第七章 复数
综合测试(原卷版)
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数的虚部是( )
A．－ B．
C．－ D．
2．(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i
C．1＋i D．1－i
3．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
4．若复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，则在复平面内，z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．“－2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2＋ax＋1＝0有虚根”的________条件．( )
A．必要非充分 B．充分非必要
C．充分必要 D．非充分非必要
6．若复数z1，z2满足z1＝2，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
7．已知复数z＝3＋4i，那么＝( )
A． B．1
C． D．
8．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a－i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．若θ∈，则复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．已知i是虚数单位，与复数2相同的选项为( )
A．－i B．－1
C．1 D．i2
11．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是( )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
12．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：eiθ＝cos θ＋isin θ(把z＝r(cos θ＋isin θ)称为复数的三角形式，其中从ox轴的正半轴到向量的角θ叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角，把向量的长度r叫做复数的模)，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：
若复数z1＝r1eiθ1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2eiθ2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则我们可以简化复数乘法：z1z2＝r1r2ei(θ1＋θ2)＝r1r2(cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2))．根据以上信息，下列说法正确的是( )
A．若z＝cos θ＋isin θ，则有eπi＋1＝0
B．若r＝1，θ＝，则z3＝1
C．若z＝r(cos θ＋isin θ)，则zn＝rn(cos nθ＋isin nθ)
D．设z＝2 021，则z在复平面上对应的点在第一象限
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设复数z＝2 021，其中i是虚数单位，则z的虚部是____．
14．已知i为虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点的坐标为____．
15．已知复数z和ω满足|z|－＝，且ω2＝z，则复数ω＝____．
16．已知复数z满足z＝(i是虚数单位)，则z2＝___；|z|＝____．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝a2－a－(a－1)i，(a∈R)．
(1)若z为纯虚数，求|3＋z|．
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知复数z＝＋(m2－3m)i(m∈R)．
(1)当m取什么值时，复数z是纯虚数？
(2)当m＝1时，求．
19．(本小题满分12分)已知i为虚数单位，复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z及．
(2)若ω＝，求复数ω的模．
20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i．
(1)求复数z的共轭复数及|z|．
(2)若复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai(a∈R)是纯虚数，求实数a的值．
21．(本小题满分12分)已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|．
(1)求z．
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
22．(本小题满分12分)若复数z满足|z－＋2i|≤1，求：
(1)|z|的最大值和最小值；
(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．第七章 复数
综合测试(解析版)
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数的虚部是( D )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] 因为z＝＝＝＋i．
2．(2021·全国乙卷)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝( C )
A．1－2i B．1＋2i
C．1＋i D．1－i
[解析] 设z＝a＋bi，则＝a－bi,2(z＋)＋3(z－)＝4a＋6bi＝4＋6i，
所以a＝1，b＝1，z＝1＋i，故选C．
3．(2022·全国乙卷)已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则( A )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝－1，b＝－2
[解析] ＝1＋2i
z＋a＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋b)＋(2a－2)i
由z＋a＋b＝0，得，即．
故选A．
4．若复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，则在复平面内，z对应的点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] 由题可知z＝＝＝＝＝1－i，所以z对应的点为(1，－1)，位于第四象限．
5．“－2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2＋ax＋1＝0有虚根”的________条件．( A )
A．必要非充分 B．充分非必要
C．充分必要 D．非充分非必要
[解析] 实系数一元二次方程x2＋ax＋1＝0有虚根 a2－4＜0 －2＜a＜2，
∵－2≤a≤2推不出－2＜a＜2，
－2＜a＜2 －2≤a≤2，
∴“－2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2＋ax＋1＝0有虚根”的必要非充分条件．故选A．
6．若复数z1，z2满足z1＝2，则z1，z2在复数平面上对应的点Z1，Z2( A )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[解析] 复数z1，z2满足z1＝2，可得z1，z2的实部相等，虚部互为相反数，故z1，z2在复数平面上对应的点关于x轴对称．
7．已知复数z＝3＋4i，那么＝( B )
A． B．1
C． D．
[解析] 因为复数z＝3＋4i，所以＝3－4i，
所以＝＝
＝＝
＝＝＝1．
故选B．
8．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a－i，z·＝4，则a＝( A )
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
[解析] 由题意，复数z＝a－i，则＝a＋i，
所以z·＝(a－i)(a＋i)＝a2＋3＝4，
所以a2＝1，
即a＝1或a＝－1．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．若θ∈，则复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点不可能在( ABC )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析] ∵θ∈，∴cos θ＞0，sin θ＜0，∴复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点在第四象限，故选ABC．
10．已知i是虚数单位，与复数2相同的选项为( BD )
A．－i B．－1
C．1 D．i2
[解析] 2＝＝－1．
11．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是( BC )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
[解析] |i|＝|1|，故A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，
|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，
又2＝z3，所以|z2|＝|2|＝|z3|，故C正确，
z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故选BC．
12．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：eiθ＝cos θ＋isin θ(把z＝r(cos θ＋isin θ)称为复数的三角形式，其中从ox轴的正半轴到向量的角θ叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角，把向量的长度r叫做复数的模)，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：
若复数z1＝r1eiθ1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2eiθ2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则我们可以简化复数乘法：z1z2＝r1r2ei(θ1＋θ2)＝r1r2(cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2))．根据以上信息，下列说法正确的是( AC )
A．若z＝cos θ＋isin θ，则有eπi＋1＝0
B．若r＝1，θ＝，则z3＝1
C．若z＝r(cos θ＋isin θ)，则zn＝rn(cos nθ＋isin nθ)
D．设z＝2 021，则z在复平面上对应的点在第一象限
[解析] 对于A，eπi＋1＝(cos π＋isin π)＋1＝－1＋1＝0，故A正确；对于C，由棣莫弗定理可知，两个复数z1，z2相乘，所得到的复数的辐角是复数z1，z2的辐角之和，模是复数z1，z2的模之积，所以zn的辐角是复数z的辐角的n倍，模是|z|n，故C正确；对于B，z＝cos＋isin，所以z3＝13·(cos π＋isin π)＝－1，故B错误；对于D，设z3＝＝cos＋isin＝ei，故z＝z＝12 021·ei＝ei＝cos＋isin，故复数 z 在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故D错误．故选AC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设复数z＝2 021，其中i是虚数单位，则z的虚部是__－1__．
[解析] ∵＝＝＝－i，
∴z＝2 021＝(－i)2 021＝－i2 021＝－i4×505＋1＝－i，
∴z的虚部是－1．
故答案为－1．
14．已知i为虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点的坐标为__(1，－1)__．
[解析] 复数z＝＝＝＝1－i，
则z在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．
15．已知复数z和ω满足|z|－＝，且ω2＝z，则复数ω＝__1＋i或－1－i__．
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由|z|－＝，得－a＋bi＝＝＝2＋2i，
∴则a＝0，b＝2．
∴z＝2i．
令ω＝m＋ni(m，n∈R)，
由ω2＝z，得(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni＝2i，
∴则m＝n＝1或m＝n＝－1．
∴ω＝1＋i或－1－i．
故答案为1＋i或－1－i．
16．已知复数z满足z＝(i是虚数单位)，则z2＝__2i__；|z|＝____．
[解析] 由题意，根据复数的运算，化简得z＝＝＝－1－i，
所以z2＝(－1－i)2＝2i，|z|＝．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝a2－a－(a－1)i，(a∈R)．
(1)若z为纯虚数，求|3＋z|．
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
[解析] (1)若z为纯虚数，则
所以a＝0，故z＝i，
所以|3＋z|＝．
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，则
解得a＞1．
18．(本小题满分12分)已知复数z＝＋(m2－3m)i(m∈R)．
(1)当m取什么值时，复数z是纯虚数？
(2)当m＝1时，求．
[解析] (1)若z为纯虚数，则，解得m＝－1．
故当m＝－1时，复数z是纯虚数．
(2)当m＝1时，z＝－4－2i，
∵z·＝(－4－2i)(－4＋2i)＝20．
∴＝＝＝20．
19．(本小题满分12分)已知i为虚数单位，复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．
(1)求复数z及．
(2)若ω＝，求复数ω的模．
[解析] (1)由题可得(1＋3i)·z＝(1＋3i)(3＋bi)
＝(3－3b)＋(9＋b)i，
因为(1＋3i)·z为纯虚数，所以3－3b＝0且9＋b≠0，解得b＝1，
所以z＝3＋i，＝3－i．
(2)由(1)可得ω＝＝＝
＝＝－i，
所以|ω|＝＝＝．
20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i．
(1)求复数z的共轭复数及|z|．
(2)若复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai(a∈R)是纯虚数，求实数a的值．
[解析] (1)复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i．
z＝2i＋i2－6－3i＋4－2i＝－3－3i
＝－3＋3i，
|z|＝＝3．
(2)因为复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai＝(a2－2a－3)＋(a－3)i是纯虚数，所以
解得a＝－1．
所以实数a＝－1．
21．(本小题满分12分)已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|．
(1)求z．
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
[解析] (1)因为w－4＝(3－2w)i，所以w(1＋2i)＝4＋3i，
所以w＝＝＝2－i，
所以z＝＋|i|＝＋1＝3＋i．
(2)因为z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，所以(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，
(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0，
因为p，q为实数，所以
解得p＝6，q＝10．
解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i．
所以实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i．
22．(本小题满分12分)若复数z满足|z－＋2i|≤1，求：
(1)|z|的最大值和最小值；
(2)|z－1|2＋|z＋1|2的最大值和最小值．
[解析] (1)满足条件|z－＋2i|≤1的复数z的几何意义为圆心为(，－2)，半径为1的圆及其内部，|z|则表示圆面上一点到原点的距离，易求得圆心到原点的距离为＝3，所以|z|max＝4，|z|min＝2．
(2)∵|z－1|2＋|z＋1|2＝2|z|2＋2，
∴|z－1|2＋|z＋1|2最大值为34，最小值为10．
