论.
(1)
证明:∵ABCE,
∴∠CAD=∠ACE,∠ADE=∠CED.
∵F是AC中点,
∴AF=CF.
在△AFD与△CFE中,

∴△AFD≌△CFE(AAS),
∴DF=EF,
∴四边形ADCE是平行四边形;
(2)
解:过点C作CG⊥AB于点G,
∵∠CAB=45°,
∴,
在△ACG中,∠AGC=90°,
∴,
∵,
∴CG=AG= ,
∵∠B=30°,
∴ ,
∴ ,
在Rt△BCG中, ,
∴ .
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,正确的识别图形是解题的关键.
24.(1)见解析;(2)见解析.
【分析】(1)先证明,再利用SSS证明;
(2)根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形即可.
【详解】证明:

证明:
四边形是平行四边形.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定;熟练掌握平行四边形的判定方法,证明三角形全等是解决问题的关键.
25.(1)见解析;(2)
【分析】(1)根据平行四边形的性质得到,进而得到,然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABEC是平行四边形,然后根据等边对等角证明,进而得到,即可证明平行四边形ABEC是矩形;
(2)根据矩形的性质得到,然后在应用勾股定理即可求得BE.
【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,,
∴,
∴,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴,,

∴,
∴,
∴,
∴平行四边形ABEC是矩形.
(2)四边形ABEC是矩形,
∴,,
∴.
故答案为.
【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定,关键是由平行四边形的性质通过角的关系证矩形.
26.(1),见解析
(2)60°
【分析】(1)由DE∥BC,EF∥DC,可证得四边形DCFE是平行四边形,即可得EF=CD=3,CF=DE,即可得BC+DE=BF,然后利用勾股定理,求得BC+DE的值;
(2)首先连接AE,CE,由四边形ABCD是平行四边形,四边形ABEF是矩形,易证得四边形DCEF是平行四边形,继而证得△ACE是等边三角形,则可求得答案.
【详解】(1)解:∵DE∥BC,EF∥DC,
∴四边形DCFE是平行四边形,
∴EF=CD=3,CF=DE,
∵CD⊥BE,
∴EF⊥BE,
∴BC+DE=BC+CF=BF=,
故答案为:;
(2)解:连接AE,CE,如图.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC.
∵四边形ABEF是矩形,
∴AB∥FE,BF=AE.
∴DC∥FE.
∴四边形DCEF是平行四边形.
∴CE∥DF.
∵AC=BF=DF,
∴AC=AE=CE.
∴△ACE是等边三角形.
∴∠ACE=60°.
∵CE∥DF,
∴∠AGF=∠ACE=60°.
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理.注意掌握辅助线的作法.
27.(1)证明详见解析;
(2)证明详见解析;
(3)10.
【分析】(1)利用平行线的性质及中点的定义,可利用AAS证得结论;
(2)由(1)可得AF=BD,结合条件可求得AF=DC,则可证明四边形ADCF为平行四边形,再利用直角三角形的性质可证得AD=CD,可证得四边形ADCF为菱形;
(3)连接DF,可证得四边形ABDF为平行四边形,则可求得DF的长,利用菱形的面积公式可求得答案.
【详解】(1)证明:∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DBE,
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△AFE和△DBE中,

∴△AFE≌△DBE(AAS);
(2)证明:由(1)知,△AFE≌△DBE,则AF=DB.
∵AD为BC边上的中线,
∴DB=DC,
∴AF=CD.
∵AF∥BC,
∴四边形ADCF是平行四边形,
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=DC=BC,
∴四边形ADCF是菱形;
(3)解:连接DF,
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形ABDF是平行四边形,
∴DF=AB=5,
∵四边形ADCF是菱形,
∴S菱形ADCF=AC DF=×4×5=10.
【点睛】本题主要考查菱形的性质及判定,全等三角形的性质与判定,平行四边形的性质与判定,直角三角形斜边上的中线,利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键,注意菱形面积公式的应用.
28.(1)见解析
(2)
【分析】(1)先求出四边形OCED是平行四边形,再根据菱形的对角线互相垂直即AC⊥BD,证明OCED是矩形,可得OE=CD;
(2)根据菱形的性质以及勾股定理求出AC与CE的长,再根据勾股定理求出AE的长度即可.
【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴OC=AC,AC⊥BD,
∵DE=AC,
∴DE=OC,
∵DE∥AC,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵AC⊥BD,
∴平行四边形OCED是矩形.
∴OE=CD.
(2)解:∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=2,
∵OA=AC=1,AC⊥BD,AD=2,
∴OD=,
∴在矩形OCED中,CE=OD=,
∴在Rt△ACE中,AE=.
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质等知识点,灵活运用相关性质定理是解答本题的关键.
29.(1)证明见解析;(2).
【分析】(1)由题根据可得对角线相等且互相平分,可得四边形ABCD是矩形,又因为在中,利用勾股定理逆定理可得出为等腰直角三角形,可得,所以也是等腰直角三角形,可得,所以得出四边形ABCD是正方形;
(2)根据题意,易证得,可得,设,则,,可得,则,令,即:,解方程即可得出的长.
【详解】解:(1)依题意可得:

四边形为平行四边形;
又,
四边形为矩形;
又在中,,且三边满足
为等腰直角三角形;
,
,
,
,
四边形为正方形;
即:四边形为正方形.
(2)由题可得:,



在与中
设,则,
可得:,,
令,可得,
解得:,(舍去).
即.
【点睛】本题考查正方形的判定以及与正方形相关的几何证明.在证明正方形的时候必须先证明四边形是矩形或者菱形,然后得出正方形;如果题中涉及到边之间的关系是或倍的关系,则利用勾股定理逆定理验证是否是等腰直角三角形;如果遇到直角比较多的地方,注意观察题中是否有一线三垂直,要积累和熟练应用这个全等模型.
30.(1)见解析;
(2)见解析
【分析】(1)连接BD,交AC于点O,证出OE是△BDF的中位线,得OE∥DF即可;
(2)先证△DFG≌△CEG(AAS),得FG=EG,则四边形CFDE是平行四边形,再证CD=EF,即可得出结论.
【详解】(1)证明:连接BD,交AC于点O,如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,
∵BE=EF,
∴OE是△BDF的中位线,
∴OE∥DF,
即DF∥AC;
(2)证明:如图所示:
由(1)得:DF∥AC,
∴∠DFG=∠CEG,∠GDF=∠GCE,
∵G是CD的中点,
∴DG=CG,
在△DFG和△CEG中,

∴△DFG≌△CEG(AAS),
∴FG=EG,
∴四边形CFDE是平行四边形,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,
∵2AB=BF,
∴2CD=BF,
又∵EF=BE,
∴CD=EF,
∴平行四边形CFDE是矩形.
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、等知识;熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键.